Logarithmic scale

로그 스케일(logarithmic scale 또는 log scale)은 매우 광범위한 값에 대한 숫자 데이터를 간결한 방법으로 표시하는 방법입니다–전형적으로 데이터에서 가장 큰 숫자는 가장 작은 숫자보다 수백 또는 심지어 수천 배 더 큽니다. 그러한 스케일(scale)은 비선형(nonlinear)적입니다: 숫자 10과 20, 60과 70은 로그 스케일에서 같은 거리만큼 떨어져 있지 않습니다. 오히려, 숫자 10과 100, 60과 600의 같은 간격입니다. 따라서 스케일을 따라 거리의 단위를 이동한다는 것은 숫자가 10 (또는 다른 고정 인수)을 곱했다는 의미입니다. 종종 지수 성장(exponential growth) 곡선은 로그 스케일로 표시되며, 그렇지 않으면 그것들은 작은 그래프(graph) 내에 맞추기에는 너무 빠르게 증가할 것입니다. 그것에 대해 생각하는 또 다른 방법은 데이터의 자릿수(digits)의 개수가 일정한 비율로 증가한다는 것입니다. 예를 들어, 숫자 10, 100, 1000, 및 10000은 로그 스케일에서 같은 간격인데, 왜냐하면 자릿수의 개수가 2, 3, 4, 및 5 자릿수로 매번 1씩 증가하기 때문입니다. 이러한 방법으로, 두 자리를 더하는 것은 로그 스케일에서 측정된 양에 100의 인수가 곱해집니다.

Common uses

미끄럼 자(slide rule) 위의 표시는 스케일의 길이를 더하거나 뺌으로써 숫자를 곱하거나 나누기 위해 로그 스케일로 배열됩니다.

The two logarithmic scales of a slide rule

다음은 공통적으로 사용되는 로그 스케일의 예제이며, 여기서 더 큰 양이 더 높은 값을 초래합니다:

Richter magnitude scale and moment magnitude scale (MMS) for strength of earthquakes and movement in the Earth
A logarithmic scale makes it easy to compare values that cover a large range, such as in this map.
Sound level, with units decibel
Neper for amplitude, field and power quantities
Frequency level, with units cent, minor second, major second, and octave for the relative pitch of notes in music
Logit for odds in statistics
Palermo Technical Impact Hazard Scale
Logarithmic timeline
Counting f-stops for ratios of photographic exposure
The rule of nines used for rating low probabilities
Entropy in thermodynamics
Information in information theory
Particle size distribution curves of soil

Map of the solar system and distance to Alpha Centauri using a logarithmic scale.

다음은 공통적으로 사용되는 로그 스케일의 예제이며, 여기서 더 큰 양이 더 낮은 (또는 음의) 값을 초래합니다:

pH for acidity
Stellar magnitude scale for brightness of stars
Krumbein scale for particle size in geology
Absorbance of light by transparent samples

우리의 감각(sense) 중 일부는 로그 방식 (베버-페히너 법칙(Weber-Fechner law))으로 작동하며, 이들 입력 양에 대해 특별히 적절한 로그 스케일을 만듭니다. 특히, 우리의 청각(hearing)은 같은 주파수의 비율을 같은 음높이 차이로 인식합니다. 게다가, 고립된 부족의 어린 아이들에 대한 연구는 일부 문화권에서 로그 스케일을 숫자의 가장 자연스러운 표시인 것으로 보여주었습니다.^[1]

Graphic representation

왼쪽 위쪽 그래프는 X축과 Y축에서 선형이고 Y축은 0에서 10까지입니다. 왼쪽 아래쪽 그래프의 Y축에 대해 밑수-10 로그 스케일이 사용되고, Y축의 범위는 0.1에서 1,000까지입니다.

오른쪽 위쪽 그래프는 단지 X축에 대해 로그-10 스케일을 사용하고, 오른쪽 아래쪽 그래프는 X축과 Y축 둘 다에 대해 로그-10 스케일을 사용합니다.

로그 스케일에 대한 데이터의 표시는 데이터가 다음과 같은 경우에 유용할 수 있습니다:

실제 값이 아닌 값의 로그의 사용은 넓은 범위를 보다 관리하기 쉬운 크기로 축소하므로, 넓은 범위의 값을 다룹니다;
지수 법칙(exponential law)과 거듭제곱 법칙(power law)이 직선으로 나타날 것이기 때문에 그것들을 포함할 수 있습니다.

미끄럼 자(slide rule)는 로그 스케일을 가지고, 노모그램(nomogram)은 종종 로그 로그 스케일을 사용합니다. 두 숫자의 기하 평균(geometric mean)은 숫자 사이의 중간입니다. 컴퓨터 그래픽이 등장하기 전에는, 로그 그래프 용지(graph paper)가 공통적으로 과학적 도구에 사용되었습니다.

Log–log plots

만약 그림의 세로축과 가로축 둘 다가 로그적으로 스케일되면, 그 그림은 로그–로그 그림(log–log plot)으로 참조됩니다.

Semi-logarithmic plots

만약 오직 올디닛(ordinate) 또는 앱시서(abscissa)가 로그적으로 스케일되면, 그 그림은 반-로그 그림으로 참조됩니다.

Extensions

수정된 로그 변환은 음수 입력 (y<0)에 대해 정의될 수 있고 영 입력 (y=0)에 대해 특이성을 방지하기 위해 대칭 로그 그림을 생성하도록 정의될 수 있습니다:^[2]^[3]

Y=\operatorname {sgn} (y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)

여기서 상수 C=1/ln(10)입니다.

Logarithmic units

로그 단위는 로그 스케일로, 즉, 같은 종류의 양과 참조 양의 비율에 적용된 로그(logarithm) 함수의 값에 비례적일 때 (물리적(physical) 또는 수학적) 수량을 표현하기 위해 사용될 수 있는 단위(unit)입니다. 단위의 선택은 일반적으로 수량의 유형과 로그의 밑을 나타냅니다.

Examples

로그 단위의 예제는 데이터 저장 용량 (비트, 바이트), 정보와 정보 엔트로피 (nat, shannon, ban), 및 신호 레벨 (데시벨, 벨, 네퍼)의 단위를 포함합니다. 로그 주파수 양은 전자 장치 (decade, octave) 및 음악 피치 음정 (옥타브, 반음, 센트 등)에 사용됩니다. 다른 로그 스케일 단위는 리히터 규모 스케일(Richter magnitude scale) 포인트를 포함합니다.

게다가, 여러 산업 측정값은 저항(resistors)에 대한 표준 값, 미국식 와이어 게이지(American wire gauge), 와이어 및 바늘에 사용되는 버밍엄 게이지(Birmingham gauge) 등과 같은 로그입니다.

Units of information

Units of level or level difference

bel, decibel
neper

Units of frequency interval

decade, decidecade, savart
octave, tone, semitone, cent

Table of examples

Unit	Base of logarithm	Underlying quantity	Interpretation
bit	2	number of possible messages	quantity of information
byte	$28 = 256$	number of possible messages	quantity of information
decibel	$10 (1/10) \approx 1.259$	any power quantity (sound power, for example)	sound power level (for example)
decibel	$10 (1/20) \approx 1.122$	any root-power quantity (sound pressure, for example)	sound pressure level (for example)
semitone	$2 (1/12) \approx 1.059$	frequency of sound	pitch interval

데시벨의 두 정의는 동등한데, 왜냐하면 전력량(power quantities)의 비율은 루트-전력 량(root-power quantities)의 해당 비율의 제곱과 같기 때문입니다.^{[citation needed]}

References

^ "Slide Rule Sense: Amazonian Indigenous Culture Demonstrates Universal Mapping Of Number Onto Space". ScienceDaily. 2008-05-30. Retrieved 2008-05-31.
^ Webber, J Beau W (2012-12-21). "A bi-symmetric log transformation for wide-range data" (PDF). Measurement Science and Technology. 24 (2). IOP Publishing: 027001. doi:10.1088/0957-0233/24/2/027001. ISSN 0957-0233.
^ "Symlog Demo". Matplotlib 3.4.2 documentation. 2021-05-08. Retrieved 2021-06-22.

External links

"GNU Emacs Calc Manual: Logarithmic Units". Gnu.org. Retrieved 2016-11-23.
Non-Newtonian calculus website

[1] "Slide Rule Sense: Amazonian Indigenous Culture Demonstrates Universal Mapping Of Number Onto Space". ScienceDaily. 2008-05-30. Retrieved 2008-05-31.

[Webber2012-2] Webber, J Beau W (2012-12-21). "A bi-symmetric log transformation for wide-range data" (PDF). Measurement Science and Technology. 24 (2). IOP Publishing: 027001. doi:10.1088/0957-0233/24/2/027001. ISSN 0957-0233.

[Matplotlib_3.4.2_documentation_2021-3] "Symlog Demo". Matplotlib 3.4.2 documentation. 2021-05-08. Retrieved 2021-06-22.

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