Upper and lower bounds
수학(mathematics), 특히 순서 이론(order theory)에서, 일부 준순서화된 집합(preordered set) (K, ≤)의 부분집합(subset) S의 위쪽 경계(upper bound 또는 majorant[1])는 S의 모든 각 원소보다 크거나 같은 K의 원소입니다.[2][3] 이중적(Dually)으로, S의 아래쪽 경계(lower bound 또는 minorant)는 S의 모든 각 원소보다 작거나 같은 K의 원소로 정의됩니다. 위쪽 (각각 아래쪽) 경계를 갖는 집합은 해당 경계에 의해 위에서 경계진(bounded from above 또는 majorized[1]) (각각 아래에서 경계진(bounded from below or minorized)) 것이라고 말합니다. 용어 위에서 경계진 (아래에서 경계진)은 역시 위쪽 (각각 아래쪽) 경계를 가지는 집합에 대해 수학적 문헌에서 사용됩니다.[4]
Examples
예를 들어, 5는 집합 S = {5, 8, 42, 34, 13934} (정수(integers) 또는 실수(real numbers), 등의 부분집합일 때)에 대해 아래쪽 경계이고, 4도 마찬가지입니다. 다른 한편으로, 6은 S에 대해 아래쪽 경계가 아닌데 왜냐하면 그것은 S에서 모든 각 원소보다 작지 않기 때문입니다.
집합 S = {42}는 위쪽 경계와 아래쪽 경계 둘 다로 42를 가집니다; 모든 다른 숫자는 해당 S에 대해 위쪽 경계 또는 아래쪽 경계 중 하나입니다.
자연수(natural number)의 모든 각 부분집합은 아래쪽 경계를 가지는데 왜냐하면 자연수는 가장 작은 원소 (관례에 의존하여, 0 또는 1)을 가지기 때문입니다. 자연수의 무한 부분집합은 위로부터 경계질 수 없습니다. 정수(integer)의 무한 부분집합은 아래로부터 경계질 수 있거나 위로부터 경계질 수 있지만, 둘 다는 아닙니다. 유리수(rational number)의 무한 부분집합은 아래로부터 경계질 수 있거나 없을 수 있고, 위로부터 경계질 수 있거나 없을 수 있습니다.
비-빈 전체적으로 순서화된 집합(totally ordered set)의 모든 각 유한 부분집합은 위쪽과 아래쪽 경계 둘 다를 가집니다.
Bounds of functions
정의는 함수(functions)와 심지어 함수의 집합으로 일반화될 수 있습니다.
도메인(domain) D와 준순서화된 집합 (K, ≤)을 [[codomain|코도메인(codomain)]으로 갖는 함수 f가 주어지면, K의 원소 y는 D에서 각 x에 대해 y ≥ f(x)이면 f의 위쪽 경계입니다. 위쪽 경계는 만약 상등이 적어도 x의 하나의 값에 대해 유지되면 날카로운(sharp) 것으로 불립니다. 그것은 구속조건이 최적이고, 따라서 부등식을 무효화하는 것없이 더 이상 줄일 수 없음을 나타냅니다.[5]
유사하게, 도메인 D와 같은 코도메인 (K, ≤)을 가지는 것 위에 정의된 함수 g는 D에서 각 x에 대해 g(x) ≥ f(x)이면 f의 아래쪽 경계입니다. 함수 g는 만약 그것이 해당 집합에서 각 함수의 위쪽 경계이면, 함수의 집합의 위쪽 경계라고 나아가서 말합니다.
함수(의 집합)에 대해 아래쪽 경계의 개념은 ≥를 ≤로 대체함으로써 유사하게 정의됩니다.
Tight bounds
위쪽 경계가 만약 더 작은 값이 위쪽 경계가 아니면 빠듯한 위쪽 경계, 최소 위쪽 경계 또는 상한(supremum)이라고 말합니다. 유사하게, 아래쪽 경계가 만약 더 큰 값이 아래쪽 경계가 아니면 빠듯한 아래쪽 경계, 최대 아래쪽 경계 또는 하한(infimum)이라고 말합니다.
See also
References
- ^ a b Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1991). Algebra. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 145. ISBN 0-8218-1646-2.
- ^ "Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
- ^ Weisstein, Eric W. "Upper Bound". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
- ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Sharp". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.