Notions of sums for matrices in linear algebra
Illustration of the addition of two matrices. 수학(mathematics) 에서, 행렬 덧셈 (matrix addition )은 해당 엔트리를 함께 더함으로써 두 개의 행렬(matrices) 을 더하는 연산입니다.
벡터(vector)
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}\!}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}\!}
A
v
→
+
B
v
→
=
(
A
+
B
)
v
→
{\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}
어쨌든, 직접 합(direct sum) 과 크로네커 합(Kronecker sum) 과 같이 행렬에 대한 덧셈(addition) 으로 고려될 수 있는 다른 연산이 있습니다.
Entrywise sum 두 개의 행렬은 더할 행과 열의 개수가 같아야 합니다.[1] A 와 B 의 합은 A 와 B 와 같은 개수의 행과 열을 가지는 행렬이 됩니다. A + B 로 표시되는 A 와 B 의 합은 A 와 B 의 대응하는 원소를 더함으로써 계산됩니다:
A
+
B
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
+
[
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}
또는 보다 간결하게 (A + B = C [4] [5]
c
i
j
=
a
i
j
+
b
i
j
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
예를 들어:
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
]
=
[
1
3
8
5
3
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
마찬가지로, 행렬이 같은 차원을 가지는 한 행렬에서 또 다른 행렬을 빼는 것도 가능합니다. A − B 로 표시되는 A 와 B 의 차이는 A 의 대응하는 원소에서 B 의 원소를 뺌으로써 계산되고, A 와 B 와 같은 차원을 가집니다. 예를 들면:
[
1
3
1
0
1
2
]
−
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
]
=
[
1
3
−
6
−
5
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
덜 자주 사용되는 또 다른 연산은 직접 합 (⊕으로 표시)입니다. 크로네커 합도 ⊕로 표시됩니다; 문맥은 사용법을 명확하게 해야 합니다. 크기 m × n 의 행렬 A 와 크기 p × q 의 행렬의 임의의 쌍의 직접 합은 다음과 같이 정의되는 크기 (m + p ) × (n + q )의 행렬입니다:[6]
A
⊕
B
=
[
A
0
0
B
]
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
예를 들어,
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
행렬의 직접 합은 특별한 유형의 블록 행렬(block matrix) 입니다. 특히, 제곱 행렬의 직접 합은 블록 대각 행렬(block diagonal matrix) 입니다.
서로소 그래프 (또는 다중-그래프 ) 합집합의 인접 행렬(adjacency matrix) 은 인접 행렬의 직접 합입니다. 행렬의 두 벡터 공간(vector spaces) 의 직접 합에 있는 임의의 원소는 두 행렬의 직접 합으로 나타낼 수 있습니다.
일반적으로, n 행렬의 직접 합은 다음과 같습니다:
⨁
i
=
1
n
A
i
=
diag
(
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
,
A
n
)
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}
여기서 영들은 실제로 영의 블럭 (즉, 영 행렬)입니다.
Kronecker sum 크로네커 합은 직접 합과 다르지만, ⊕로 표기하기도 한다. 크로네커 곱(Kronecker product) ⊗ 및 정규 행렬 덧셈을 사용하여 정의됩니다. 만약 A 가 n × n 이고 B 가 m × m 이고
I
k
{\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
k × k 항등 행렬(identity matrix) 을 나타내면, 크로네커 합은 다음과 같이 정의됩니다:
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
See also Notes References External links
