Matrix defined using smaller matrices called blocks
수학(mathematics) 에서, 블록 행렬 (block matrix ) 또는 분할된 행렬 (partitioned matrix )은 블록 또는 부분행렬 (submatrices )이라는 구역으로 나누어진 것으로 해석되는 행렬(matrix) 입니다.[1] 분할(partition) 합니다.[2]
이 개념은
n
{\displaystyle n}
rowgroups
{\displaystyle {\text{rowgroups}}}
m
{\displaystyle m}
colgroups
{\displaystyle {\text{colgroups}}}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
M
{\displaystyle M}
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
s
,
t
)
{\displaystyle (s,t)}
오프셋 엔트리와 1-대-1 방법으로 대응한다는 점에서 원래 행렬은 이들 그룹의 "전체"로 고려되며, 여기서
x
∈
rowgroups
{\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}
y
∈
colgroups
{\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}
블록 행렬 대수는 일반적으로 행렬의 카테고리(categories) 의 이중-곱(biproducts) 에서 발생합니다.[3]
Example A 168×168 element block matrix with 12×12, 12×24, 24×12, and 24×24 sub-matrices. Non-zero elements are in blue, zero elements are grayed. 다음 행렬은
P
=
[
1
2
2
7
1
5
6
2
3
3
4
5
3
3
6
7
]
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}
다음과 같은 4개의 2×2 블록으로 분할될 수 있습니다:
P
11
=
[
1
2
1
5
]
,
P
12
=
[
2
7
6
2
]
,
P
21
=
[
3
3
3
3
]
,
P
22
=
[
4
5
6
7
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}
분할된 행렬은 그런-다음 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
P
=
[
P
11
P
12
P
21
P
22
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}
Block matrix multiplication 인수의 부분행렬에 대한 대수만 포함하는 블록 분할된 행렬 곱을 사용할 수 있습니다. 어쨌든, 인수의 분할은 임의적이지 않고, 사용될 모든 부분행렬 곱이 정의됨을 만족하는 두 행렬
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
적합한(conformable) 분할"이 필요합니다.[4]
q
{\displaystyle q}
s
{\displaystyle s}
(
m
×
p
)
{\displaystyle (m\times p)}
A
=
[
A
11
A
12
⋯
A
1
s
A
21
A
22
⋯
A
2
s
⋮
⋮
⋱
⋮
A
q
1
A
q
2
⋯
A
q
s
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}
그리고
s
{\displaystyle s}
r
{\displaystyle r}
(
p
×
n
)
{\displaystyle (p\times n)}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
=
[
B
11
B
12
⋯
B
1
r
B
21
B
22
⋯
B
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
B
s
1
B
s
2
⋯
B
s
r
]
,
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}
이때
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle A}
C
=
A
B
{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }
블록-별로 수행할 수 있으며,
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
(
m
×
n
)
{\displaystyle (m\times n)}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
q
r
=
∑
i
=
1
s
A
q
i
B
i
r
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}
또는, 반복되는 인덱스에 걸쳐 암시적으로 합하는 아인슈타인 표기법(Einstein notation) 을 사용하여:
C
q
r
=
A
q
i
B
i
r
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}
Block matrix inversion For more details and derivation using block LDU decomposition, see
Schur complement .
만약 행렬이 4개의 블록으로 분할되면, 다음과 같이 블록-별로 반전 될 수 있습니다:
P
=
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
A
−
1
+
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
−
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
−
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
]
,
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}
여기서 A 와 D 는 임의적인 크기의 정사각 블록이고, B 와 C 는 분활화에 적합(conformable) 합니다. 게다가, A 와 P 에서 A 의 슈어 여: P /A = D − CA −1 B [5]
동등하게, 블록을 순열함으로써:
P
=
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
−
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
−
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
D
−
1
+
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}
여기서, D 와 P 에서 슈어 여: P /D = A − BD −1 C
만약 A 와 D 가 둘 다 역가능이면, 다음과 같습니다:
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
0
0
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
]
[
I
−
B
D
−
1
−
C
A
−
1
I
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.}
와인스틴-아론샤인 항등식(Weinstein–Aronszajn identity) 에 의해, 블록-대각 행렬에서 두 행렬 중 하나는 나머지 하나가 역가능일 때 정확히 역가능입니다.
Block matrix determinant 위의
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
슈어 여(Schur complement) 를 포함하는 인수분해를 사용하여 입증될 수 있는 가장 쉬운 그러한 공식은 다음과 같습니다:
det
(
A
0
C
D
)
=
det
(
A
)
det
(
D
)
=
det
(
A
B
0
D
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}
이 공식을 사용하여,
(
A
0
C
D
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}}
(
A
B
0
D
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}}
특성 다항식(characteristic polynomials) 이 같고
A
{\displaystyle A}
D
{\displaystyle D}
(
A
0
C
D
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}}
(
A
B
0
D
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}}
대각화-가능(diagonalizable) 이면,
A
{\displaystyle A}
D
{\displaystyle D}
(
1
1
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}
만약
A
{\displaystyle A}
역가능(invertible) 이면 (그리고 유사하게
D
{\displaystyle D}
[6]
det
(
A
B
C
D
)
=
det
(
A
)
det
(
D
−
C
A
−
1
B
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}
만약
D
{\displaystyle D}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
det
(
A
)
(
D
−
C
A
−
1
B
)
{\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}
만약 블럭이 같은 크기의 정사각 행렬이면 추가 공식이 유지됩니다. 예를 들어,
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
교환 하면 (즉,
C
D
=
D
C
{\displaystyle CD=DC}
det
(
A
B
C
D
)
=
det
(
A
D
−
B
C
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}
[7] 이 공식은 다시 개별 블록 사이의 적절한 교환성 조건 아래에서
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
[8]
A
=
D
{\displaystyle A=D}
B
=
C
{\displaystyle B=C}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
det
(
A
B
B
A
)
=
det
(
A
−
B
)
det
(
A
+
B
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}
Block diagonal matrices 블록 대각 행렬 (block diagonal matrix )은 주요-대각 블록이 정사각 행렬이고 모든 비-대각 블록이 영 행렬임을 만족하는 정사각 행렬(square matrix) 인 블록 행렬입니다. 즉, 블록 대각 행렬
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}
여기서
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{k}}
k = 1, ..., n 에 대해 정사각 행렬입니다. 다시 말해, 행렬
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
1
,
⋯
,
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{1},\cdots ,\mathbf {A} _{n}}
직접 합(direct sum) 입니다. 그것은 역시
A
1
⊕
A
2
⊕
⋯
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}\oplus \mathbf {A} _{2}\oplus \cdots \mathbf {A} _{n}}
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\cdots ,\mathbf {A} _{n}}
대각 행렬 에 사용되는 것과 같은 형식입니다). 임의의 정사각 행렬은 하나의 블록만 갖는 블록 대각 행렬로 자명하게 고려될 수 있습니다.
행렬식(determinant) 과 대각합(trace) 에 대해, 다음 속성이 유지됩니다:
det
A
=
det
A
1
×
⋯
×
det
A
n
,
tr
A
=
tr
A
1
+
⋯
+
tr
A
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{aligned}}}
블록 대각 행렬이 역가능인 것과 그것의 각 주요 대각선 블록이 역가능인 것은 필요충분(iff) 조건이고, 이 경우에서 그 역은 다음과 같이 주어진 또 다른 블록 대각 행렬입니다:
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
−
1
=
[
A
1
−
1
0
⋯
0
0
A
2
−
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
−
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
고윳값과 고유벡터(eigenvalues and eigenvectors) 는 단순히 결합된
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{k}}
Block tridiagonal matrices 블록 삼중대각 행렬 (block tridiagonal matrix )은 또 다른 특수 블록 행렬로, 블록 대각 행렬과 마찬가지로 정사각 행렬이며, 아래쪽 대각선, 주요 대각선(main diagonal) 및 위쪽 대각선에 정사각 행렬 (블록)을 가지고, 모든 다른 블록은 영 행렬입니다. 그것은 본질적으로 삼중대각 행렬(tridiagonal matrix) 이지만 스칼라의 위치에 부분행렬을 가집니다. 블록 삼중대각 행렬
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
=
[
B
1
C
1
⋯
0
A
2
B
2
C
2
⋱
⋱
⋱
⋮
A
k
B
k
C
k
⋮
⋱
⋱
⋱
A
n
−
1
B
n
−
1
C
n
−
1
0
⋯
A
n
B
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&\mathbf {0} \\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\\mathbf {0} &&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}
여기서
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{k}}
B
k
{\displaystyle \mathbf {B} _{k}}
C
k
{\displaystyle \mathbf {C} _{k}}
블록 삼중대각 행렬은 엔지니어링 문제 (예를 들어, 전산 유체 역학 )의 수치 해에서 종종 발생합니다. LU 분해 를 위한 최적화된 수치적 방법을 사용할 수 있고 계수 행렬로 블록 삼중대각 행렬을 갖는 방정식 시스템에 대한 효율적인 해 알고리듬을 사용할 수 있습니다. 삼중대각 행렬을 포함하는 방정식 시스템의 효율적인 해에 사용되는 토머스 알고리듬(Thomas algorithm) 은 행렬 연산을 사용하여 블록 삼중대각 행렬에 적용될 수 있습니다 (블록 LU 분해 참조).
Block Toeplitz matrices 블록 퇴플리츠 행렬 (block Toeplitz matrix )은 또 다른 특수 블록 행렬로, 퇴플리츠 행렬(Toeplitz matrix) 은 대각선 아래로 반복된 원소를 가지는 것처럼 행렬의 대각선 아래로 반복되는 블록을 포함합니다.
블록 퇴플리츠 행렬
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
=
[
A
(
1
,
1
)
A
(
1
,
2
)
⋯
A
(
1
,
n
−
1
)
A
(
1
,
n
)
A
(
2
,
1
)
A
(
1
,
1
)
A
(
1
,
2
)
A
(
1
,
n
−
1
)
⋱
⋱
⋱
⋮
A
(
2
,
1
)
A
(
1
,
1
)
A
(
1
,
2
)
⋮
⋱
⋱
⋱
A
(
n
−
1
,
1
)
A
(
2
,
1
)
A
(
1
,
1
)
A
(
1
,
2
)
A
(
n
,
1
)
A
(
n
−
1
,
1
)
⋯
A
(
2
,
1
)
A
(
1
,
1
)
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.}
Block transpose 개별 블록이 재정렬되지만 전치되지 않는 블록 행렬에 대해 특별한 형식의 행렬 전치(transpose) 도 정의될 수 있습니다.
A
=
(
B
i
j
)
{\displaystyle A=(B_{ij})}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
B
i
j
{\displaystyle B_{ij}}
k
×
l
{\displaystyle k\times l}
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
(
A
B
)
i
j
=
B
j
i
{\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}
l
×
k
{\displaystyle l\times k}
A
B
{\displaystyle A^{\mathcal {B}}}
[9]
기존 대각합 연산자와 마찬가지로, 블록 전치도
(
A
+
C
)
B
=
A
B
+
C
B
{\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}
선형 매핑(linear mapping) 입니다. 어쨌든, 일반적으로
(
A
C
)
B
=
C
B
A
B
{\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
Direct sum 임의적인 행렬
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
p
×
q
{\displaystyle p\times q}
A
⊕
B
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
직접 합 (direct sum )을 가집니다:
A
⊕
B
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}
예를 들어,
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}
이 연산은 자연스럽게 임의적인 차원 배열로 일반화됩니다 (
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
행렬의 두 벡터 공간(vector spaces) 의 직접 합(direct sum) 에 있는 임의의 원소는 두 행렬의 직접 합으로 나타낼 수 있음에 주목하십시오.
Application 선형 대수(linear algebra) 용어에서, 블록 행렬의 사용은 기저 벡터(basis vectors) 의 해당 '묶음(bunches)' 측면에서 생각되는 선형 매핑(linear mapping) 에 해당합니다. 그것은 도메인(domain) 과 치역(range) 의 직접 합 분해를 구별한다는 아이디어와 다시 일치합니다. 그것은 블록이 영 행렬(zero matrix) 이면 항상 특히 중요합니다; 그것은 더해지는 숫자가 부분-합으로 매핑하는 정보를 전달합니다.
선형 매핑과 직접 합을 통한 해석이 주어졌을 때, 정사각 행렬 (m = n 인 경우)에 대해 발생하는 특수한 유형의 블록 행렬이 있습니다. 그것들을 위해 우리는 n- 차원 공간 V 의 자기사상(endomorphism) 으로 해석을 가정할 수 있습니다; 행과 열의 묶음이 같은 블록 구조는 (두 개가 아닌) V 위에 단일 직접 합 분해에 해당하기 때문에 중요합니다. 해당 경우에서, 예를 들어, 명백한 의미에서 대각(diagonal) 블록은 모두 정사각입니다. 이러한 유형의 구조는 조르당 정규 형식(Jordan normal form) 을 설명하는 데 필요합니다.
이 기술은 VLSI 칩 설계를 포함한 행렬의 계산, 열-행 확장을 줄이기 위해 사용되고, 많은 컴퓨터 과학 응용 프로그램에서 사용됩니다. 빠른 행렬 곱셈(matrix multiplication) 을 위한 슈트라센 알고리듬(Strassen algorithm) 과 데이터 전송에서 오류 탐지와 복구를 위한 Hamming(7,4) 인코딩이 그 예입니다.
이 기술은 A,B,C, 및 D 행렬의 원소가 모두 해당 원소에 대해 같은 필드를 필요로 하지 않는 경우에도 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 행렬 A는 복소수 필드에 걸쳐 있을 수 있고, 반면에 행렬 D는 실수 필드에 걸쳐 있을 수 있습니다. 이것은 행렬 중 하나 내에서 연산을 단순화하면서 행렬과 관련된 유효한 연산으로 이어질 수 있습니다. 예를 들어, D에 실수 원소만 있으면 역을 찾는 것은 복소수 원소를 고려해야 하는 경우보다 계산이 덜 걸립니다. 그러나 실수는 복소수의 부분필드이므로 (더 나아가서 그것은 투영으로 고려될 수 있음), 행렬 연산은 잘 정의될 수 있습니다.
See also Notes
^ Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Retrieved 24 April 2013 . We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned , or block , matrices . ^ Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra (7th ed.). New York: John Wiley. p. 30. ISBN 0-471-58742-7 A matrix can be subdivided or partitioned ^ Macedo, H.D.; Oliveira, J.N. (2013). "Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach". Science of Computer Programming . 78 (11): 2160–2191. arXiv :1312.4818 doi :10.1016/j.scico.2012.07.012 . ^ Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Retrieved 24 April 2013 . A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a conformable partition of A and B . ^
Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics . Princeton University Press. p. 44. ISBN 0-691-11802-7
^ Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.
^ Silvester, J. R. (2000). "Determinants of Block Matrices" (PDF) . Math. Gaz . 84 (501): 460–467. doi :10.2307/3620776 . JSTOR 3620776 . Archived from the original (PDF) on 2015-03-18. Retrieved 2021-06-25 . ^ Sothanaphan, Nat (January 2017). "Determinants of block matrices with noncommuting blocks". Linear Algebra and Its Applications . 512 : 202–218. arXiv :1805.06027 doi :10.1016/j.laa.2016.10.004 . S2CID 119272194 . ^ Mackey, D. Steven (2006). Structured linearizations for matrix polynomials (PDF) (Thesis). University of Manchester. ISSN 1749-9097 . OCLC 930686781 .
References
