Menelaus's theorem

Original article: w:Menelaus's theorem

Menelaus's theorem, case 1: line DEF passes inside triangle ABC

알렉산드리아의 메넬라우스(Menelaus of Alexandria)의 이름을 따서 지은 메넬라우스의 정리(Menelaus's theorem:메넬라오스의 정리)는 평면 기하학(plane geometry)에서 삼각형(triangle)에 대한 제안입니다. 삼각형 ABC와 A, B, 및 C로부터 구별되는 D, E, 및 F가 있고, 점 D, E, 및 F에서 각각 BC, AC, 및 AB를 가로지르는 횡단(transversal) 선이 주어지면,

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.$

또는 간단히

$AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.$

이 방정식은 부호화된 선분의 길이를 사용하는데, 다시 말해서 길이 AB는 직선의 고정된 방향에서 A가 B의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지에 따라 양 또는 음으로 고려됩니다. 예를 들어, AF/FB는 F가 A와 B 사이에 있을 때 양의 값을 갖고 그렇지 않으면 음수를 갖는 것으로 정의됩니다.

일부 저자는 인수를 다르게 구성하고 겉으로 보기에 다음과 같은 다른 관계를 얻습니다:

${\frac {FA}{FB}}\times {\frac {DB}{DC}}\times {\frac {EC}{EA}}=1,$

그러나 이들 인수의 각각이 위의 해당하는 인수의 음수이므로, 관계가 같은 것으로 보입니다.

전환(converse)도 역시 참입니다: 만약 점 D, E, 및 F가 각각 BC, AC, 및 AB에서 선택되므로, 다음을 만족하면:

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,$

D, E, 및 F는 같은 직선 위에 있습니다. 전환은 종종 정리의 일부로 포함됩니다.

이 정리는 그들 방정식이 오직 부호에서 다르다는 점에서 체바의 정리(Ceva's theorem)와 매우 유사합니다.

Proof

Menelaus's theorem, case 2: line DEF is entirely outside triangle ABC

하나의 표준 증명은 다음과 같습니다:

먼저, 왼쪽 변(left-hand side)의 부호는 음수가 될 것인데, 왜냐하면 직선 DEF가 삼각형을 지나지 않는 경우 (하위 다이어그램)에서 세 비율의 모두는 음수이거나, 또는 DEF가 삼각형의 두 변을 가로지르는 경우에서 하나는 음수이고 다른 두 개가 양수이기 때문입니다. (파쉬의 공리(Pasch's axiom)를 참조하십시오.)

크기를 확인하기 위해, A, B, 및 C에서 직선 DEF로 수직선을 구성하고 길이를 각각 a, b, 및 c로 놓습니다. 그런 다음 닮음(similar) 삼각형에 의해, |AF/FB| = |a/b|, |BD/DC| = |b/c|. 및 |CE/EA| = |c/a|임을 알 수 있습니다. 그래서

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=-1.$

더 간단하게, 만약 크기를 확인하는 덜 대칭적인 방법이라면, AB와 평행하게 CK를 그리는데, 여기서 DEF는 K에서 CK와 만납니다. 그런 다음 닮음 삼각형에 의해

$\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\,\left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|$

그리고 그 결과는 이들 방정식으로부터 CK를 제거함으로써 따라옵니다.

전환은 따름정리로 따라옵니다. 방정식을 만족하기 위해서 D, E 및 F를 직선 BC, AC, 및 AB 위에 주어졌다고 놓습니다. F′을 DE가 AB를 교차하는 지점이라고 놓습니다. 그런 다음 정리에 의해, 방정식은 D, E 및 F'에 대해 역시 유지됩니다. 둘을 비교하면,

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}.$

그러나 많아야 한 개의 점이 주어진 비율로 선분을 절단할 수 있으므로 F=F′입니다.

A proof using homothecies

다음 증명은 오직 아핀 기하학(affine geometry)의 개념, 특히 중심-닮음(homothecies)을 사용합니다. D, E, 및 F가 같은-직선 위에 있든 아니든, B를 C로, C를 A로, 및 A를 B로 각각 보내는 중심 D, E, F를 갖는 세 개의 중심-닮음이 있습니다. 셋의 합성은 그런-다음 B를 고정하는 중심닮음-변환의 그룹의 원소이므로, 그것은 중심 B를 갖는 중심-닮음이며, 아마도 비율 1을 가집니다 (이것에서 그것은 항등입니다). 이 합성은 직선 DE를 고정하는 것과 F가 D와 E와 같은 직선 위에 있는 것은 필요충분 조건입니다 (왜냐하면 처음 두 중심닮음은 확실히 DE를 고정하고, 세 번째는 만약 F가 DE 위에 있으면 그렇기 때문입니다). 그러므로, D, E, 및 F가 같은 직선 위에 있는 것과 이 합성이 항등인 것은 필요충분 조건이며, 이것은 세 비율의 곱의 크기가 1임을 의미합니다.

${\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=-1,$

이것은 주어진 방정식과 동등합니다.

History

실제로 누가 정리를 발견했는지는 확실하지 않습니다; 어쨌든, 가장 오래된 현존하는 전시물은 메넬라우스에 의한 Spherics에 나타납니다. 이 책에서, 그 정리의 평면 버전은 정리의 구형 버전을 입증하기 위한 보조정리로 사용됩니다.

알마게스트(Almagest)에서, 프톨레마이오스(Ptolemy)는 구형 천문학에서 여러 문제에 대해 정리를 적용합니다. 이슬람 황금 시대(Islamic Golden Age) 동안, 무슬림 학자들은, 그들이 "시컨트에 대한 제안" (shakl al-qatta)라고 참조하는, 메넬라우스의 연구에 참여한 여러 연구를 바쳤습니다. 완전 사변형(complete quadrilateral)은 그들의 용어에서 "시컨트의 그림"이라고 불리었습니다. 알-비루니(Al-Biruni)의 연구, The Keys of Astronomy는 그들의 연구 여럿을 나열하며, 이것은 알-니리지(al-Nayrizi) 및 알-하진(al-Khazin)의 연구에서 처럼 프톨레마이오스의 Almagest에 대한 주석의 일부로 연구로 분류될 수 있으며 여기서 각각은 사인 규칙(sine rule)으로 이어지는 메넬라우스의 정리의 특별한 경우 또는 다음과 같은 독립적인 논문으로 구성된 연구를 시연했습니다:

• 타빗 이븐 쿠라(Thabit ibn Qurra)에 의한 "시컨트 그림에 관한 논문(Treatise on the Figure of Secants)" (Risala fi shakl al-qatta').
• 후삼 알-딘 알-살라(Husam al-DIn al-Salar)의 시컨트 그림의 신비에서 베일을 제거함(Removing the Veil from the Mysteries of the Figure of Secants, Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta')은, "시컨트 그림에 관한 책(The Book on the Figure of Secants)" (Kitab al-shakl al-qatta ') 또는 유럽에서 완전 사변형에 관한 논문(The Treatise on the Complete Quadrilateral)으로 역시 알려져 있습니다. 잃어버린 논문은 알-투시(Al-Tusi)와 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī)에 의해 참조되었습니다.
• 알-시이지(al-Sijzi)에 의한 연구.
• 아부 나시르 이븐 이라크(Abu Nasr ibn Iraq)에 의한 Tahdhib.
• Roshdi Rashed and Athanase Papadopoulos, Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/al-Harawi's version (Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries), De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4

References

• Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"". Pure Geometry. Clarendon Press.

External links

• Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
• Menelaus From Ceva
• Ceva and Menelaus Meet on the Roads
• Menelaus and Ceva at MathPages
• Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Menelaus' Theorem". MathWorld.