Transversal (geometry)

기하학(geometry)에서, 횡단(transversal)은 둘의 별개의 점(points)에서 같은 평면(plane)에서 두 직선을 통과하는 직선(line)입니다. 횡단은 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 둘 이상의 다른 직선이 평행(parallel)인지 여부를 설립하는 역할을 합니다. 둘의 직선을 갖는 횡단의 교차는 다양한 유형의 각도 쌍: 연속적 내부 각도(consecutive interior angles), 연속적 외부 각도(consecutive exterior angles), 대응하는 각도(corresponding angles), 및 교대 각도(alternate angles)를 생성합니다. 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)의 결과로, 만약 두 직선이 평행이면, 연속적 내부 각도는 보충적(supplementary)이고, 대응하는 각도는 같고, 교대 각도는 같습니다.


Eight angles of a transversal. (Vertical angles such as $\alpha$ and $\gamma$ are always congruent.)		Transversal between non-parallel lines. Consecutive angles are not supplementary.	Transversal between parallel lines. Consecutive angles are supplementary.

Angles of a transversal

횡단은 왼쪽 위에서 그래프에서 보인 것처럼 8개의 각도를 생성합니다:

두 직선의 각각에 4, 즉, α, β, γ, 및 δ이고 그런-다음 α₁, β₁, γ₁ 및 δ₁; 그리고
그것이 내부인 4 (두 직선 사이), 즉, α, β, γ₁ 및, δ₁과 그것이 외부인 4, 즉 α₁, β₁, γ, 및 δ.

직각에서 두 평행 직선을 자르는 횡단은 수직 횡단(perpendicular transversal)이라고 불립니다. 이 경우에서, 모든 8 각도는 직각입니다.^[1]

직선이 종종 고려되는 경우 평행(parallel)일 때, 횡단은 여러 합동(congruent)과 여러 보충 각도(supplementary angles)를 생성합니다. 이들 각도 쌍 중 일부는 특정 이름을 가지고 아래: 대응하는 각도, 교대 각도, 및 연속적 각도에서 설명됩니다.^[2]^[3]

Alternate angles

교대 각도는 다음과 같은 네 쌍의 각도입니다:

별개의 꼭짓점(vertex)을 가집니다,
횡단의 반대 쪽에 놓입니다, 그리고
두 각도는 내부 또는 두 각도는 외부입니다.

만약 한 쌍의 두 각도가 합동이면 (측정에서 같으면), 나머지 다른 쌍의 각각의 각도는 역시 합동입니다.

유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 제안 1.27, 절대 기하학(absolute geometry)의 정리 (따라서, 쌍곡형(hyperbolic)과 유클리드 기하학(Euclidean Geometry) 둘 다에서 유효함)는 만약 횡단의 교대 각도의 쌍의 각도가 합동이면 두 직선은 평행 (비-교차하는)입니다를 입증했습니다.

그것은 만약 두 직선이 평행이면, 횡단의 교대 각도의 쌍의 각도가 합동이라는 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)에서 따릅니다 (유클리드 원론의 제안 1.29).

Corresponding angles

대응 각도는 다음과 같은 네 쌍의 각도입니다:

별개의 꼭짓점을 가집니다,
횡단의 같은 쪽에 놓입니다, 그리고
하나의 각도는 내부이고 나머지 다른 것은 외부입니다.

두 직선이 평행인 것과 임의의 횡단의 대응 각도의 임의의 쌍의 두 각도가 합동 (측정에서 같음)인 것은 필요충분 조건입니다.

유클리드의 원론의 제안 1.28, 절대 기하학(absolute geometry)의 정리 (따라서, 쌍곡형(hyperbolic)과 유클리드 기하학(Euclidean Geometry) 둘 다에서 유효함)는 만약 횡단의 대응 각도의 쌍의 각도가 합동이면 두 직선은 평행 (비-교차하는)입니다를 입증했습니다.

그것은 만약 두 직선이 평행이면, 횡단의 대응 각도의 쌍의 각도가 합동이라는 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)에서 따릅니다 (유클리드 원론의 제안 1.29).

만약 대응 각도의 한 쌍의 각도가 합동이면, 나머지 다른 쌍의 각각의 각도는 역시 합동입니다. 이 페이지의 평행 직선을 갖는 다양한 이미지에서, 대응 각도 쌍은 다음과 같습니다: α=α₁, β=β₁, γ=γ₁, 및 δ=δ₁.

Consecutive interior angles

연속 내부 각도는 다음과 같은 두 쌍의 각도입니다:^[4]^[2]

별개의 꼭짓점을 가집니다,
횡단의 같은 편에 놓입니다, 그리고
둘 다 내부입니다.

두 직선이 평행인 것과 임의의 횡단의 연속 내부 각도의 임의의 쌍의 두 각도는 보충적 (합해서 180°)인 것은 필요충분 조건입니다.

유클리드의 원론의 제안 1.28, 절대 기하학(absolute geometry)의 정리 (따라서, 쌍곡형(hyperbolic)과 유클리드 기하학(Euclidean Geometry) 둘 다에서 유효함)는 만약 연속 내부 각도의 쌍의 각도가 보충적이면 두 직선은 평행 (비-교차하는)입니다를 입증했습니다.

그것은 만약 두 직선이 평행이면, 횡단의 연속 내부 각도의 쌍의 각도가 보충적이라는 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)에서 따릅니다 (유클리드 원론의 제안 1.29).

만약 연속 내부 각도의 한 쌍이 보충적이면, 나머지 다른 쌍은 역시 보충적입니다.

Other characteristics of transversals

만약 삼각형을 형성하는 일반적인 위치에 있는 셋의 직선이 그때에 횡단에 의해 절단되면, 여섯의 결과 선분의 길이는 메넬라우스의 정리(Menelaus's theorem)를 만족시킵니다.

Related theorems

평행 공준(parallel postulate)의 유클리드(Euclid)의 공식화는 횡단의 관점에서 기술될 수 있습니다. 구체적으로 특별히, 만약 횡단의 같은 편에 있는 내부 각도는 두 직각보다 작으면 직선들은 교차해야 합니다. 사실, 유클리드는 보통 "횡단"으로 번역되는 같은 문구를 그리스어로 사용합니다.^[5]

유클리드의 제안 27은 만약 횡단이 교대 내부 각도가 합동이 되도록 두 직선을 교차하면, 직선들은 평행입니다. 유클리드는 이것을 모순에 의해(by contradiction) 입증했습니다: 만약 직선들이 평행하지 않으면 그것들은 교차해야 하고 삼각형이 형성됩니다. 그런-다음 교대 각도 중 하나는 그 삼각형에서 반대 내부 각도인 다른 각과 같은 외부 각도입니다. 이것은 삼각형의 외부 각도가 반대 내부 각도보다 항상 크다고 말하는 제안 16과 모순됩니다.^[6]^[7]

유클리드의 제안 28은 이 결과를 두 가지 방법으로 확장합니다. 첫째, 만약 횡단이 대응 각도가 합동이 되도록 두 직선을 교차하면 직선은 평행입니다. 둘째, 만약 횡단이 그것의 같은 편에 내부 각도가 보충적이 되도록 두 직선을 교차하면 직선은 평행입니다. 이것들은 교차하는 직선의 반대 각도가 같고 (제안 15) 한 직선에 대한 인접 각도가 보충적 (제안. 13)이라는 사실을 적용함으로써 이전 제안에서 따릅니다. 프로크로스(Proclus)에 의해 언급되었듯이, 유클리드는 평행 직선에 대해 가능한 여섯 그러한 기준 중 오직 셋을 제공합니다.^[8]^[9]

유클리드의 제안 29는 앞의 두 명제에 대한 전환입니다. 첫째, 만약 횡단이 두 평행 직선과 교차하면, 교대 내부 각도가 합동입니다. 그렇지 않으면, 하나가 다른 각도보다 크며, 이것은 그것의 보충이 다른 각도의 보충보다 작다는 것을 의미합니다. 이것은 다섯 번째 공준과 모순되는 두 직각보다 작은 횡단의 같은 편에 내부 각도가 있음을 의미합니다. 그 제안은 두 평행 직선의 횡단에서, 대응 각도가 합동이고 같은 편에서 내부 각도가 두 직각과 같음을 말함으로써 계속됩니다. 이들 명제는 제안. 28이 제안. 27에서 따르는 것과 같은 방법에서 따릅니다.^[10]^[11]

유클리드의 증명은 다섯 번째 공준의 필수적으로 사용을 만들고, 어쨌든, 기하학의 현대적 처리는 대신 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)를 사용합니다. 플레이페어의 공리를 가정하여 제안 29를 입증하기 위해, 횡단이 둘의 평행 직선을 가로지르게 하고 교대 내부 각도가 같지 않다고 가정합니다. 횡단이 첫 번째 직선과 교차하지만, 횡단이 두 번째 직선과 이루는 각도와 같은 각도에서 그 점을 통과하는 세 번째 직선을 그립니다. 이것은 공리와 모순되는 또 다른 직선에 둘 다 평행한 점을 통해 둘의 다른 직선을 생성합니다.^[12]^[13]

In higher dimensions

더 높은 차원의 공간에서, 별개의 점에서 각 직선의 집합과 교차하는 직선은 해당 직선의 집합의 횡단입니다. 이-차원 (평면)의 경우와 달리, 횡단은 둘보다 많은 직선의 집합에 대해 존재하는 것이 보장되지 않습니다.

유클리드 3-공간에서, 레귤러스(regulus)는 $R$ 의 각 직선 위에 점을 통해, $R$ 의 횡단이 통과하고 $R$ 의 횡단의 각 점을 통해 $R$ 의 직선이 통과함을 만족하는 꼬인 직선(skew lines) $R$ 의 집합입니다. 레귤러스 $R$ 의 횡단의 집합은 역시 레귤러스이며, 반대 레굴루스, $R o$ 라고 불립니다. 이 공간에서, 셋의 서로 꼬인 직선은 항상 레귤러스로 확장될 수 있습니다.

References

^ "Transversal". Math Open Reference. 2009. (interactive)
^ ^a ^b Rod Pierce (2011). "Parallel Lines". MathisFun. (interactive)
^ Holgate Art. 87
^ C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. p. 582.
^ Heath p. 308 note 1
^ Heath p. 307
^ See also Holgate Art. 88
^ Heath p. 309-310
^ See also Holgate Art. 89-90
^ Heath p. 311-312
^ See also Holgate Art. 93-95
^ Heath p. 313
^ A similar proof is given in Holgate Art. 93

Holgate, Thomas Franklin (1901). Elementary Geometry. Macmillan.
Thomas Little Heath, T.L. (1908). The thirteen books of Euclid's Elements. Vol. 1. The University Press. pp. 307 ff.

[1] "Transversal". Math Open Reference. 2009. (interactive)

[MathisFun-2] Rod Pierce (2011). "Parallel Lines". MathisFun. (interactive)

[3] Holgate Art. 87

[Oxford-4] C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. p. 582.

[5] Heath p. 308 note 1

[6] Heath p. 307

[7] See also Holgate Art. 88

[8] Heath p. 309-310

[9] See also Holgate Art. 89-90

[10] Heath p. 311-312

[11] See also Holgate Art. 93-95

[12] Heath p. 313

[13] A similar proof is given in Holgate Art. 93

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