Meromorphic function

복소 해석학(complex analysis)의 수학적 분야에서, 복소 평면(complex plane)의 열린 부분집합(open subset) D 위에 유리형 함수(meromorphic function)는 함수의 극점(poles)인 고립된 점(isolated points)의 집합을 제외하고 모든 D 위에 정칙(holomorphic)인 함수입니다.^[1] 그 용어는 "부분(part)"을 의미하는 고대 그리스 meros (μέρος)에서 유래했습니다.^[a]

D 위에 모든 각 유리형 함수는 D 위에 정의된 두 개의 정칙 함수(holomorphic functions) (분모가 상수 0이 아님) 사이의 비율로 표현될 수 있습니다: 임의의 극점은 분모의 영과 일치해야 합니다.

Heuristic description

직관적으로, 유리형 함수는 두 개의 잘-행동하는 (정칙) 함수의 비율입니다. 그러한 함수는 분수의 분모가 0인 점을 제외하고는 여전히 잘-행동할 것입니다. 만약 분모가 z에서 0을 가지고 분자가 그렇지 않으면, 함수의 값은 무한대에 접근할 것입니다; 만약 두 부분 모두 z에서 영을 가지면, 우리는 이들 영점의 중복도(multiplicity)를 비교해야 합니다.

대수적 관점에서, 함수의 도메인이 연결되어 있으면, 유리형 함수의 집합은 정칙 함수 집합의 정수 도메인(integral domain)의 분수 필드(field of fractions)입니다. 이것은 유리수(rational numbers)와 정수(integers) 사이의 관계와 유사합니다.

Prior, alternate use

그 용어가 사용되는 연구 분야와 그 용어의 정확한 의미는 모두 20세기에 변경되었습니다. 1930년대에 그룹 이론(group theory)에서, 유리형(meromorphic) 함수 (또는 meromorph)는 그룹 G에서 그룹 위의 곱를 보존하는 자체로의 함수였습니다. 이 함수의 이미지는 G의 자기동형(automorphism)이라고 불립니다.^[2] 유사하게, 준동형(homomorphic) 함수 (또는 준동형)는 곱을 보존하는 그룹 사이의 함수였고, homomorphism은 homomorph의 이미지였습니다. 이 형식의 용어는 이제 더 이상 사용되지 않고, 관련된 용어 meromorph는 더 이상 그룹 이론에서 사용되지 않습니다. 이제 endomorphism이라는 용어는 함수의 이미지에 주어진 특별한 이름을 갖지 않고 함수 자체에 사용됩니다.

유리형 함수는 반드시 자기사상일 필요는 없는데, 왜냐하면 극점의 복소 점이 해당 도메인에 있지 않지만 치역에 있을 수 있기 때문입니다.

Properties

유리형 함수의 극점은 고립되어 있기 때문에, 많아야 셀-수-있을(countably) 정도로 많습니다.^[3] 극점의 집합은 다음 함수로 예시된 것처럼 무한일 수 있습니다:

$f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.$

제거-가능한 특이점(removable singularities)을 제거하기 위해 해석적 연속(analytic continuation)을 사용함으로써, 유리형 함수는 더해지고, 빼지고, 곱해질 수 있고, 몫 $f/g$ 는 D의 연결된 구성 요소(connected component)에 대해 $g(z)=0$ 이 아닌 한 형성될 수 있습니다. 따라서 D가 연결된 것이면, 유리형 함수는 실제로 복소수의 필드 확장(field extension), 하나의 필드(field)를 형성합니다.

Higher dimensions

여러 복소 변수(several complex variables)에서, 유리형 함수는 두 개의 정칙 함수의 지역적인 몫으로 정의됩니다. 예를 들어, $f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}$ 는 이-차원 복소 아핀 공간 위에 유리형 함수입니다. 여기서 모든 각 유리형 함수가 리만 구(Riemann sphere)에서 값을 갖는 정칙 함수로 고려될 수 있다는 것은 더 이상 사실이 아닙니다: 여차원(codimension) 2의 "불확정성"의 집합이 있습니다 (주어진 예에서 이 집합은 원점 $(0,0)$ 으로 구성됩니다).

차원 일과 달리, 더 높은 차원에서 예를 들어, 대부분 복소 토러스(complex tori)와 같이 비-상수 유리형 함수가 없는 컴팩트 복소 매니폴드(complex manifolds)가 존재합니다.

Examples

모든 유리 함수(rational functions),는^[3] 예를 들어 $f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},$ 전체 복소 평면 위에 유리형입니다.
다음 함수와 $f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$ 마찬가지로 감마 함수(gamma function)와 리만 제타 함수(Riemann zeta function)는 전체 복소 평면 위에 유리형입니다.^[3]
다음 함수는 $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ 원점, 0을 제외하고 전체 복소 평면에서 정의됩니다. 어쨌든, 0은 함수의 극점이 아닌, 본질적 특이점(essential singularity)입니다. 따라서, 이 함수는 전체 복소 평면에서 유리형이 아닙니다. 어쨌든, 그것은 $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ 위에 유리형 (심지어 정칙)입니다.
복소 로그(complex logarithm) 함수는 $f(z)=\ln(z)$ 전체 복소 평면 위에 유리형이 아닌데, 왜냐하면 그것은 고립된 점의 집합을 오직 제외하고 전체 복소 평면 위에 정의될 수 없기 때문입니다.^[3]
다음 함수는 $f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}$ 전체 평면에서 유리형이 아닌데, 왜냐하면 점 $z=0$ 는 극점의 누적 점(accumulation point)이고 따라서 고립된 특이점이 아니기 때문입니다.^[3]
다음 함수는 $f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$ 유리형이 아닌데, 왜냐하면 그것은 0에서 본질적 특이점을 가지기 때문입니다.

On Riemann surfaces

리만 표면(Riemann surface) 위에, 모든 각 점은 복소 평면의 열린 부분집합에 대해 쌍정칙(biholomorphic)인 열린 이웃을 허용합니다. 따라서 유리형 함수의 개념은 모든 리만 표면에 대해 정의될 수 있습니다.

D가 전체 리만 구(Riemann sphere)일 때, 유리형 함수의 필드는 단순히 복소 필드에 걸쳐 하나의 변수에 있는 유리 함수의 필드인데, 왜냐하면 구 위의 임의의 유리형 함수가 유리 함수임을 증명할 수 있기 때문입니다. (이것은 이른바 GAGA 원칙의 특수한 경우입니다.)

모든 각 리만 표면(Riemann surface)에 대해, 유리형 함수는 리만 구에 매핑되는 정칙 함수와 같고 이것은 ∞와 같은 상수 함수가 아닙니다. 극점은 ∞에 매핑되는 복소수에 해당합니다.

비-컴팩트 리만 표면(Riemann surface)에서, 모든 각 유리형 함수는 두 개의 (전역적으로 정의된) 정칙 함수의 몫으로 실현될 수 있습니다. 대조적으로, 컴팩트 리만 표면에서, 모든 각 정칙 함수는 상수이지만, 항상 비-상수 유리형 함수가 존재합니다.

Footnotes

^ Greek meros (μέρος) means "part", in contrast with the more commonly used holos (ὅλος), meaning "whole".

References

^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. "Meromorphic function". Encyclopedia of Mathematics. Springer Science+Business Media B.V. ; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.
^ Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1st ed.). Leipzig; Berlin: B. G. Teubner Verlag. pp. 29, 41.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.

[2] Greek meros (μέρος) means "part", in contrast with the more commonly used holos (ὅλος), meaning "whole".

[Hazewinkel_2001-1] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. "Meromorphic function". Encyclopedia of Mathematics. Springer Science+Business Media B.V. ; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.

[3] Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1st ed.). Leipzig; Berlin: B. G. Teubner Verlag. pp. 29, 41.

[Lang_1999-4] Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.

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[a]

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