Monic polynomial

Original article: w:Monic polynomial

대수학(algebra)에서, 일계수 다항식(monic polynomial)은 선행 계수(leading coefficient) (가장 높은 차수의 비-영 계수)가 1과 같은 단일-변수 다항식 (즉, 일변수 다항식(univariate polynomial))입니다. 그러므로, 일계수 다항식은 다음 형식을 가집니다:

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

Univariate polynomials

만약 다항식이 오직 하나의 불확정(indeterminate)을 가지면 (일변수 다항식(univariate polynomial)), 항은 보통 가장 높은 차수에서 가장 낮은 차수로 ("내림차순") 또는 가장 낮은 차수에서 가장 높은 차수로 ("오름차순") 쓸 수 있습니다. 차수 n의 x에서 일변수 다항식은 그런-다음 위에서 보이는 일반적인 형식을 취하며, 여기서

c_n ≠ 0, c_n−1, ..., c₂, c₁ 및 c₀

는 상수, 다항식의 계수입니다.

여기서 항 c_nxⁿ이 선행 항이라고 불리고, 그것의 계수 c_n는 선행 계수입니다; 만약 선행 계수가 1이면, 일변수 다항식은 일계수(monic)이라고 불립니다.

Examples

• Complex quadratic polynomials

Properties

Multiplicatively closed

(주어진 (유니태리) 링(ring) A에 걸쳐 및 주어진 변수 x에 대해) 모든 일계수 다항식의 집합은 곱셈 아래에서 닫혀 있는데, 왜냐하면 선행 항의 곱이 그들의 곱의 선행 항이기 때문입니다. 따라서, 일계수 다항식은 다항식 링(polynomial ring) A[x]의 곱셈의 반그룹(semigroup)을 형성합니다. 실제로, 상수 다항식(constant polynomial) 1은 일계수이기 때문에, 이 반그룹은 심지어 모노이드(monoid)입니다.

Partially ordered

(주어진 링에 걸쳐) 모든 일계수 다항식의 집합에 대한 나눔가능성(divisibility)의 관계의 제한은 부분적인 순서(partial order)이고, 따라서 이 집합을 포셋(poset)으로 만듭니다. 그 이유는 만약 두 일계수 다항식 p와 q에 대해 p(x)가 q(x)를 나누고 q(x)가 p(x)를 나누면, p와 q가 같아야 하기 때문입니다. 해당 속성은 만약 그 링이 1 이외의 역-가능한 원소(invertible element)를 포함하면, 일반적으로 다항식에 대해 참이 아닙니다.

Polynomial equation solutions

다른 관점에서, 일계수 다항식과 그에 상응하는 일계수 다항 방정식(polynomial equation)의 속성은 계수 링 A에 결정적으로 의존합니다. 만약 A가 필드(field)이면, 모든 각 비-영 다항식 p는 정확히 하나의 결합된(associated) 일계수 다항식 q를 가집니다; 실제로, q는 p를 그것의 선행 계수로 나눈 것입니다. 이 방법으로, 그런-다음, 임의의 비-자명한 다항 방정식 p(x) = 0은 동등한 일계수 방정식 q(x) = 0으로 대체될 수 있습니다. 예를 들어, 일반적인 실수 이차 방정식은

$\ ax^{2}+bx+c=0$ (where $a\neq 0$)

p = b/a 과  q = c/a을 놓음으로써, 다음으로 대체될 수 있습니다:

$\ x^{2}+px+q=0$.

따라서, 다음 방정식은

$2x^{2}+3x+1=0$

다음 일계수 방정식과 동등합니다:

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

일반적인 이차 해 공식은 그런-다음 다음의 약간 더 단순화된 형식입니다:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).$

Integrality

다른 한편으로, 만약 계수 링이 필드가 아니면, 보다 본질적인 차이가 있습니다. 예를 들어, 정수(integer) 계수를 갖는 일계수 다항 방정식은 정수 해 이외의 다른 유리(rational) 해를 절대 가질 수 없습니다. 따라서, 다음 방정식은

$\ 2x^{2}+3x+1=0$

아마도 일부 유리 근을 가질 것이며, 이것은 정수가 아닙니다, (그리고 우연히 그것의 근의 하나가 −1/2입니다); 반면에 다음 방정식과

$\ x^{2}+5x+6=0$

다음 방정식은

$\ x^{2}+7x+8=0$

오직 정수 해 또는 무리(irrational) 해를 가질 것입니다.

정수 계수를 갖는 일계수 다항식의 근은 대수적 정수(algebraic integer)라고 불립니다.

정수 도메인(integral domain)에 걸쳐 일계수 다항 방정식에 대한 해는 정수 확장(integral extension)과 정수적으로 닫힌 도메인(integrally closed domain)의 이론, 및 따라서 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)에 대해 중요합니다. 일반적으로, A가 정수 도메인에 있고, 역시 정수 도메인 B의 부분링에 있다고 가정합니다. A에 걸쳐 일계수 다항 방정식을 만족시키는, 그들 B 원소를 구성하는, B의 부분집합 C를 생각해 보십시오:

$C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\,,{\hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0\}\,.$

집합 C는 A를 포함하는데, 왜냐하면 임의의 a ∈ A는 방정식 x − a = 0을 만족시키기 때문입니다. 게다가, C가 덧셈과 곱셈 아래에서 닫힌 것임을 입증하는 것이 가능합니다. 따라서, C는 B의 부분링입니다. 링 C는, 만약 B가 A의 분수 필드(fraction field)이고; C의 원소가 A에 걸쳐 정수(integral)라고 말해지면, B에서 A의 정수 클로저; 또는 단지 A의 정수 클로저라고 불립니다. 만약 여기서 $A=\mathbb {Z}$ (정수(integer)의 링) 및 $B=\mathbb {C}$ (복소수(complex number)의 필드)이면, C는 대수적 정수(algebraic integers)의 링입니다.

Irreduciblity

만약 p가 소수이면, p 원소를 갖는 유한 필드 $GF(p)$에 걸쳐 차수 n의 일계수 기약 다항식(irreducible polynomial)의 숫자는 넥클리스 셈 함수(necklace counting function) $N_{p}(n)$와 같습니다.

만약 우리가 일계수라는 제약을 제거하면, 이 숫자는 $(p-1)N_{p}(n)$이 됩니다.

이들 일계수 기약 다항식의 근의 전체 숫자는 $nN_{p}(n)$입니다. 이것은 임의의 더 작은 필드에 속하지 않는 ($p^{n}$ 원소를 갖는) 필드 $GF(p^{n})$의 원소의 숫자입니다.

p = 2에 대해, 그러한 다항식은 유사확률 이항 수열(pseudorandom binary sequence)을 생성하기 위해 공통적으로 사용됩니다.

Multivariate polynomials

보통, 용어 일계수는 여러 변수의 다항식에 사용되지 않습니다. 어쨌든, 여러 변수에서 다항식은 오직 "마지막" 변수에서 다항식이지만, 계수들이 다른 변수에서 다항식이 되는 것으로 여길 수 있습니다. 이것은 변수 중 어떤 하나가 "마지막 변수"로 선택되었는지에 따라 여러 가지 방법으로 행해질 수 있습니다. 예를 들어, 다음 실수 다항식은

$\ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8$

R[y][x]에서 원소, 즉, 변수 x에서 일변수 다항식으로 고려된, 일계수이고, 그것 자체는 y에서 일계수 다항식인 계수를 가집니다:

$p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)$;

그러나 p(x,y)는 R[x][y]에서 원소로 일계수가 아닌데, 왜냐하면 그때에 가장 높은 차수 계수 (즉, y² 계수)는  2x − 1이기 때문입니다.

대안적인 관례, 예를 들어 그뢰브너 기저(Gröbner basis) 문맥에서 유용할 수 있는 것들이 있습니다: 다항식은, 만약 그것의 (다변수 다항식으로) 그것의 선행 계수가 1이면, 일계수라고 불립니다. 다시 말해서, p = p(x₁,...,x_n)가 n 변수에서 비-영 다항식이고, 이들 변수에서 모든 ("일계수") 단항식의 집합에 주어진 단항식 순서(monomial order), 즉, 가장 낮은 원소로 단위, 및 관련하는 곱셈과 함께, x₁,...,x_n에 의해 생성된 자유 교환 단항식(monoid)의 총 순서가 있음을 가정합니다. 해당 경우에서, 이 순서는 p에서 가장 높은 비-사라지는 항을 정의하고, 만약 해당 항에 계수 일을 가지면, p는 일계수라고 불릴 수 있습니다.

두 정의에 따른 "일계수 다변수 다항식"은 "보통의" (일변수) 일계수 다항식과 일부 속성을 공유합니다. 현저하게, 일계수 다항식의 곱은 다시 일계수입니다.

References

• Pinter, Charles C. (2010) [Unabridged republication of the 1990 second edition of the work originally published in 1982 by the McGraw–Hill Publishing Company]. A Book of Abstract Algebra. Dover. ISBN 978-0486474175.