Indeterminate (variable)

Original article: wikipedia:Indeterminate (variable)

수학(mathematics), 및/또는 특히 형식적인 대수학(algebra)에서, 불확정성수(indeterminate)는 변수로 취급되는 기호이지만, 자신을 제외하고는 다른 것을 의미하지는 않고, 종종 다항식(polynomial)과 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)와 같은 대상에서 자리-표시-자로 사용됩니다. 특히:

• 그것은 문제의 상수 또는 매개 변수(parameter)를 지정하지 않습니다.
• 그것은 풀릴 수 있는 미지수가 아닙니다.
• 그것은 함수 인수를 지정하는 변수, 또는 더해지거나 또는 적분되는 변수(variable)가 아닙니다.
• 그것은 경계 변수(bound variable)의 임의의 유형이 아닙니다.
• 그것은 단지 전체적으로 형식적 방법에서 사용도니 기호입니다.

Polynomials

불확정수 $X$에서 다항식은 형식 ㅍ의 표현이며, 여기서 $a_{i}$는 다항식의 계수(coefficient)라고 불립니다. 두 그러한 다항식은 오직 만약 대응하는 계수가 같으면 같습니다. 반대로, 변수 $x$에서 두 다항 함수는 $x$의 특정 값에서 같은 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

예를 들어, 다음 함수는:

$f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x$,

$x=3$일 때 같고 그렇지 않으면 같지 않습니다. 그러나, 다음 두 다항식은:

$2+3X,\quad 5+2X$,

같지 않은데, 왜냐하면 2는 5와 같지 않고, 3은 2와 같지 않기 때문입니다. 사실, 다음은,

$2+3X=a+bX$

만약 $a=2$와 $b=3$이 아니면 유지되지 않습니다. 이것은 $X$가 아니고, 하나의 숫자를 가리키지 않기 때문입니다.

그 구별은 미묘한데, 왜냐하면 $X$에서 다항식은 함수에서 치환에 의해 $x$로 변경될 수 있기 때문입니다. 그러나 그 구별은 중요한데 왜냐하면 정보는 이 대체가 만들어지지 않을 때 잃어버릴 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 모듈로 2(modulo 2)에서 동작할 때, 우리는 다음임을 가집니다:

$0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,$

따라서 다항 함수 $x-x^{2}$는 모듈로-2 시스템에서 임의의 값을 가지는 $x$에 대해 0과 동일하게 같기 때문입니다. 어쨌든, 다항식 $X-X^{2}$는 영 다항식이 아닌데, 왜냐하면 계수, 0, 1, 및 −1 각각은 모두 영은 아니기 때문입니다.

Formal power series

불확정수 $X$에서 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)는 형식 $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots$의 표현이며, 여기서 어떤 값도 기호 $X$에 할당되지 않습니다. 이것은 계수의 무한 숫자가 비-영일 수 있다는 점을 제외하고 다항식의 정의와 유사합니다. 미적분학에서 만나는 거듭제곱 급수(power series)와 달리, 수렴(convergence)의 질문은 관련이 없습니다 (왜냐하면 함수 역할이 없기 때문입니다). 따라서 $1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,$와 같은 $x$의 값에 대해 발산하는 거듭제곱 급수가 허용됩니다.

As generators

불확정수는 수학적 구조(mathematical structure)를 생성하는 것에 대해 추상적 대수학(abstract algebra)에서 유용합니다. 예를 들어, 필드(field) $K$가 주어지면, $K$에서 계수를 갖는 다항식의 집합은 연산으로 다항식 덧셈과 곱셈을 갖는 다항식 링(polynomial ring)입니다. 특히, 만약 두 불확정수 $X$와 $Y$가 사용되면, 다항식 링 $K[X,Y]$는 역시 이들 연산을 사용하, 관례는 $XY=YX$임을 유지합니다.

불확정수는 역시 교환 링(commutative ring) $A$에 걸쳐 자유 대수(free algebra)를 생성하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 두 불확정수 $X$와 $Y$를 갖는, 자유 대수 $A\langle X,Y\rangle$는 $A$에서 계수를 갖는, 및 $XY$와 $YX$가 반드시 같지는 않다는 이해와 함께 $X$와 $Y$에서 문자열의 합을 포함합니다 (왜냐하면 자유 대수는 정의에 의해 비-교환적이기 때문입니다).

See also

• Indeterminate equation
• Indeterminate form
• Indeterminate system
• Polynomial
• Formal power series

References

• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. Wiley.
• McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

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