Order of magnitude

Original article: w:Order of magnitude

The scale of everything. It begins with spacetime (quantum foam) and moves through small elementary particles, intermediate elementary particles, large elementary particles, components of composite particles, the components of atoms, electromagnetic waves, simple atoms, complex atoms, molecules, small viruses, large viruses, chromosomes, cells, hairs, body parts, species, groups of species, small areas such as craters, large areas such as land masses, planets, orbits, stars, small planetary systems, intermediate planetary systems, large planetary systems, collections of stars, star clusters, galaxies, galaxy groups, galaxy clusters, galaxy superclusters, the cosmic web, Hubble volumes, and ends with the Universe.

크기의 정도(order of magnitude)는 어떤 상황적으로 이해되는 일부 참조 값, 로그의 밑으로 해석되고 크기 일의 값의 대표하는, 보통 십에 상대적인 값의 로그(logarithm)의 근사입니다, 로그 분포(Logarithmic distribution)는 본성에서 공통적이고 그러한 분포에서 표본화된 값의 크기의 정도를 고려하는 것은 보다 직관적일 수 있습니다. 참조 값이 십일 때, 크기의 정도는 값의 밑수-10 표현에서 자릿수의 개수로 이해될 수 있습니다. 유사하게, 만약 참조 값이 특정 이의 거듭제곱 중 하나이면, 크기는 정확한 정수 값을 저장하기 위해 요구된 컴퓨터 메모리의 총양으로 이해될 수 있습니다.

크기의 정도에서 차이(difference)는 "데캐이드(decades)" (즉, 십의 인수)에서 밑수-10 로그 스케일(logarithmic scale) 위에 측정될(measured) 수 있습니다. 서로 다른 크기의 숫자의 예제는 크기의 정도 (숫자)에서 찾아질 수 있습니다.

Definition

일반적으로, 숫자의 크기의 정도는 해당 숫자를 나타내기 위해 사용되는 십의 최소 거듭제곱입니다. 숫자 $N$의 크기의 정도를 산정하기 위해, 숫자는 먼저 다음 형식으로 표현됩니다:

$N=a\times 10^{b}$

여기서 ${\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}$입니다. 그런-다음, $b$는 숫자의 크기의 정도를 나타냅니다. 크기의 정도는 임의의 정수(integer)일 수 있습니다. 아래 테이블은 이 정의에 비추어 일부 숫자의 크기의 정도의 순서를 열거합니다:

숫자 $N$	$N=a\times 10^{b}$에서 표현	크기의 정도 $b$
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	0.5 × 101	1
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	0.32 × 102	2
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

$10^{b-1/2}$와 $10^{b+1/2}$의 기학 평균(geometric mean)은 $10^{b}$이며, 정확하게 $10^{b}$ (즉, $a=1$)의 값이 $a$의 가능한 값의 범위 이내에 기하학적 "중간 지점"을 나타냄을 의미합니다.

일부 더 간단한 정의를 사용하며 여기서 $0.5<a\leq 5$이며, 아마도 $10^{b}$와 $10^{b+c}$의 산술 평균(arithmetic mean)이 증가하는 $c$에 대해 $5\times 10^{b+c-1}$에 접근하기 때문입니다. 이 정의는 약간 $b$의 값을 낮추는 효과를 가집니다.

숫자 $N$	$N=a\times 10^{b}$에서 표현	크기의 정도 $b$
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	5 × 100	0
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	3.2 × 101	1
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

여전히 다른 것들은 $a$를 $1\leq a<10$인 값으로 제한하며, 숫자의 크기의 정도를 과학적 표기법(scientific notation)에서 지수 부분과 정확히 같게 만듭니다.

Uses

크기의 정도는 대략적인 비교를 위해 사용됩니다. 만약 일 크기의 정도만큼 다르면, x는 y보다 양에서 약 10배 다릅니다. 만약 값이 둘의 크기의 정도만큼 다르면, 그것들은 약 100의 인수만큼 다릅니다. 같은 크기의 정도의 두 숫자는 대략 같은 스케일을 가집니다: 더 큰 값은 더 작은 값의 10배 미만입니다.

단어에서 (긴 스케일)	단어에서 (짧은 스케일)	접두사 (기호)	십진수	십의 거듭제곱	크기의 정도
quadrillionth	septillionth	yocto- (y)	0.000000000000000000000001	10−24	−24
trilliardth	sextillionth	zepto- (z)	0.000000000000000000001	10−21	−21
trillionth	quintillionth	atto- (a)	0.000000000000000001	10−18	−18
billiardth	quadrillionth	femto- (f)	0.000000000000001	10−15	−15
billionth	trillionth	pico- (p)	0.000000000001	10−12	−12
milliardth	billionth	nano- (n)	0.000000001	10−9	−9
millionth	millionth	micro- (µ)	0.000001	10−6	−6
thousandth	thousandth	milli- (m)	0.001	10−3	−3
hundredth	hundredth	centi- (c)	0.01	10−2	−2
tenth	tenth	deci- (d)	0.1	10−1	−1
one	one		1	100	0
ten	ten	deca- (da)	10	101	1
hundred	hundred	hecto- (h)	100	102	2
thousand	thousand	kilo- (k)	1000	103	3
million	million	mega- (M)	1000000	106	6
milliard	billion	giga- (G)	1000000000	109	9
billion	trillion	tera- (T)	1000000000000	1012	12
billiard	quadrillion	peta- (P)	1000000000000000	1015	15
trillion	quintillion	exa- (E)	1000000000000000000	1018	18
trilliard	sextillion	zetta- (Z)	1000000000000000000000	1021	21
quadrillion	septillion	yotta- (Y)	1000000000000000000000000	1024	24
단어에서 (긴 스케일)	단어에서 (짧은 스케일)	접두사 (기호)	십진수	십의 거듭제곱	크기의 정도

Calculating the order of magnitude

숫자의 크기의 정도는, 직관적으로 말하면, 숫자에 포함된 10의 거듭제곱의 숫자입니다. 보다 정확하게, 숫자의 크기의 정도는, 잘림(truncation)에 의해 얻어진, 보통 로그의 정수(integer) 부분으로 상용 로그(common logarithm)의 관점에서 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 4000000는 6.602의 (밑수 10에서) 로그를 가집니다; 그것의 크기의 정도는 6입니다. 자를 때, 이 크기의 정도의 숫자는 10⁶과 10⁷ 사이에 있습니다. 유사한 예제에서, 문구 "그는 7자리 수입을 가졌습니다"와 함께, 크기의 정도는 숫자의 개수 빼기 일으므로, 계산기없이 6으로 매우 쉽게 결정됩니다. 크기의 정도는 로그 스케일(logarithmic scale)에서 대략적인 위치입니다.

Order-of-magnitude estimate

정확한 값을 알려져 있지 않은 변수의 크기의 정도의 추정은 가장 가까운 십의 거듭제곱으로 반올림(rounded)된 추정입니다. 예를 들어, (지구의 인구와 같은) 약 30억에서 300억 사이의 변수에 대해 크기의-정도의 추정은 100억입니다. 숫자를 그것의 가장 가까운 크기의 정도로 반올림하기 위해, 우리는 그것의 로그를 가장 가까운 정수로 반올림합니다. 따라서 로그 (밑수 10에서) 6.602의 로그를 가지는 4000000은 가장 가까운 크기의 정도로 7을 가지는데, 왜냐하면 "가장 가까운"은 잘림이 아닌 반올림을 의미하기 때문입니다. 과학적 표기법으로 쓰인 숫자에 대해, 이 로그 반올림 스케일은 배수가 십의 제곱근 (약 3.162)보다 클 때 십의 다음 거듭제곱까지 반올림을 요구합니다. 예를 들어, 1.7×10⁸에 대해 가장 가까운 크기의 정도는 8이고, 반면에 3.7×10⁸에 대해 가장 가까운 크기의 정도는 9입니다. 크기의-정도의 추정은 때때로 역시 영 번째 정도 근사(zeroth order approximation)라고 불립니다.

Order of magnitude difference

두 값 사이의 크기의-정도의 차이는 십의 인수입니다. 예를 들어, 행성 토성(Saturn)의 질량은 지구(Earth)의 질양의 95배이므로, 토성은 지구보다 둘의 크기의 정도 더 무겁습니다. 크기의-정도의 차이는 로그 스케일(logarithmic scale)로 측정될 때 데캐이드(decades)라고 불립니다.

Non-decimal orders of magnitude

See also: Logarithmic scale

다른 크기의 정도는 10이 아닌 밑수(bases)를 사용하여 계산될 수 있습니다. 고대 그리스인은 천체의 야간 밝기를 6단계로 평가했으며, 여기에서 각 수준은 가장 가까운 약한 밝기의 수준(level of brightness)의 백의 다섯 번째 제곱근 (약 2.512)만큼 더 밝았고, 따라서 가장 밝은 수준이 가장 약한 것보다 5 크기의 정도 더 밝은 것은 그것이 (100^1/5)⁵ 또는 100배 더 밝은 것의 인수임을 나타냅니다.

세계의 다른 십진(decimal) 숫자-표시 시스템(numeral systems)은 숫자의 크기를 더 잘 구상하기 위해 더 큰 밑수를 사용하고 이 더 큰 밑수의 거듭제곱에 대해 이름을 만들어 왔습니다. 그 테이블은 밑수 10과 밑수 1000000에 대해 무슨 숫자가 크기의 정도를 목표로 하는지 보여줍니다. 이 예제에서 크기의 정도가 숫자 이름에 포함되는데, 왜냐하면 bi-는 2를 의미하고 tri-는 3을 의미하고 (이것들은 오직 긴 스케일에서 의미가 있음), 접미사 -illion은 밑수가 1000000임을 나타내기 때문임을 알 수 있습니다. 그러나 숫자 이름은 십억, 조 자체 (여기서는 첫 번째 장과 다른 의미를 가짐)는 크기의 정도의 이름이 아니라, 그것들은 "크기"의 이름, 즉 숫자 1000000000000 등입니다.

크기의 정도	아래의 log10임	아래의 log1000000임	짧은 스케일	긴 스케일
1	10	1000000	million	million
2	100	1000000000000	trillion	billion
3	1000	1000000000000000000	quintillion	trillion

테이블의 오른쪽에서 SI 단위는 SI 접두사(SI prefix)와 함께 사용되며, 이것은 주로 밑수 1000 크기를 염두에 두고 고안되었습니다. 밑수 1024를 갖는 IEC 표준 접두사는 전기 기술에서 사용하기 위해 발명되었습니다.

별의 밝기에 대해 고대 겉보기 크기(apparent magnitude)는 밑수 ${\sqrt[{5}]{100}}\approx 2.512$에서 사용되고 역순되었습니다. 현대화된 버전은 어쨌든 비-정수 값을 가진 로그 스케일로 바뀌었습니다.

Extremely large numbers

극단적으로 큰 숫자(large numbers)에 대해, 일반화된 크기의 정도는 이중 로그(double logarithm) 또는 최상-로그(super-logarithm) 위에 기반될 수 있습니다. 이들을 정수로 아래쪽으로 반올림하는 것은 매우 "반올림 숫자" 사이의 카테고리를 제공하며, 그것들을 가장 가까운 정수로 반올림하고 역함수를 적용하는 것은 "가장 가까운" 반올림 숫자를 제공합니다.

이중 로그는 다음 카테고리를 산출합니다:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰–10¹⁰⁰⁰, ...

(언급된 처음 두 개와 왼쪽으로의 확장은 그다지 유용하지 않을 수 있으며, 그것들은 단지 수열이 어떻게 수학적으로 왼쪽으로 계속되는지 시연합니다).

최상-로그는 다음 카테고리를 산출합니다:

0–1, 1–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰¹⁰, 10¹⁰¹⁰–10¹⁰¹⁰¹⁰, ... 또는(or)

0–⁰10, ⁰10–¹10, ¹10–²10, ²10–³10, ³10–⁴10, ...

반올림 숫자가 더 가까운 것을 결정하는 "중간점"은 처음 경우에서 다음입니다:

1.076, 2.071, 1453, 4.20×10³¹, 1.69×10³¹⁶,...

그리고, 두 번째 경우에서, 보간 방법에 따라,

−0.301, 0.5, 3.162, 1453, 1×10¹⁴⁵³, $(10\uparrow )^{1}10^{1453}$, $(10\uparrow )^{2}10^{1453}$,... (극단적으로 큰 숫자의 표기법을 참조하십시오)

극단적으로 작은 숫자 (영에 가까운 의미에서)에 대해 두 방법 모두는 직접적으로 적합하지 않지만, 역수(reciprocal)의 일반화된 크기의 정도는 고려될 수 있습니다.

로그 스케일(logarithmic scale)과 유사하게, 우리는 이중 로그 스케일 (여기에 제공된 예제)과 최상-로그 스케일을 가질 수 있습니다. 위의 모든 구간은 "중간점"이 실제로 중간에 있는 그것들 위에 같은 길이를 가집니다. 보다 일반적으로, 두 점 사이의 중간의 점은 f(x)에 대응하는 함수 log log x 또는 slog x를 갖는 일반화된 f-평균(generalised f-mean)에 해당합니다. log log x의 경우에 대해, 두 숫자의 이 평균 (예를 들어, 2와 16이 4를 제공)은, 단지 log x의 경우 (기하 평균(geometric mean), 2와 8이 4를 제공)에서 처럼, 로그의 밑수에 의존하지 않지만, log log log x의 경우에서와 다릅니다 (만약 밑수가 2이면 4와 65536이 16을 제공하지만, 그렇지 않으면 아닙니다).

See also

• Big O notation
• Decibel
• Mathematical operators and symbols in Unicode
• Names of large numbers
• Names of small numbers
• Number sense
• Orders of magnitude (energy)
• Orders of magnitude (numbers)
• Scientific notation
• Unicode symbols for CJK Compatibility includes SI Unit symbols
• Valuation (algebra), an algebraic generalization of "order of magnitude"
• Scale (analytical tool)

Further reading

• Asimov, Isaac The Measure of the Universe (1983)

External links

• The Scale of the Universe 2 Interactive tool from Planck length 10⁻³⁵ meters to universe size 10²⁷
• Cosmos – an Illustrated Dimensional Journey from microcosmos to macrocosmos – from Digital Nature Agency
• Powers of 10, a graphic animated illustration that starts with a view of the Milky Way at 10²³ meters and ends with subatomic particles at 10⁻¹⁶ meters.
• What is Order of Magnitude?