Orientability

수학(mathematics)에서, 방향-가능성은 실수 벡터 공간(real vector spaces), 유클리드 공간(Euclidean spaces), 표면(surfaces), 및 보다 일반적으로 "시계-방향"과 "반-시계-방향"의 일관된 정의를 허용하는 매니폴드(manifolds)와 같은 일부 토폴로지적 공간(topological spaces)의 속성입니다.^[1] 공간은 만약 그러한 일관된 정의가 존재하면 방향-가능(orientable)입니다. 이 경우에서, 두 가지 가능한 정의가 있고, 그들 중 선택은 공간의 방향(orientation)입니다. 실수 벡터 공간, 유클리드 공간, 및 구(spheres)는 방향-가능입니다. 공간은 만약 "시계-방향"이 그 방향에서 몇 개의 루프(loops)를 실행하고 시작점으로 돌아온 후 "반-시계-방향"으로 변경되면 비-방향가능(non-orientable)입니다. 이것은 그러한 루프를 따라 계속 움직이는 와 같은 기하학적 모양(geometric shape)이 자체 거울 이미지(mirror image) 로 변경됨을 의미합니다. 뫼비우스 띠(Möbius strip)는 비-방향가능 공간의 한 예입니다.

원하는 응용과 일반성 수준에 따라 다양한 등가의 방향가능성의 형식화가 제공될 수 있습니다. 일반 토폴로지적 매니폴드에 적용할 수 있는 형식화는 종종 호몰로지 이론(homology theory)의 방법을 사용하고, 반면에 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds)에 대해 더 많은 구조가 존재하며, 미분 형식(differential forms)의 관점에서 형식화할 수 있습니다. 공간의 방향가능성 개념의 일반화는 매개변수 값에서 방향의 변화에 따라 연속적으로 변하는 각 공간에서 방향이 선택되어야 하는 일부 다른 공간 (올-다발(fiber bundle))에 의해 매개변수화된 공간 가족의 방향-가능성입니다.

Orientable surfaces

유클리드 공간(Euclidean space) R³에서 표면 S는 만약 이-차원 도형 (예를 들어, )이 표면 주위로 이동할 수 없고 원래의 거울 이미지 ()처럼 보이도록 다시 시작 위치로 이동할 수 없으면 방향-가능입니다. 그렇지 않으면 표면은 비-방향가능입니다. 추상적 표면 (즉, 이-차원 매니폴드)은 만약 시계-방향 회전의 일관된 개념이 표면 위에 연속적인 방식에서 정의될 수 있으면 방향-가능입니다. 다시 말해서, 표면에서 한 방향으로 회전하는 루프는 반대 방향으로 회전하는 루프로 (자체 중첩 없이) 연속적으로 변형될 수 없습니다. 이것은 표면이 뫼비우스 띠(Möbius strip)와 위상-동형(homeomorphic)인 부분-집합이 포함하고 있지 않은지 여부에 대한 질문과 동등합니다. 따라서, 표면에 대해, 뫼비우스 띠가 모든 비-방향가능성의 원인으로 고려될 수 있습니다.

방향-가능 표면에 대해, "시계-방향" (반-시계방향과 반대)의 일관된 선택이 방향(orientation)이라고 불리고, 그 표면은 방향화(oriented)된 것이라고 불립니다. 유클리드 공간에 삽입된 표면에 대해, 방향은 모든 각 점에서 연속적으로 변하는 표면 법선(surface normal) n의 선택에 의해 지정됩니다. 만약 그러한 법선이 존재하면, 항상 그것을 선택하는 두 가지 방법: n 또는 −n이 있습니다. 보다 일반적으로, 방향-가능 표면은 정확히 두 방향을 허용하고, 방향화된 표면과 방향가능 표면 사이의 구분은 미묘하고 자주 흐릿합니다. 방향-가능 표면은 방향을 허용하는 추상 표면이고, 반면에 방향화된 표면은 추상적으로 방향-가능인 표면이고, 두 가지 가능한 방향 중 하나의 선택의 추가적인 데이터를 가집니다.

Examples

물리적 세계에서 접하는 대부분의 표면은 방향-가능입니다. 예를 들어, 구(Spheres), 평면(planes), 및 토러스(tori)는 방향-가능입니다. 그러나 뫼비우스 띠(Möbius strips), 실수 투영 평면(real projective planes), 및 클라인 병(Klein bottles)은 비-방향가능입니다. 그것들은, 3-차원으로 시각화된 것처럼, 모두 한 면만 가지고 있습니다. 실수 투영 평면과 클라인 병은 R³에 삽입될 수 없으며, 멋진 교차로만 몰입(immersed)됩니다.

지역적으로 삽입된 표면은 항상 두 면을 가지므로, 한-면 표면 위에 기어다니는 근시 개미는 "다른 면"이 있다고 생각할 것임을 주목하십시오. 한-면화의 본질은 개미가 표면을 통과하거나 가장자리를 뒤집지 않지만, 단순히 충분히 멀리 기어감으로써 표면의 한쪽에서 "다른 쪽"으로 기어갈 수 있다는 것입니다.

일반적으로, 방향-가능인 것의 속성은 두-면인 것과 동등하지 않습니다: 어쨌든, 이것은 주변 공간 (예를 들어 위의 R³)이 방향-가능일 때 유지됩니다. 예를 들어, 다음에 삽입된 토러스는

K^{2}\times S^{1}

한-면일 수 있고, 같은 공간에 있는 클라인 병은 두-면일 수 있습니다; 여기서 $K^{2}$ 는 클라인 병을 참조합니다.

Orientation by triangulation

임의의 표면은 삼각분할(triangulation)을 가집니다: 삼각형의 각 가장자리가 많아야 하나의 다른 가장자리에 붙음을 만족하는 삼각형으로 분해입니다. 각 삼각형은 삼각형 둘레 주위로 방향을 선택함으로써 방향화되며, 삼각형의 각 가장자리에 방향을 연결합니다. 만약 이것이, 함께 붙였을 때, 인접한 가장자리가 반대 방향을 가리키는 방법으로 수행되면, 이것이 표면의 방향을 결정합니다. 그러한 선택은 오직 표면이 방향-가능이면 가능하고, 이 경우에서 정확히 두 개의 다른 방향이 있습니다.

만약 도형 이 거울 이미지로 변경 없이 표면의 모든 점에 일관되게 위치될 수 있으면, 이것은 삼각형 내부에 있는 임의의 도형의 빨강-녹색-파랑 색상 순서에 기초하여 각 삼각형의 방향을 선택함으로써 삼각분할의 각 삼각형 위에 위의 의미에서 방향을 유도할 수 있습니다.

이 접근 방식은 삼각분할을 가지는 임의의 n-매니폴드에 일반화됩니다. 어쨌든, 일부 4-매니폴드는 삼각분할을 가지지 않고, 일반적으로 n > 4에 대해 일부 n-매니폴드는 비-동등한 것인 삼각분할을 가집니다.

Orientability and homology

만약 H₁(S)가 표면 S의 첫 번째 호몰로지(homology) 그룹을 나타내면, S가 방향-가능인 것과 H₁(S)가 자명한 꼬임 부분그룹(torsion subgroup)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 보다 정확하게, 만약 S가 방향-가능이면 H₁(S)는 자유 아벨 그룹(free abelian group)이고, 그렇지 않으면 H₁(S) = F + Z/2Z이며 여기서 F는 자유 아벨이고, Z/2Z 인수는 S에 삽입된 뫼비우스 끈(Möbius band)에서 중간 곡선에 의해 생성됩니다.

Orientability of manifolds

M을 연결된 토폴로지적 n-매니폴드라고 놓습니다. M이 방향-가능이라는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 몇 가지 가능한 정의가 있습니다. 이들 정의 중 일부는 M이 미분-가능인 것과 같은 여분의 구조를 가질 것을 요구합니다. 때때로, $n = 0$ 는 특별한 경우로 만들어져야 합니다. 이들 정의 중 하나 이상이 M에 적용될 때, M이 하나의 정의 아래에서 방향-가능인 것과 그것이 나머지 다른 정의 아래에서 방향-가능인 것은 필요충분 조건입니다.^[2]^[3]

Orientability of differentiable manifolds

가장 직관적인 정의는 M이 미분-가능 매니폴드여야 함을 요구합니다. 이것은 M의 아틀라스에 있는 전이 함수가 C¹-함수임을 의미합니다. 그러한 함수는 야코비 행렬식(Jacobian determinant)을 허용합니다. 야코비 행렬식이 양수일 때, 전이 함수는 방향 보존하는(orientation preserving) 것이라고 말합니다. M 위에 방향화된 아틀라스(oriented atlas)는 모든 전이 함수가 방향 보존하는 아틀라스입니다. M은 방향화된 아틀라스를 허용하면 방향-가능입니다. $n > 0$ 일 때, M의 방향은 최대 방향화된 아틀라스입니다. ( $n = 0$ 일 때, M의 방향은 함수 $M \to {\pm1}$ 입니다.)

방향-가능성과 방향은 접 다발의 관점에서 표현될 수도 있습니다. 접 다발은 벡터 다발(vector bundle)이므로, 그것은 구조 그룹(structure group) $GL(n, R)$ 을 갖는 올-다발(fiber bundle)입니다. 즉, 매니폴드의 전이 함수는 섬유-별 선형 변환인 접 다발에 전이 함수를 유도합니다. 만약 구조 그룹이 양의 행렬식 행렬의 그룹 $GL + (n, R)$ 로 축소될 수 있으면, 또는 동등하게 만약 전이 함수가 각 접 공간 위에 선형 변환을 보존하는 방향을 결정하는 아틀라스가 존재하면, 매니폴드 M은 방향-가능입니다. 반대로, M이 방향-가능인 것과 접 다발의 구조 그룹이 이러한 방법으로 축소될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 유사한 관찰이 프레임 다발에 대해 만들어질 수 있습니다.

미분-가능 매니폴드 위에 방향을 정의하는 또 다른 방법은 부피 형식(volume forms)을 통한 것입니다. 부피 형식은 M의 코탄젠트 다발의 꼭대기 외부 거듭제곱, $⋀ n T * M$ 의 아무 데도 사라지지 않는 섹션 ω입니다. 예를 들어, Rⁿ은 $dx 1 \land \dots \land dx n$ 에 의해 주어진 표준 부피 형식을 가집니다. M 위에 부피 형식이 주어지면, 표준 부피 형식이 ω의 양의 배수로 다시 당겨지는 모든 차트 $U \to R n$ 의 모음은 방향화된 아틀라스입니다. 따라서 부피 형식의 존재는 매니폴드의 방향가능성과 동등합니다.

부피 형식과 접 벡터는 방향가능성의 또 다른 설명을 제공하기 위해 결합될 수 있습니다. 만약 $X 1, \dots, X n$ 이 점 p에서 접 벡터의 기저이면, 기저는 $ω(X 1, \dots, X n) > 0$ 이면 오른-손(right-handed)이라고 말합니다. 전이 함수가 방향 보존하는 것과 그것이 오른-손 기저를 오른-손 기저로 보내는 것은 필요충분 조건입니다. 부피 형식의 존재는 접 다발 또는 프레임 다발의 구조 그룹을 $GL + (n, R)$ 으로 축소됨을 의미합니다. 이전과 마찬가지로, 이것은 M의 방향가능성을 의미합니다. 반대로, M이 방향-가능이면, 지역 부피 형식은 전역 부피 형식을 만들기 위해 함께 고쳐질 수 있으며, 방향가능성은 전역 형식이 어디에서나 사라지지 않음을 보장하기 위해 필요합니다.

Homology and the orientability of general manifolds

미분-가능 매니폴드의 방향가능성에 대한 위의 모든 정의의 핵심은 방향을 보존하는 전이 함수의 개념입니다. 이것은 그러한 전이 함수가 정확히 무엇을 보존하는지에 대한 질문을 제기합니다. 매니폴드의 방향은 아틀라스이기 때문에 매니폴드의 방향을 유지할 수 없고, 전이 함수가 자신이 속한 아틀라스를 보존하거나 보존하지 않는다고 말하는 것은 의미가 없습니다.

이 질문은 지역 방향을 정의함으로써 해결될 수 있습니다. 일-차원 매니폴드 위에, 점 p 주위의 지역 방향은 해당 점 근처의 왼쪽과 오른쪽 선택에 해당합니다. 이-차원 매니폴드 위에, 그것은 시계-방향과 반-시계방향의 선택에 해당합니다. 이들 두 상황은 p 근처이지만 p에서는 아닌 꼭대기-차원 동작으로 설명된다는 공통된 특징을 공유합니다. 일반적인 경우에 대해, M을 토폴로지적 n-매니폴드라고 놓습니다. 점 p 주위의 M의 지역 방향(local orientation)은 그룹 생성기의 선택입니다:

H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).

이 그룹의 기하학적 중요성을 보기 위해, p 주위의 차트를 선택하십시오. 그 차트에서, 원점 O 주위에 열린 공 B인 p의 이웃이 있습니다. 절단 정리(excision theorem)에 의해, $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ 은 $H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)$ 와 동형입니다. 공 B는 축약-가능이므로, 그것의 호몰로지 그룹은 차수 영을 제외하고 사라지고, 공간 $B \ O$ 는 $(n - 1)$ -구이므로, 그것의 호몰로지 그룹은 차수 $n - 1$ 과 $0$ 을 제외하고 사라집니다. 상대적 호몰로지(relative homology)의 긴 정확한 수열(long exact sequence)을 갖는 계산은 위의 호몰로지 그룹이 $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z}$ 와 동형임을 보여줍니다. 따라서 생성기의 선택은, 주어진 차트에서, p 주위의 구가 양수인지 음수인지의 결정에 해당합니다. 원점을 통한 $R n$ 의 반사는 $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)$ 에 대한 부정으로 작용하므로, 생성기 선택의 기하학적 중요성은 차트와 그것들의 반사를 구별한다는 것입니다.

토폴로지적 매니폴드 위에, 전이 함수는 만약, 도메인에서 각 점 p에서, 그것이 $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ 의 생성기를 고정하면, 방향 보존하는(orientation preserving) 것입니다. 여기에서, 관련 정의는 미분-가능 경우와 같습니다. 방향화된 아틀라스(oriented atlas)는 모든 전이 함수가 방향 유지하는 것 중 하나이며, M은 만약 그것이 방향화된 아틀라스를 허용하면 방향-가능이고, $n > 0$ 일 때, M의 방향은 최대 방향화된 아틀라스입니다.

직관적으로, M의 방향은 각 점에서 M의 고유한 지역 방향을 정의해야 합니다. 이것은 p 주위에 방향화된 아틀라스에서 임의의 차트가 p 주위의 구를 결정하기 위해 사용될 수 있고, 이 구는 $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ 의 생성기를 결정됨을 주의함으로써 정확하게 만듭니다. 더욱이, p 주위의 임의의 다른 차트는 방향 보존하는 전이 함수에 의해 첫 번째 차트와 관련되고, 이것은 두 차트가 같은 생성기를 산출한다는 것을 의미하며, 그것으로부터 생성기는 고유합니다.

순수한 호몰로지 정의도 가능합니다. M이 닫혀 있고 연결되어 있다고 가정하면, M이 방향-가능인 것과 n번째 호몰로지 그룹 $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ 이 정수 Z와 동형인 것은 필요충분 조건입니다. M의 방향은 이 그룹의 생성기 $α$ 의 선택입니다. 이 생성기는 무한 순환 그룹 $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ 의 생성기를 고정하고 방향화된 차트를 $α$ 가 고정된 생성기를 앞으로 밀어내는 차트로 취함으로써 방향화된 아틀라스를 결정합니다. 반대로, 방향화된 아틀라스는 호몰로지 그룹 $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ 에 대해 생성기를 제공하기 위해 함께 접착될 수 있는 호환-가능한 지역 방향과 같은 생성기를 결정합니다.^[4]

Orientation and cohomology

매니폴드 M이 방향-가능인 것과 첫 번째 스티펠-휘트니 클래스(Stiefel–Whitney class) $w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbf {Z} /2)$ 가 사라지는 것은 필요충분 조건입니다. 특히, Z/2 계수를 갖는 첫 번째 코호몰로지 그룹이 영이면, 매니폴드는 방향-가능입니다. 더욱이 M이 방향-가능이고 w₁이 사라지면, $H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)$ 는 방향의 선택을 매개변수화합니다.^[5] 이러한 방향성 특성화는 단지접 다발이 아니라 M에 걸쳐 일반 벡터 다발의 방향가능성(orientability of general vector bundles)으로 확장됩니다.

The orientation double cover

M의 각 점 주위에 두 개의 지역 방향이 있습니다. 직관적으로, 점 $p$ 에서 지역 방향으로부터 가까운 점 $p'$ 의 지역 방향으로 이동하는 방법이 있습니다: 두 점이 같은 좌표 차트 $U \to R n$ 에 놓여 있을 때, 해당 좌표 차트는 $p$ 와 $p'$ 에서 호환-가능 지역 방향을 정의합니다. 따라서 지역 방향 집합은 토폴로지가 주어질 수 있고, 이 토폴로지는 그것을 매니폴드로 만듭니다.

더 정확하게, O를 M의 모든 지역 방향의 집합이라고 놓습니다. O를 토폴로지화하기 위해, 우리는 그것의 토폴로지에 대해 부분기저를 지정할 것입니다. U를 $H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )$ 이 Z와 동형임을 만족하는 선택된 M의 열린 부분집합이라고 놓습니다. α가 이 그룹의 생성기라고 가정합니다. U에서 각 p에 대해, 밂 함수 $H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ 가 있습니다. 이 그룹의 코도메인은 두 개의 생성기를 가지고, α는 그 중 하나에 매핑됩니다. O 위에 토폴로지는 다음이 열린 것이 되도록 정의됩니다:

\{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)\colon p\in U\}.

로컬 방향을 p에서 p로 보내는 정식의 맵 $π : O \to M$ 이 있습니다. M의 모든 각 점은 $π$ 아래에서 정확하게 두 개의 이전-이미지를 가지고 있음이 분명합니다. 사실, $π$ 는 심지어 지역 위상-동형인데, 왜냐하면 위에서 언급한 열린 집합 U의 이전-이미지는 U의 두 복사본의 서로소 합집합에 위상-동형이기 때문입니다. M이 방향-가능이면, M 자체는 이들 열린 집합 중 하나이므로, O는 M의 두 복사본의 서로소 합집합입니다. 어쨌든, M이 비-방향가능이면, O는 연결되어 있고 방향-가능입니다. 매니폴드 O는 방향 이중 덮개(orientation double cover)라고 불립니다.

Manifolds with boundary

M이 경계를 갖는 매니폴드이면, M의 방향은 그것의 내부의 방향으로 정의됩니다. 그러한 방향은 ∂M의 방향을 유도합니다. 실제로, M의 방향이 고정되어 있다고 가정합니다. $U \to R n +$ 를 M의 내부로 제한될 때 선택된 방향화된 아틀라스에 있는 M의 경계 점에서 차트라고 놓습니다. 이 차트의 ∂M에 대한 제한은 ∂M의 차트입니다. 그러한 차트는 ∂M에 대해 방향화된 아틀라스를 형성합니다.

M이 매끄러운 것일 때, ∂M의 각 점 p에서, ∂M에 대한 M의 접 다발의 제한은 $T p \partial M \oplus R$ 와 동형이며, 여기서 R의 인수는 안쪽을 가리키는 법선 벡터로 설명됩니다. T_p∂M의 방향은 T_p∂M의 기저가 양수적으로 방향화되는 것과 그것이, 안쪽을 가리키는 법선 벡터와 결합될 때, T_pM의 양수적으로 방향화된 기저를 정의하는 것이 필요충분 조건이라는 조건에 의해 정의됩니다.

Orientable double cover

Animation of the orientable double cover of the Möbius strip.

밀접하게 관련된 개념은 덮는 공간(covering space)의 개념을 사용합니다. 연결된 매니폴드 M에 대해 M*, 쌍 (x, o)의 집합을 취합니다. 여기서 x는 M의 점이고 o는 x에서 방향입니다; 여기서 우리는 M이 매끄러운 것이므로 한 점에서 접 공간의 방향을 선택할 수 있거나 방향을 정의하기 위해 특이 호몰로지(singular homology)를 사용하는 것으로 가정합니다. 그런-다음 M의 모든 각 열린, 방향화된 부분집합에 대해, 해당 쌍 집합을 고려하고 M*의 열린 집합으로 정의합니다. 이것은 M*에 토폴로지를 제공하고 x에 (x, o)를 보내는 투영은 그때에 2-에서-1 덮는 맵입니다. 이 덮는 공간은 방향-가능이기 때문에 방향-가능 이중 덮개(orientable double cover)라고 불립니다. M*이 연결된 것과 M이 방향-가능이 아닌 것은 필요충분 조건입니다.

이 덮개를 구성하는 또 다른 방법은 기준점을 기준으로 루프를 방향-보존하는 또는 방향-반전하는 루프로 나누는 것입니다. 방향 보존하는 루프는 전체 그룹 또는 인덱스(index) 2인 기본 그룹의 부분그룹을 생성합니다. 후자의 경우 (즉, 방향반전하는 경로가 있음을 의미함)에서, 부분그룹은 연결된 이중 덮개에 해당합니다; 이 덮개는 구성에 의해 방향-가능입니다. 전자의 경우에서, 각각 다른 방향에 해당하는 두 개의 M 복사본을 취할 수 있습니다.

Orientation of vector bundles

하나의 선험(a priori)이 GL(n) 구조 그룹을 가지는 실수 벡터 다발은 구조 그룹(structure group)이 양의 행렬식(determinant)을 갖는 행렬(matrices) 그룹, $GL^{+}(n)$ 으로 축소될 수 있을 때 방향-가능(orientable)이라고 불립니다. 접 다발(tangent bundle)에 대해, 이 축소는 놓여있는 기본 매니폴드가 방향-가능이면 항상 가능하고 실제로 이것은 매끄러운(smooth) 실수 매니폴드의 방향가능성을 정의하는 편리한 방법을 제공합니다: 매끄러운 매니폴드는 그것의 접 다발(tangent bundle)이 (벡터 다발로) 방향-가능이면 방향-가능인 것으로 정의됩니다. 그 자체로 매니폴드로서, 접 다발이 심지어 비-방향가능 매니폴드에 걸쳐 항상 방향-가능임을 주목하십시오.

Related concepts

Lorentzian geometry

로렌츠 기하학(Lorentzian geometry)에서, 공간 방향가능성(space orientability)과 시간 방향가능성(time orientability)의 두 종류의 방향가능성이 있습니다. 이것들은 시공간의 인과적 구조(causal structure)에서 역할을 합니다.^[6] 일반 상대성(general relativity)의 맥락에서, 시공간 매니폴드는 만약, 두 명의 오른-손 관찰자가 같은 시공간지점에서 출발하여 로켓선을 타고 출발하고, 그런-다음 또 다른 지점에서 다시 만날 때마다, 그것들이 서로에 관해 오른-손으로 남아 있으면, 공간 방향-가능입니다. 만약 시공간이 시간-방향가능이면 두 관찰자는 그들의 만남의 두 지점에서 항상 시간의 방향에 일치할 것입니다. 사실, 시공간이 시간-방향가능인 것과 임의의 두 관찰자가 두 만남 중 어느 만남이 다른 만남보다 먼저 일치할 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.^[7]

공식적으로, 유사-직교 그룹(pseudo-orthogonal group) O(p,q)은 한 쌍의 성격(characters)을 가집니다: 공간 방향 성격 σ₊와 시간 방향 성격 σ를 가집니다:

\sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.

그것들의 곱 σ = σ₊σ₋는 방향 성격을 제공하는 결정자입니다. 유사-리만 매니폴드의 공간-방향은 결합된 다발(associated bundle)의 단면(section)으로 식별됩니다:

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}

여기서 O(M)은 유사-직교 프레임의 다발입니다. 유사하게, 시간 방향은 다음 결합된 다발의 단면입니다:

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.

References

^ Munroe, Marshall Evans (1963). Modern multidimensional calculus. Addison-Wesley. p. 263.
^ Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. HarperCollins. ISBN 978-0-8053-9021-6.
^ Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0521795401.
^ Hatcher 2001, p. 236 Theorem 3.26(a)
^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. p. 79 Theorem 1.2. ISBN 0-691-08542-0.
^ Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
^ Hadley, Mark J. (2002). "The Orientability of Spacetime" (PDF). Classical and Quantum Gravity. 19 (17): 4565–71. arXiv:gr-qc/0202031v4. CiteSeerX 10.1.1.340.8125. doi:10.1088/0264-9381/19/17/308.

External links

Orientation of manifolds at the Manifold Atlas.
Orientation covering at the Manifold Atlas.
Orientation of manifolds in generalized cohomology theories at the Manifold Atlas.
The Encyclopedia of Mathematics article on Orientation.

[:0-1] Munroe, Marshall Evans (1963). Modern multidimensional calculus. Addison-Wesley. p. 263.

[2] Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. HarperCollins. ISBN 978-0-8053-9021-6.

[3] Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0521795401.

[4] Hatcher 2001, p. 236 Theorem 3.26(a)

[5] Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. p. 79 Theorem 1.2. ISBN 0-691-08542-0.

[6] Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.

[7] Hadley, Mark J. (2002). "The Orientability of Spacetime" (PDF). Classical and Quantum Gravity. 19 (17): 4565–71. arXiv:gr-qc/0202031v4. CiteSeerX 10.1.1.340.8125. doi:10.1088/0264-9381/19/17/308.

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