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Parallel postulate

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Original article: w:Parallel postulate
If the sum of the interior angles α and β is less than 180°, the two straight lines, produced indefinitely, meet on that side.

기하학(geometry)에서, 평행 공준(parallel postulate)은, 역시 유클리드의 다섯 번째 공준이라고 불리는데 왜냐하면 그것이 유클리드의 원론의 다섯 번째 공준이기 때문이며, 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 독특한 공리(axiom)입니다. 그것은 이-차원 기하학에서 다음임을 말합니다:

만약 한 선분이 같은 변에 둘의 직각보다 작은 둘의 내각을 형성하는 둘의 직선과 교차하면, 두 직선은, 무한하게 연장되면, 각도가 합해져서 둘의 직각보다 작은 변에서 만납니다.

이 공준은 평행 직선에 대해 구체적으로 이야기하지 않습니다;[1] 그것은 평행론과 관련된 가정일 뿐입니다. 유클리드는 제 I권, 정의 23에서[2] 평행 직선의 정의를 다섯 가지 공준 바로 전에 제공했습니다.[3]

유클리드 기하학은 평행 공준을 포함하여 모든 유클리드의 공리를 만족시키는 기하학의 연구입니다.

그 공준은 오랫동안 명백하거나 불가피한 것으로 여겨져 왔지만, 증명은 찾기 어려웠습니다. 결국 그 공준을 뒤집으면 비록 다른 기하학이기는 하지만 유효하다는 것이 발견되었습니다. 평행 공준이 유지되지 않는 기하학은 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)으로 알려져 있습니다. 유클리드의 다섯 번째 공준과 독립(independent)적인 기하학 (즉, 오직 처음 네 가지 공준의 현대적 동동한 것을 가정)은 절대 기하학(absolute geometry) (또는 때때로 "중립 기하학(neutral geometry)")으로 알려져 있습니다.

Equivalent properties

아마도 유클리드의 다른 공준에 따라 달라지는 그의 평행 공준과 가장 잘 일치하는 것은 스코틀랜드 수학자 존 플레이페어(John Playfair)의 이름을 따서 지은 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)일 것입니다. 그것은 다음임을 말합니다:

평면에서, 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 주어지면, 주어진 직선과 평행한 많아야 하나의 직선이 그 점을 지나도록 그려질 수 있습니다.[4]

이 공리 자체는 유클리드 평행 공준과 논리적으로 동등(logically equivalent)하지 않은데 왜냐하면 하나는 참이고 나머지 하나는 참이 아닌 기하학이 있기 때문입니다. 어쨌든, 유클리드 기하학을 제공하는 남아있는 공리의 존재에서, 이들 각각은 서로를 입증하기 위해 사용될 수 있으므로, 그것들은 절대 기하학(absolute geometry)의 문맥에서 동등합니다.[5]

평행 공준과 동등한 많은 다른 명제가 제안되어 왔으며, 그들 중 일부는 처음에는 평행론과 관련이 없는 것처럼 보였고, 일부는 너무 자명(self-evident)하여 유클리드의 다른 공준에서 평행 공준을 입증했다고 주장하는 사람들에 의해 무의식적(unconscious)으로 가정되었습니다. 이들 동등한 명제는 다음을 포함합니다:

  1. 외부 점을 통해 또 따른 주어진 직선에 평행하게 그려질 수 있는 직선은 많아야 하나가 있습니다. (플레이페어의 공리(Playfair's axiom))
  2. 모든 각 삼각형(triangle)에서 각도(angle)의 합은 180°입니다 (삼각형 공준(triangle postulate)).
  3. 그것의 각도가 합해져서 180°이 되는 삼각형이 존재합니다.
  4. 각도의 합은 모든 각 삼각형에 대해 같습니다.
  5. 닮아(similar) 있지만, 합동(congruent)이 아닌 한 쌍의 삼각형이 존재합니다.
  6. 모든 각 삼각형은 둘레-접(circumscribe)될 수 있습니다.
  7. 만약 사변형(quadrilateral)의 세 각도가 직각(right angle)이면, 네 번째 각도는 역시 직각입니다.
  8. 모든 각도가 직각인 사각형, 즉 직사각형(rectangle)이 존재합니다.
  9. 서로 일정한 거리(distance)에 있는 한 쌍의 직선이 존재합니다.
  10. 같은 직선에 평행한 두 직선은 역시 서로 평행합니다.
  11. 직각 삼각형(right-angled triangle)에서, 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다 (피타고라스의 정리(Pythagoras' Theorem)).[6][7]
  12. 코사인의 법칙(law of cosines), 피타고라스 정리의 일반화.
  13. 삼각형의 넓이(area)에는 위쪽 극한이 없습니다. (월리스 공리(Wallis axiom))[8]
  14. 사케리 사변형(Saccheri quadrilateral)의 꼭대기 각도는 90°입니다.
  15. 만약 직선이 원래 직선과 같은-평면에 있는 둘의 평행 직선 중 하나와 교차하면, 그것은 역시 다른 직선과 교차합니다. (프로크로스(Proclus)의 공리)[9]

어쨌든, "평행"이라는 단어를 사용하는 대안은 "평행"의 네 가지 일반적인 정의 – 불변의 분리, 절대 만나지 않음, 일부 세 번째 직선과 교차하는 같은 각도, 또는 임의의 세 번째 직선과 교차하는 같은 각도 – 중 어느 것이 의미되는지 설명해야 할 때 그렇게 간단해 보이지 않는데, 왜냐하면 이들 네 가지의 동등성 자체는 유클리드의 다섯 번째 공준과 동등한 무의식적으로 명백한 가정 중 하나이기 때문입니다. 위의 목록에서, 항상 비-교차하는 직선을 참조하는 것으로 취합니다. 예를 들어, 만약 플레이페어의 공리에서 "평행"이라는 단어가 '불변의 분리' 또는 '임의의 세 번째 직선과 교차하는 같은 각도'를 의미하는 것으로 취해지면, 더 이상 유클리드의 다섯 번째 공준과 동등하지 않고, 처음 넷에서 입증가능합니다 (그 공리는 '...많아야 하나의 직선이 있습니다'라고 말하며, 이것은 그러한 직선이 없다는 것과 일치합니다.) 어쨌든, 만약 평행 직선이 교차하지 않거나, 같은 각도에서 교차하는 그것들을 교차하는 일부 직선을 가지는 직선이 되도록 취해지면, 플레이페어의 공리는 문맥상 유클리드의 다섯 번째 공준과 동등하고 따라서 처음 네 가지 공준과 논리적으로 독립적입니다. 쌍곡선 기하학에서 두 번째 정의가 오직 초월평행(ultraparallel) 직선에 대해 유지되기 때문에 후자의 두 정의는 동등하지 않습니다.

History

2,000년 동안, 많은 시도가 유클리드의 처음 네 가지 공준을 사용하여 평행 공준을 입증하기 위해 만들어졌습니다. 그러한 증명이 그토록 많이 요구된 주된 이유는 처음 네 가지 공준과 달리 평행 공준이 자명하지 않기 때문입니다. 만약 그 공준들이 원소들에 나열된 순서가 중요했다면, 유클리드가 그것을 증명할 수 없거나 그것없이는 진행할 수 없다는 것을 깨달았을 때만 이 공정을 포함했음을 나타냅니다.[10] 다른 네 가지 공리 중에서 다섯 번째 공준을 증명하기 위해 많은 시도가 있었고, 그 중 많은 것이 실수가 발견될 때까지 오랜 기간 동안 증명으로 받아들여졌습니다. 변함없이 실수는 다섯 번째 공준 (플레이페어의 공리)과 동등한 것으로 판명된 일부 '명백한' 속성을 가정하는 것이었습니다. 비록 프로크로스(Proclus)의 시대부터 알려져 있을지라도, 존 플레이페어가 1795년 유클리드에 대한 유명한 논평을 쓴 후 유클리드의 다섯 번째 공준을 그 자신의 공리로 대체하자고 제안한 이후에 플레이페어의 공리로 알려지게 되었습니다.

프로크로스(Proclus) (410–485)는 The Elements에 대한 논평을 썼으며, 여기서 그는 다른 네 가지 공준에서 다섯 번째 공준을 추론하기 위해 시도된 증명에 대해 논평했습니다; 특히, 그는 프톨레마이오스(Ptolemy)가 잘못된 '증명'을 만들어 냈다고 지적합니다. 프로크로스는 그런-다음 계속해서 자신의 거짓 증명을 제시합니다. 어쨌든, 그는 다섯 번째 공준과 동등한 공준을 제공했습니다.

아랍 수학자(Arab mathematician), 이븐 알-하이삼(Ibn al-Haytham) (알하젠) (965-1039)은 모순에 의한 증명(proof by contradiction)을 사용하여 평행 공준을 증명하려는 시도를 하는 과정에서,[11] 그는 운동(motion)과 기하학으로의 변환(transformation)의 개념을 도입했습니다.[12] 그는 보리스 아브라모비치 로젠펠트(Boris Abramovich Rozenfeld)가 "Ibn al-Haytham–Lambert quadrilateral"이라고 이름지은 램버트 사변형(Lambert quadrilateral)을 공식화했었고,[13] 그의 시도된 증명은 램버트 사변형(Lambert quadrilateral)과 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)에서 발견되는 것과 유사한 원소를 포함하고 있습니다.[14]

페르시아의 수학자, 천문학자, 철학자이자 시인 오마르 카야얌(Omar Khayyám) (1050–1123)은 또 다른 명시적으로 주어진 공준에서 다섯 번째 공준을 입증하기 위해 시도했습니다 (철학자에 기인한 다섯 원칙 (아리스토텔레스) 중 네 번째에 기초합니다), 즉, "두 수렴하는 직선은 교차하고 둘의 수렴하는 직선에 대해 그것들이 수렴하는 방향으로 발산하는 것은 불가능합니다."[15] 그는 타원 기하학(elliptical geometry)과 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에 속하는 초기 결과 중 일부를 도출했지만, 그의 공준은 후자의 가능성을 제외했습니다.[16] 사케리 사변형(Saccheri quadrilateral)은 역시 11세기 후반에 오마르 카야얌에 의해 Explanations of the Difficulties in the Postulates of Euclid의 책 I에서 처음으로 고려되었습니다.[13] 그 전후에 유클리드에 대한 많은 주석가들 (조반니 지롤라모 사케리(Giovanni Girolamo Saccheri)를 포함)과 달리, 카야얌은 평행 공준을 그 자체로 증명하려고 한 것이 아니라 그의 동등한 공준에서 그것을 유도하려고 했습니다. 그는 유클리드의 다섯 번째 공준을 생략함으로써 세 가지 가능성이 생긴다는 것을 인식했습니다; 만약 한 직선에 대한 두 개의 수직선이 또 다른 직선과 교차하면, 마지막 직선을 현명하게 선택하면 두 개의 수직선을 만나는 내부 각도를 같게 만들 수 있습니다 (그것은 그런-다음 첫 번째 직선과 평행합니다). 만약 그 같은 내부 각도가 직각이면, 우리는 유클리드의 다섯 번째 가정을 얻습니다. 그렇지 않으면, 그것들은 예각이거나 둔각이어야 합니다. 그는 예각과 둔각 경우가 그의 공준을 사용하여 모순으로 이어짐을 보여주었지만, 그의 공준은 이제 다섯 번째 공준과 동등한 것으로 알려져 있습니다.

나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī) (1201–1274)는 그의 Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya (평행 직선에 대한 의심을 제거하는 토론) (1250)에서, 평행 공준과 일 세기 전에 카야얌의 시도된 증명의 자세한 비평을 작성했습니다. 나시르 알-딘은 평행 공준의 모순에 의한 증명을 도출하려고 시도했습니다.[17] 그는 역시 현재 타원 기하학과 쌍곡선 기하학으로 알려진 경우를 고려했지만, 그는 두 가지 모두를 배제했습니다.[16]

Euclidean, elliptical and hyperbolic geometry. The Parallel Postulate is satisfied only for models of Euclidean geometry.

나시르 알-딘의 아들, 사드르 알-딘 (때때로 "Pseudo-Tusi"로 알려져 있음)은, 1298년 그의 아버지의 후기 생각을 바탕으로 그 주제에 관한 책을 저술했으며, 그 책은 평행 공준과 동등한 비-유클리드 가설에 대해 가장 초기 주장 중 하나를 제시했습니다. "그는 본질적으로 공리와 공준의 유클리드 시스템과 원론에서 많은 제안의 증명 둘 다를 개정했습니다."[17][18] 그의 연구는 1594년 Rome에서 출판되었고 유럽 기하학자들에 의해 연구되었습니다. 이 연구는 사디르 알-딘의 연구와 월리스의 연구에 대한 비판으로 시작된,[19] 그 주제에 대한 사케리의 연구의 출발점이 되었습니다.[17]

조르다노 비탈레(Giordano Vitale) (1633–1711)는, 그의 책 Euclide restituo (1680, 1686)에서, 카야얌-사케리 사변형을 만약 세 점이 밑변 AB와 꼭대기 CD에서 같은-거리에 있으면, AB와 CD가 모든 곳에서 같은-거리임을 입증하기 위해 사용했습니다. 지롤라모 사케리(Girolamo Saccheri) (1667-1733)는 둔간 경우에서 불합리를 올바르게 획득하지만 (유클리드와 마찬가지로, 직선은 무한정 확장될 수 있고 무한 길이를 가진다고 암묵적 가정에서 진행), 예각 경우를 반박에 실패하는 (비록 그는 자신이 가지고 있다고 잘못 설득했지만), 더 철저하게 같은 추론의 선을 추구했습니다.

1766년에, 요한 램버트(Johann Lambert)는, 사케리가 했던 것처럼, 다섯 번째 공준을 입증하려고 시도했던 Theorie der Parallellinien을 썼지만 출판하지는 않았습니다. 그는 오늘날 우리가 램버트 사변형(Lambert quadrilateral)이라고 부르는, 셋의 직각을 갖는 사변형 (사케리 사변형의 절반으로 고려될 수 있음)인 도형으로 연구했습니다. 그는 사케리와 카야얌이 가졌던 것처럼 네 번째 각도가 둔각일 가능성을 재빨리 제거하고, 예각의 가정 아래에서 많은 정리를 입증하기 위해 진행했습니다. 사케리와 달리, 그는 이 가정과 모순에 도달했다고 느낀 적이 없습니다. 그는 삼각형의 넓이가 감소함에 따라 삼각형에서 각도의 합이 증가한다는 비-유클리드 결과를 입증했고, 이것은 허수 반지름의 구에 대한 예각의 모델의 가능성을 추측하게 했습니다. 그는 이 아이디어를 더 이상 수행하지 않았습니다.[20]

카야얌과 사케리가 유일하게 가능한 대안을 반증함으로써 유클리드의 다섯 번째를 입증하려고 시도했으며, 19세기는 마침내 수학자들이 그러한 대안을 탐구하고 결과적으로 논리적으로 일관된(logically consistent) 기하학을 발견하는 것을 보았습니다. 1829년에, 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키(Nikolai Ivanovich Lobachevsky)는 잘 알려지지 않은 러시아 저널 (나중에 독일어로 1840년에 다시 출판됨)에 예각 기하학에 대한 설명을 게재했습니다. 1831년에, 보여이 야노시(János Bolyai)는, 그의 아버지에 의한 책에서, 예각 기하학을 설명하는 부록을 포함했으며, 이것은, 의심할 여지없이, 그가 로바쳅스키와 독립적으로 개발한 것입니다. 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 역시 이 문제를 연구했지만, 그는 어떠한 그의 결과를 발표하지는 않았습니다. 보여이의 아버지, 포르크스 보야이(Farkas Bolyai)가 보낸 편지에서 가우스는 보야이의 결과를 듣고 다음과 같이 말했습니다:

"내가 이 연구를 칭찬할 수 없다고 말함으로써 시작했다면, 당신은 분명히 잠시 놀랐을 것입니다. 그러나 나는 달리 말할 수는 없습니다. 그것을 칭찬하는 것은 나 자신을 칭찬하는 것일 것이다. 과연 연구의 전체 내용, 당신 아들이 걸어온 길, 그가 이끄는 결과는, 지난 30~35년 동안 부분적으로 내 마음을 사로잡았던 나의 명상과 거의 전적으로 일치합니다."[21]

결과 기하학은 나중에 로바쳅스키(Lobachevsky), |리만(Riemann), 및 푸앵카레(Poincaré)에 의해 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry) (예각 경우)과 타원 기하학(elliptic geometry) (둔각 경우)으로 개발되었습니다. 유클리드의 다른 공리로부터 평행 공준의 독립성(independence)은 1868년에 에우제니오 벨트라미(Eugenio Beltrami)에 의해 마침내 시연되었습니다.

Converse of Euclid's parallel postulate

The converse of the parallel postulate: If the sum of the two interior angles equals 180°, then the lines are parallel and will never intersect.

유클리드는 유클리드 기하학을 타원 기하학(elliptic geometry)과 구별하기 위한 한 가지 방법인 그의 다섯 번째 공준의 전환(converse)을 가정하지 않았습니다. 원론은 동등한 명제의 증명을 포함합니다 (제 I권, 제안 27): 만약 두 직선 위에 떨어지는 직선이 교대 각도를 서로 같게 만들면, 직선은 서로 평행할 것입니다. 드 모르간(De Morgan)이 지적한 바와 같이,[22] 이것은 논리적으로 (책 I권, 제안 16)과 동등합니다. 이들 결과는 다섯 번째 공준에 의존하지 않지만, 그것들은 타원 기하학에서 위반되는 두 번째 가정을 요구합니다.[23]

Criticism

아르투어 쇼펜하우어(Arthur Schopenhauer)는 The World as Will and Idea에서 여덟 번째 공리보다 평행 공준을 논리적으로 입증하려는 시도를 비판했습니다.[24] 어쨌든, 쇼펜하우어에 의해 사용된 논증은 그 공준이 다른 공리들의 논리적 결과가 아니라는 것이 아니라 지각에 의해 명백하다는 것이었습니다.[25]

Decomposition of the parallel postulate

평행 공준은, [26]에서 보이는 것과 같이, 로트슈니택시옴(Lotschnittaxiom)과 아리스토텔레스의 공리(Aristotle's axiom)의 논리곱과 동등합니다. 전자는 직각의 변에 대한 수직선이 교차한다고 말하고, 반면에 후자는 각도의 다리에서 다른 다리까지의 거리의 길이에 대해 위쪽 경계가 없다고 말합니다. [27]에서 볼 수 있듯이, 평행 공준은 로트슈니택시옴(Lotschnittaxiom)과 아리스토텔레스의 공리(Aristotle's axiom)의 다음 입사-기하학적 형식의 논리곱과 동등합니다.

세 개의 평행선이 주어지면, 그들 세 개를 모두 교차하는 직선이 있습니다.

직선 a와 서로 구별되는 a와 각각 다른 두 개의 교차하는 직선 m과 n이 주어지면, a와 m은 교차하지만 n은 교차하지 않는 직선 g가 존재합니다.

See also

Notes

  1. ^ non-Euclidean geometries, by Dr. Katrina Piatek-Jimenez
  2. ^ Euclid's Elements, Book I, Definition 23
  3. ^ Euclid's Elements, Book I
  4. ^ Euclid's Parallel Postulate and Playfair's Axiom
  5. ^ Henderson & Taimiņa 2005, pg. 139
  6. ^ Eric W. Weisstein (2003), CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.), p. 2147, ISBN 1-58488-347-2, The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
  7. ^ Alexander R. Pruss (2006), The principle of sufficient reason: a reassessment, Cambridge University Press, p. 11, ISBN 0-521-85959-X, We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.
  8. ^ Bogomolny, Alexander. "Euclid's Fifth Postulate". Cut The Knot. Retrieved 30 September 2011.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Proclus' Axiom – MathWorld". Retrieved 2009-09-05.
  10. ^ Florence P. Lewis (Jan 1920), "History of the Parallel Postulate", The American Mathematical Monthly, 27 (1), The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1: 16–23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
  11. ^ Katz 1998, pg. 269
  12. ^ Katz 1998, p. 269:

    In effect, this method characterized parallel lines as lines always equidistant from one another and also introduced the concept of motion into geometry.
  13. ^ a b Rozenfeld 1988, p. 65
  14. ^ Smith 1992
  15. ^ Boris A Rosenfeld and Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p.467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
  16. ^ a b Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [469], Routledge, London and New York:

    "Khayyam's postulate had excluded the case of the hyperbolic geometry whereas al-Tusi's postulate ruled out both the hyperbolic and elliptic geometries."
  17. ^ a b c Katz 1998, pg.271:

    "But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry."
  18. ^ Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [469], Routledge, London and New York:

    "In Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid, [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the Elements."
  19. ^ MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri
  20. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Johann Heinrich Lambert". Retrieved 16 September 2011.
  21. ^ Faber 1983, pg. 161
  22. ^ Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.
  23. ^ Coxeter, H.S.M., Non-Euclidean Geometry, 6th Ed., MAA 1998, pg.3
  24. ^ Schopenhauer is referring to Euclid's Common Notion 4: Figures coinciding with one another are equal to one another.
  25. ^ http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf
  26. ^ Pambuccian, Victor (1994), "Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms", Journal of Geometry, 51 (1–2): 79–88, doi:10.1007/BF01226859, hdl:2027.42/43033, S2CID 28056805
  27. ^ Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "The ubiquitous axiom", Results in Mathematics, 76 (3): 1–39, doi:10.1007/s00025-021-01424-3, S2CID 236236967

References

External links

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved 2008-01-23

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