Congruence (geometry)

Original article: w:Congruence (geometry)

An example of congruence. The two triangles on the left are congruent, while the third is similar to them. The last triangle is neither congruent nor similar to any of the others. Congruence permits alteration of some properties, such as location and orientation, but leaves others unchanged, like distances and angles. The unchanged properties are called invariants.

기하학(geometry)에서, 두 도형 또는 대상이 만약 그것들이 같은 모양과 크기를 가지거나, 만약 하나가 다른 하나의 거울 이미지(mirror image)와 같은 모양과 크기를 가지면 합동(congruent)입니다.

보다 공식적으로, 점들(points)의 두 집합이 합동이라고 불리는 것과 하나가 등거리-변환(isometry), 즉 강성 운동(rigid motion)의 조합, 즉 평행이동(translation), 회전(rotation), 및 반사(reflection)의 조합에 의해 다른 하나로 변환될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 두 대상 중 하나가 다른 대상에 정확하게 일치하도록 위치-변경되고 반사될 수 있음을 의미합니다 (그러나 크기 조정은 안됩니다). 따라서 종이에 있는 둘의 구별되는 평면 도형은 만약 우리가 그것들을 잘라내고 그런-다음 완전히 일치시킬 수 있으면 합동입니다. 종이를 뒤집는 것은 허용됩니다.

This diagram illustrates the geometric principle of angle-angle-side triangle congruence: given triangle ABC and triangle A'B'C', triangle ABC is congruent with triangle A'B'C' if and only if: angle CAB is congruent with angle C'A'B', and angle ABC is congruent with angle A'B'C', and BC is congruent with B'C'.

초등 기하학에서, 단어 합동은 종종 다음과 같이 사용됩니다. 단어 같음(equal)은 종종 이들 대상에 대해 합동 대신 사용됩니다.

• 두 선분(line segment)은 만약 그것들이 같은 길이를 가지면 합동입니다.
• 두 각도(angle)는 만약 그것들이 같은 측정을 가지면 합동입니다.
• 두 원(circle)은 만약 그것들이 같은 지름을 가지면 합동입니다.

이 의미에서, 두 평면 그림이 합동입니다는 그것들의 대응하는 특성들이 단지 그것들의 대응하는 변과 각도뿐만 아니라, 그것들의 대응하는 대각선, 둘레, 및 넓이가 "일치(congruent)" 또는 "같음(equal)"입니다.

관련된 닮음(similarity)의 개념은 만약 대상이 같은 모양을 가지지만 반드시 같은 크기를 가질 필요가 없으면 적용됩니다. (대부분의 정의는 합동을 닮음의 한 형식으로 여기지만, 소수파는 대상이 닯음으로 규정하기 위해 다른 크기를 가짐을 요구합니다.)

Determining congruence of polygons

The orange and green quadrilaterals are congruent; the blue is not congruent to them. All three have the same perimeter and area. (The ordering of the sides of the blue quadrilateral is "mixed" which results in two of the interior angles and one of the diagonals not being congruent.)

두 다각형이 합동이려면, 그것들은 같는 숫자의 변을 가져야 합니다 (그리고 따라서 같은 꼭짓점의 숫자를 가집니다). n 변을 갖는 두 다각형이 합동인 것과 그것들 각각이 n 변과 n 각도에 대해 변-각도-변-각도... (심지어 한 다각형에 대해 시계 방향이고 다른 다각형에 대해 반시계방향) 수치적으로 동일한 수열을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

다각형의 합동은 다음과 같이 그래픽적으로 설립될 수 있습니다:

• 첫째, 두 그림의 해당 꼭짓점을 일치시키고 이름을 지정합니다.
• 둘째, 그림 중 하나의 꼭짓점 중 하나에서 다른 그림의 대응하는 꼭짓점까지 벡터를 그립니다. 이들 두 꼭짓점이 일치하도록 첫 번째 그림을 이 벡터로 평행이동시킵니다.
• 셋째, 한 쌍의 대응하는 변(corresponding sides)이 일치할 때까지 일치된 꼭짓점을 중심으로 평행이동된 그림을 회전시킵니다.
• 넷째, 그림이 일치할 때까지 이 일치된 변에 대해 회전된 그림을 반사시킵니다.

만약 임의의 시기에서 단계가 완료될 수 있으면, 다각형은 합동이 아닙니다.

Congruence of triangles

See also: Solution of triangles

두 삼각형(triangle)은 만약 그것들의 대응하는 변(sides)이 길이에서 같고, 그것들의 대응하는 각도(angle)가 측정에서 같으면 합동입니다.

만약 삼각형 ABC가 삼각형 DEF와 합동이면, 관계는 다음처럼 수학적으로 쓸 수 있습니다:

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} .$

많은 경우에서, 셋의 대응하는 부분의 상등을 설정하고 다음 결과 중 하나를 사용하여 두 삼각형의 합동을 추론하는 것으로 충분합니다.

The shape of a triangle is determined up to congruence by specifying two sides and the angle between them (SAS), two angles and the side between them (ASA) or two angles and a corresponding adjacent side (AAS). Specifying two sides and an adjacent angle (SSA), however, can yield two distinct possible triangles.

Determining congruence

유클리드 공간(Euclidean space)에서 두 삼각형 사이의 합동에 대해 충분한 증거는 다음 비교를 통해 확인될 수 있습니다:

• SAS (변-각도-변): 만약 두 삼각형의 변의 두 쌍이 길이에서 같고, 끼워진 각도가 측정에서 같으면, 삼각형은 합동입니다.
• SSS (변-변-변): 만약 두 삼각형의 변의 세 쌍이 측정에서 같으면, 삼각형은 합동입니다.
• ASA (각도-변-각도): 만약 두 삼각형의 각도의 두 쌍이 측정에서 같고, 끼워진 변이 길이에서 같으면, 삼각형은 합동입니다.

ASA 공준은 밀레토스의 탈레스(Thales of Miletus) (그리스)에 의해 공헌되었습니다. 대부분의 공리 시스템에서, 셋의 기준–SAS, SSS 및 ASA–은 정리(theorem)로 설립됩니다. 학교 수학 연구 그룹(School Mathematics Study Group) 시스템에서, SAS는 22개의 공준 중 하나 (#15)로 취합니다.

• AAS (각도-각도-변): 만약 두 삼각형의 각도의 두 쌍이 측정에서 같고, 대응하는 비-끼워진 변의 쌍이 길이에서 같으면, 삼각형은 합동입니다. AAS는 ASA 조건과 만약 임의의 두 각도가 주어지면, 따라서 세 번째 각도도 주어진 것인데, 왜냐하면 그들의 합은 180°이어야 하기 때문이라는 사실에 의해 동등합니다. ASA와 AAS는 때때로 단일 조건, AAcorrS – 이의의 두 각도와 대응하는 변으로 조합됩니다.
• RHS (직각-빗변), 역시 HL (빗변-다리)로 알려져 있음: 만약 두 직각 삼각형이 길이에서 같은 빗변을 가지고, 짧은 변의 쌍이 길이에서 같으면, 삼각형은 합동입니다.

Side-side-angle

두 변과 비-포함된 각도 (역시 ASS, 또는 각도-변-변이라고 알려짐)를 지정하는 SSA 조건 (변-변-각도)은 그 자체로 합동을 입증하지는 않습니다. 합동을 보이기 위해, 추가적인 정보는 대응하는 각도의 측정과 일부 경우에서 대응하는 변의 두 쌍의 길이와 같은 것이 요구됩니다. 몇 가지 가능한 경우가 있습니다:

만약 두 삼각형이 SSA 조건을 만족시키고 각도 반대쪽 변의 길이가 인접한 변의 길이 (SSA, 또는 긴 변-짧은 변-각도)보다 크거나 같으면 두 삼각형은 합동입니다. 대응하는 각도가 예각일 때 반대쪽 변이 더 길지만, 대응하는 각도가 직각 또는 둔각이면 그것이 항상 더 깁니다. 각도가 직각인 곳, 역시 빗변-다리 (HL) 공준 또는 직각-빗변 (RHS) 조건이라고 알려져 있음, 세 번째 변은 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem)을 사용하여 계산될 수 있으며, 따라서 SSS 공준이 적용되는 것을 허용합니다.

만약 두 삼각형이 SSA 조건을 만족시키고 대응하는 각도가 예각이고 각도 반대쪽 변의 길이가 인접한 변의 길이에 각도의 사인을 곱한 것과 같으면, 두 삼각형은 합동입니다.

만약 두 삼각형이 SSA 조건을 만족시키고 대응하는 각도가 예각이고 각도 반대쪽 변의 길이가 인접한 변의 길이에 각도의 사인을 곱한 값보다 크면 (하지만 인접한 변의 길이보다 작으면), 두 삼각형은 합동으로 보일 수 없습니다. 이것은 모호한 경우(ambiguous case)이고 두 다른 삼각형이 주어진 정보로부터 형성될 수 있지만, 그것들을 구별하는 추가적인 정보가 합동의 증명으로 이어질 수 있습니다.

Angle-angle-angle

유클리드 기하학에서, AAA (각도-각도-각도) (또는 단지 AA, 왜냐하면 유클리드 기하학에서 삼각형의 각도의 합은 180°이기 때문)는 유클리드 공간에서 두 삼각형의 크기에 관한 정보를 제공하지 않고 따라서 오직 닮음(similarity)을 입증하고 합동은 입증하지 않습니다.

어쨌든, 구형 기하학(spherical geometry)과 쌍곡형 기하학(hyperbolic geometry) (여기서 삼각형 각도의 합이 크기에 따라 달라짐)에서, AAA는 주어진 표면의 곡률에서 합동이기에 충분합니다.

CPCTC

이 약어는 합동 삼각형의 대응하는 부분이 합동입니다(Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent)를 의미하는 합동 삼각형 정의의 축약 버전입니다.

보다 자세한 것에서, 만약 삼각형 ABC와 DEF가 합동이면, 즉, 꼭짓점 A와 D; B와 E; 및 C와 F에서 각의 대응하는 쌍을 갖고, 변 AB와 DE; BC와 EF; 및 CA와 FD의 대응하는 쌍을 가지면,

$\triangle ABC\cong \triangle DEF,$

다음 명제가 참임을 말하는 간결한 방법입니다:

${\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}$

${\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}$

${\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}$

$\angle BAC\cong \angle EDF$

$\angle ABC\cong \angle DEF$

$\angle BCA\cong \angle EFD.$

그 명제는 삼각형의 합동이 확립된 후 두 삼각형 부분의 합동의 결론이 필요할 때 초등 기하학 증명에서 정당화될 때 종종 사용됩니다. 예를 들어, 만약 두 삼각형이 SSS 기준에 의해 합동인 것으로 나타났고 대응하는 각도가 합동이라는 명제가 증명에서 요구되면, CPCTC는 이 명제의 정당화로 사용될 수 있습니다.

관련된 정리는 CPCFC이며, 이것에서 "삼각형"은 그 정리가 합동인 다각형(polygon) 또는 다면체(polyhedron)의 임의의 쌍에 적용되도록 "그림"으로 대체됩니다.

Definition of congruence in analytic geometry

유클리드 시스템(Euclidean system)에서, 합동은 기본적입니다; 그것은 숫자에 대해 상등의 짝입니다. 해석적 기하학(analytic geometry)에서, 합동은 직관적으로 정의될 수 있습니다 따라서: 하나의 데카르트 좌표 시스템에 대한 두 그림의 매핑이 합동인 것과 첫 번째 매핑에서 임의의 두 점에 대해, 둘 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance)가 두 번째 매핑에서 대응하는 점 사이의 유클리드 거리와 같은 것은 필요충분 조건입니다.

보다 형식적인 정의는 유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ의 두 부분집합(subset) A와 B는 만약 등거리-변환(isometry) f : Rⁿ → Rⁿ (f(A) = B를 갖는 유클리드 그룹(Euclidean group) E(n)의 원소)이 존재하면 합동이라고 불립니다. 합동은 동치 관계(equivalence relation)입니다.

Congruent conic sections

둘의 원뿔 단면은 만약 그것들의 이심률(eccentricities)과 그것들을 특징짓는 하나의 다른 매개변수가 같으면 합동입니다. 그것들의 이심률은 모양을 설립하며, 이것들의 상등이 닮음을 설립하기에 충분하고, 두 번째 매개변수가 그때에 크기를 설립합니다. 둘의 원(circle), 포물선(parabola), 또는 직교 쌍곡선(rectangular hyperbola)은 항상 같은 이심률을 갖기 때문에 (특히 원의 경우에서 0, 포물선의 경우에서 1, 및 직교 쌍곡선의 경우에서 ${\sqrt {2}}$), 둘의 원, 포물선, 또는 직교 쌍곡선은 합동이 되려면 그것들에 대해 크기를 설립하는 오직 하나의 다른 공통 매개변수를 가짐을 필요합니다.

Congruent polyhedra

같은 조합론적 유형 (즉, 같은 숫자의 가장자리 E, 같은 숫자의 면(faces), 및 대응하는 면에서 같은 숫자의 변)을 가진 두 다면체(polyhedra)에 대해, 다면체가 합동인지 아닌지 여부를 설립할 수 있는 E 측정의 집합이 존재합니다. 그 숫자는 엄격하며, 조합 E보다 작은 측정이 만약 다면체가 그것들의 조합론적 유형 사이에 일반적이면 충분하지 않다는 의미입니다. 그러나 적은 측정이 특별한 경우에 대해 작동할 수 있습니다. 예를 들어, 육면체(cube)는 12 가장자리가 있지만, 9 측정이 만약 해당 조합론적 유형의 다면체가 주어진 정규 육면체와 합동인지 여부를 결정하기 위해 충분합니다.

Congruent triangles on a sphere

Main articles: Solving triangles § Solving spherical triangles, and Spherical trigonometry § Solution of triangles

평면 삼각형과 마찬가지로, 구에서 같은 각도-변-각도 (ASA) 수열을 공유하는 두 삼각형은 반드시 합동입니다 (즉, 그것들은 셋의 동일한 변과 셋의 동일한 각도를 가집니다). 이것은 다음과 같이 보일 수 있습니다: 우리는 남극에서 주어진 각도로 꼭짓점 중 하나를 놓고 주어진 길이로 본초 자오선 위로 변을 그을 수 있습니다. 고정된 길이의 선분의 양쪽 끝에 각도 둘 다를 아는 것은 다른 두 변이 고유하게 결정된 궤적으로 발산함을 보장하고, 따라서 고유하게 결정된 점에서 서로 만날 것입니다; 따라서 ASA는 유효합니다.

합동 정리 변-각도-변 (SAS)과 변-변-변 (SSS)는 역시 구에서 유지됩니다; 게다가, 만약 두 구형 삼각형이 동일한 각도-각도-각도 (AAA) 수열을 가지면, 그것들은 (평면 삼각형과 달리) 합동입니다.

평면-삼각형 합동 정리 각도-각도-변 (AAS)은 구형 삼각형에 대해 유지되지 않습니다. 평면 기하학에서와 같이, 변-변-각도 (SSA)는 합동을 의미하지 않습니다.

Notation

합동에 대해 공통적으로 사용되는 기호는 그것 위에 물결표(tilde)를 갖는 등호, ≅이며, 유니코드(Unicode) 문자 '근사적으로 같음' (U+2245)에 해당합니다. 영국에서, 셋의-막대 등호 ≡ (U+2261)가 때때로 사용됩니다.

See also

• Euclidean plane isometry
• Isometry

External links

• The SSS at Cut-the-Knot
• The SSA at Cut-the-Knot
• Interactive animations demonstrating Congruent polygons, Congruent angles, Congruent line segments, Congruent triangles at Math Open Reference