A parallelogram. The sides are shown in blue and the diagonals in red. 수학(mathematics) 에서, (역시 평행사변형 항등식 (parallelogram identity )이라고 불리는) 평행사변형 법칙 (parallelogram law )의 가장 단순한 형식은 기본 기하학(geometry) 에 속합니다. 그것은 평행사변형(parallelogram) 의 네 변의 길이의 제곱의 합은 두 대각선의 길이의 제곱의 합과 같다고 말합니다. 우리는 변에 대해 이들 표기법: AB , BC , CD , DA 를 사용합니다. 그러나 유클리드 기하학(Euclidean geometry) 에서 평행사변형은 필연적으로 같은 대변을 가지기 때문에, 즉, AB = CD 및 BC = DA 이기 때문에, 그 법칙은 다음으로 말할 수 있습니다:
2
A
B
2
+
2
B
C
2
=
A
C
2
+
B
D
2
{\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}
만약 평행사변형이 직사각형(rectangle) 이면, 두 대각선은 같은 길이 AC = BD 이므로, 다음입니다:
2
A
B
2
+
2
B
C
2
=
2
A
C
2
{\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}
그리고 명제는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem) 로 줄어듭니다. 네 변이 반드시 같을 필요가 없는 일반적인 사변형(quadrilateral) 에 대해,
A
B
2
+
B
C
2
+
C
D
2
+
D
A
2
=
A
C
2
+
B
D
2
+
4
x
2
,
{\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}
여기서
x
{\displaystyle x}
중간점(midpoint) 을 연결하는 선분(line segment) 의 길이입니다. 그것은 평행사변형에 대해
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Proof 오른쪽에 평형사변형에서, AD = BC = a , AB = DC = b ,
∠
B
A
D
=
α
{\displaystyle \angle BAD=\alpha }
△
B
A
D
{\displaystyle \triangle BAD}
코사인의 법칙(law of cosines) 을 사용함으로써, 우리는 다음을 얻습니다:
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
α
)
=
B
D
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}
평행사변형에서, 인접한 각도(adjacent angles) 는 보충(supplementary) 이고, 따라서
∠
A
D
C
=
180
∘
−
α
{\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha }
△
A
D
C
{\displaystyle \triangle ADC}
코사인의 법칙(law of cosines) 을 사용하여, 다음을 생성합니다:
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
180
∘
−
α
)
=
A
C
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}
삼각 항등식(trigonometric identity)
cos
(
180
∘
−
x
)
=
−
cos
x
{\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
(
α
)
=
A
C
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}
이제 제곱의 합
B
D
2
+
A
C
2
{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}
B
D
2
+
A
C
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
α
)
+
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
(
α
)
.
{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}
이 표현을 단순화하면, 이것은 다음이 됩니다:
B
D
2
+
A
C
2
=
2
a
2
+
2
b
2
.
{\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}
The parallelogram law in inner product spaces Vectors involved in the parallelogram law. 노름 공간(normed space) 에서, 평행사변형 법칙의 명제는 노름(norms) 과 관련된 방정식입니다:
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
=
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
for all
x
,
y
.
{\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}
평행사변형 법칙은 겉보기에 더 약해 보이는 명제와 동등합니다:
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
≤
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
for all
x
,
y
{\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}
왜냐하면 뒤집은 부등식은
x
{\displaystyle x}
1
2
(
x
+
y
)
{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}
y
{\displaystyle y}
1
2
(
x
−
y
)
{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
≤
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
for all
x
,
y
.
{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}
안의 곱 공간(inner product space) 에서, 노름은 안의 곱(inner product) 을 사용하여 결정됩니다:
‖
x
‖
2
=
⟨
x
,
x
⟩
.
{\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}
정의의 결과로, 안의 곱 공간에서 평행사변형 법칙은 대수적 항등식이며, 안의 곱의 속성을 사용하여 쉽게 수립됩니다:
‖
x
+
y
‖
2
=
⟨
x
+
y
,
x
+
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
,
{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}
‖
x
−
y
‖
2
=
⟨
x
−
y
,
x
−
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
.
{\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}
이들 두 표현을 더하면:
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
=
2
⟨
x
,
x
⟩
+
2
⟨
y
,
y
⟩
=
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
,
{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}
만약
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
⟨
x
,
y
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0}
‖
x
+
y
‖
2
=
⟨
x
,
x
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
=
‖
x
‖
2
+
‖
y
‖
2
,
{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}
피타고라스의 정리(Pythagoras' theorem) 입니다.
Normed vector spaces satisfying the parallelogram law 대부분의 실수(real) 와 복소(complex) 노름 벡터 공간(normed vector space) 은 안의 곱을 가지지 않지만, 모든 노름 벡터 공간은 (정의에 의해) 노름을 가집니다. 예를 들어, 실수 좌표 공간(real coordinate space)
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
하나의 노름이 주어지면, 우리는 위의 평행사변형 법칙의 양쪽 변을 평가할 수 있습니다. 놀라운 사실은 만약 평행사변형 법칙이 성립하면, 그 노름이 어떤 안의 곱에서 일반적인 방법으로 발생해야 한다는 것입니다. 특히, 그것이
p
{\displaystyle p}
p
=
2
{\displaystyle p=2}
Euclidean 노름 또는 표준 노름인 것은 필요충분 조건입니다.[1] [2]
평행사변형 법칙을 만족시키는 임의의 노름 (필연적으로 안의 곱 노름)에 대해, 노름을 생성하는 안의 곱은 극화 항등식(polarization identity) 의 결과로 고유합니다. 실수 경우에서, 극화 항등식은 다음에 의해 주어집니다:
⟨
x
,
y
⟩
=
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
4
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
‖
2
−
‖
y
‖
2
2
or
‖
x
‖
2
+
‖
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
2
.
{\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}
복소 경우에서 그것은 다음에 의해 주어집니다:
⟨
x
,
y
⟩
=
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
4
+
i
‖
i
x
−
y
‖
2
−
‖
i
x
+
y
‖
2
4
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}
예를 들어,
p
=
2
{\displaystyle p=2}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
p
{\displaystyle p}
⟨
x
,
y
⟩
=
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
4
=
1
4
(
∑
i
|
x
i
+
y
i
|
2
−
∑
i
|
x
i
−
y
i
|
2
)
=
1
4
(
4
∑
i
x
i
y
i
)
=
x
⋅
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}
이것은 두 벡터의 표준 점 곱(dot product) 입니다.
주어진 노름
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
프톨레마이오스의 부등식(Ptolemy's inequality) 을 만족시키는 것입니다:[3]
‖
x
−
y
‖
‖
z
‖
+
‖
y
−
z
‖
‖
x
‖
≥
‖
x
−
z
‖
‖
y
‖
for all vectors
x
,
y
,
z
.
{\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}
See also References External links
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cde84b5b920a19391b9578b0ad8cd6788bbda81)
