Parameter

일반적으로, 매개-변수(parameter) (고대 그리스어(Ancient Greek)로부터 παρά, para: "...곁에(beside)", "보조적인(subsidiary)"; 그리고 μέτρον, metron: "측정(mesure)")는 특정 시스템(system)을 정의하거나 분류하는 것에 도움이 되는 임의의 특성입니다 (사건, 투영, 대상, 상황 등을 의미합니다). 즉, 매개-변수는 시스템을 식별할 때, 또는 그것의 성능, 상태, 조건, 등을 평가할 때 유용하거나 치명적인 시스템의 요소입니다.

매개-변수(parameter)는 수학(mathematics), 컴퓨터 프로그래밍(computer programming), 공학(engineering), 통계학(statistics), 논리(logic) 및 언어학(linguistics)을 포함하여, 다양한 분야에서 보다 구체적인 의미를 가집니다.

Modelization

시스템(system)이 방정식에 의해 모델링될 때, 시스템을 설명하는 그 값은 매개-변수라고 불립니다. 예를 들어, 역학(mechanics)에서, 질량, (고체에 대해) 치수와 모양, (유체에 대해) 밀도와 점도는 방정식 모델링 동작에서 매개-변수로 나타납니다. 매개-변수에 대해 종종 여러 선택이 있고, 편리한 매개-변수 집합을 선택하는 것은 매개-변수화(parametrization)라고 불립니다.

예를 들어, 만약 우리가 물체보다 더 큰 구 (예를 들어, 지구)의 표면 위에 물체의 움직임을 고려하는 것이면, 그것의 위치의 두 공통적으로 사용되는 매개-변수화가 있습니다: (위도/경도와 같은) 각도 좌표, 이것은 구 위의 원을 따라 큰 움직임을 깔끔하게 묘사하고, 알려진 점으로부터 방향성 거리 (예를 들어 "토론토의 10km NNW" 또는 동등하게 "토론토로부터 북쪽으로 8km, 서쪽으로 6km"), 이것은 특정 국가 또는 지역 내에서와 같이, (상대적으로) 작은 지역에 국한된 움직임에 대해 종종 더 단순합니다. 그러한 매개-변수화는 지리적 영역 (예를 들어, 지도 그림(map drawing))의 모델링과 역시 관련이 있습니다.

Mathematical functions

수학적 함수(Mathematical function)는 변수(variable)에 의한 정의에 지정된 하나 이상의 인수(arguments)를 가집니다. 함수 정의는 역시 매개-변수를 포함할 수 있지만, 변수와 달리, 매개-변수는 함수가 취하는 인수 사이에 나열되지 않습니다. 매개-변수가 있을 때, 정의는 실제로 매개-변수의 모든 각 유효한 값의 집합에 대해 하나씩 함수의 전체 가족을 정의합니다. 예를 들어, 다음을 선언함으로써 일반적인 이차 함수(quadratic function)를 정의할 수 있습니다:

f(x)=ax^{2}+bx+c

;

여기서, 변수 x는 함수의 인수를 지정하지만, a, b 및 c는 특정 이차 함수가 고려되어야 할 것을 결정하는 매개-변수입니다. 매개-변수는 매개-변수에 따라 그것의 종속성을 나타내기 위해 함수 이름에 통합될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 공식에 의해 밑수-b 로그를 정의할 수 있습니다:

\log _{b}(x)={\frac {\log(x)}{\log(b)}}

여기서 b는 로그 함수가 사용되어야 할 것을 나타내는 매개-변수입니다. 그것은 함수의 인수가 아니고, 예를 들어, 도함수(derivative) $\textstyle \log _{b}'(x)=(x\ln(b))^{-1}$ 을 고려할 때 상수가 됩니다.

일부 비공식 상황에서, 함수 정의에서 일부 또는 모든 기호가 매개-변수라고 불리는지 여부는 관례 (또는 역사적 우연)의 문제입니다. 어쨌든, 매개-변수와 변수 사이의 기호의 상태를 변경하는 것은 함수를 수학적 대상으로 변경합니다. 예를 들어, 떨어지는 팩토리얼 거듭제곱(falling factorial power)에 대해 표기법은

n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)

,

(k가 매개-변수로 고려될 때) n의 다항 함수(polynomial function)를 정의하지만, (n이 매개-변수로 고려할 때) k의 다항 함수는 아닙니다. 실제로, 후자 경우에서, 비-음의 정수 인수에 대해 오직 정의됩니다. 그러한 상황에 대한 보다 공식적인 표시는 전형적으로 다음과 같은 (때때로 "매개-변수"라고 불리는 모든 변수를 포함하는) 여러 변수의 함수로 시작합니다:

(n,k)\mapsto n^{\underline {k}}

가장 근본적인 대상이 고려될 때, 그런-다음 커링(currying)을 수단으로 주요 변수로부터 더 적은 변수로 함수를 정의합니다.

때때로 특정 매개-변수를 갖는 모든 함수를 매개-변수 가족, 즉 함수의 인덱스된 가족(indexed family)으로 여기는 것이 유용합니다. 확률 이론으로부터 예제는 아래에 더 제공됩니다.

Examples

제임스 킬패트릭(James J. Kilpatrick)의 책 The Writer's Art에서 자주 잘못-사용되는 단어에 대한 섹션에서, 그는 거래처로부터 편지를 인용하여, 단어 매개-변수의 올바른 사용법을 보여주는 예제를 제공합니다:

W.M. Woods ... 수학자 ... 썼습니다 ... "... 변수는 매개-변수가 아닌 많은 것 중 하나입니다." ... 종속 변수, 자동차의 속력은 독립 변수, 가스 페달의 위치에 따라 다릅니다.

[우즈를 인용하는 킬패트릭] "이제 ... 공학자는 ... 링커지의 지렛대 팔을 변경하여 ... 자동차의 속력은 ... 여전히 페달 위치에 여전할 것이지만 ... 다른 방식에서 .... 여러분은 매개-변수를 변경했습니다"

매개-변수 이퀄라이저(parametric equaliser)는 한 제어에 의해 설정되는 최대 자름 또는 상승의 주파수(frequency)를 허용하고, 또 다른 제어에 의해 자름 또는 상승의 크기를 설정할 수 있는 오디오 필터(audio filter)입니다. 이들 설정, 돌출부 또는 최저점의 주파수 단계는 주파수 응답 곡선의 매개-변수 중 두 가지이고, 2-제어 이퀄라이저에서 그들은 곡선을 완전히 설명합니다. 보다 정교한 매개-변수 이퀄라이저는 비틀림(skew)과 같은 다른 파라미터를 변경되는 것을 허용할 수 있습니다. 이들 매개-변수는 모든 주파수에서 전체적으로 보이는 응답 곡선의 일부 측면을 각각 설명합니다. 그래픽 이퀄라이저(graphic equaliser)는 다양한 주파수 대역에 대해 개별 단계 제어를 제공하며, 각 주파수 대역은 특정 주파수 대역에서 오직 작동합니다.
만약 y = ax² 관계의 그래프를 상상해 보면, 우리는 전형적으로 x의 값의 범위를 시각화하지만, a의 오직 하나의 값을 시각화합니다. 물론 a의 다른 값은 사용될 수 있으며, x와 y 사이에 다른 관계를 생성할 수 있습니다. 따라서 a는 매개변수입니다: 변수 x 또는 y보다 덜 변하지만, 지수 2와 같은 명백한 상수는 아닙니다. 보다 정확하게, 매개-변수 a를 변경하면 다른 (비록 관련이 있지만) 문제를 제공하지만, 변수 x와 y (및 이들의 상호-관계)는 문제 자체의 일부입니다.
임금 및 근로 시간 (소득과 임금에 근로 시간을 곱한 값)을 기준으로 소득을 계산할 때, 전형적으로 근로 시간의 숫자는 쉽게 변경되지만, 임금은 보다 정적인 것으로 가정합니다. 이것은 임금을 매개-변수, 근로 시간을 독립 변수(independent variable), 및 소득을 종속 변수(dependent variable)로 만듭니다.

Mathematical models

확률 분포(probability distribution)와 같은 수학적 모델(mathematical model)의 문맥에서, 변수와 매개-변수 사이의 구별은 다음과 같이 음유-시인(Bard)에 의해 설명되었습니다:

우리는 특정 물리적 상황을 아마 설명하는 관계를, 모델로 참조합니다. 전형적으로, 모델은 하나 이상의 방정식으로 구성됩니다. 방정식에 나타나는 양은 변수와 매개-변수로 분류됩니다. 이들 사이의 구별이 항상 명확한 것은 아니고, 변수가 나타나는 문맥에 따라 자주 달라집니다. 보통 모델은 실험에서 독립적으로 측정될 수 있는 양 사이에 존재하는 관계를 설명하기 위해 설계되었습니다; 이들은 모델의 변수입니다. 이들 관계를 공식화하기 위해, 어쨌든, 우리는 자연의 고유한 속성 (또는 주어진 실험에 사용된 재료 및 장비)을 의미하는 "상수"를 자주 도입합니다. 이들은 매개-변수입니다.^[1]

Analytic geometry

해석 기하학(analytic geometry)에서, 곡선(curve)은 어떤 함수의 이미지로 종종 주어집니다. 함수의 인수는 항상 "매개-변수"라고 불립니다. 원점에 중심을 둔 반지름 1의 원은 하나보다 많은 형식으로 지정될 수 있습니다:

암시적 형식, 곡선은 다음 관계를 만족시키는 모든 점 (x,y)입니다:

x^{2}+y^{2}=1

매개-변수 형식, 곡선은 t가 값의 집합, [0, 2π), 또는 (-∞,∞)와 같은 것에 걸쳐 변할 때, 모든 점 (cos(t), sin(t))입니다:

(x,y)=(\cos \;t,\sin \;t)

여기서 t는 매개-변수입니다.

따라서, 다른 곳에서 함수라고 할 수 있는 이들 방정식은 매개-변수 방정식(parametric equations)으로 특징-지은 해석 기하학에 있고 독립 변수(independent variable)는 매개-변수로 여겨집니다.

Mathematical analysis

수학적 해석(mathematical analysis)에서, 매개-변수에 따른 적분이 종종 고려됩니다. 이것들은 다음 형식의 것입니다:

F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx.

이 공식에서, t는 함수 F의 인수, 오른쪽 변에 대한 적분이 의존하는 매개-변수입니다. 적분을 평가할 때, t는 상수로 유지되고, 따라서 그것은 매개 변수로 여겨집니다. 만약 우리가 t의 다른 값에 대한 F의 값에 관심이 있으면, 우리는 그때에 t를 변수로 고려합니다. 양 x는 더미 변수(dummy variable) 또는 적분화의 변수입니다 (혼란스럽게, 때때로 적분화의 매개-변수라고 역시 불립니다).

Statistics and econometrics

통계학(statistics) 및 계량-경제학(econometrics)에서, 위의 확률 프레임워크는 여전히 유지되지만, 관찰된 데이터를 기반으로 분포의 매개-변수를 추정(estimating)하거나, 그들에 대한 가설을 테스팅(testing hypotheses)하기 위해 주의를 이동합니다. 주파수 추정(frequentist estimation) 매개-변수는 "고정되었지만 알려지지 않은" 것으로 여겨지지만, 베이즈 추정(Bayesian estimation)에서 그들은 확률 변수로 취급되고, 그들의 불확실성은 분포로 설명됩니다.^{[citation needed]}

통계학의 추정 이론(estimation theory)에서, "통계량" 또는 추정기(estimator)는 표본을 참조하지만, "매개변수" 또는 피-추정(estimand)은 표본이 추출된 모집단을 참조합니다. 통계량(statistic)은 해당 매개-변수, 표본이 추출되었던 모집단(population)의 숫자 특성의 추정으로 사용될 수 있는 표본의 숫자 특성입니다.

예를 들어, ${\overline {X}}$ 로 표시된 표본 평균(sample mean) (추정기)은 표본이 추출된 모집단의, μ로 표시되는, 평균 매개-변수 (피-추정)의 추정으로 사용될 수 있습니다. 비슷하게, S²로 표시된, 표본 분산(sample variance) (추정기)은 표본이 추출된 모집단의, σ²으로 표시된, 분산 매개-변수 (피-추정)를 추정하기 위해 사용될 수 있습니다. (표본 표준 편차 (S)는 모집단 표준 편차 (σ)의 불-편향 추정이 아닙니다: 표준 편차의 불-편향 추정(Unbiased estimation of standard deviation)을 참조하십시오.)

확률 분포(probability distribution)의 특정 매개-변수의 가족을 가정없이 통계적 추론을 만드는 것이 가능합니다. 해당 경우에서, 우리는 방금 설명된 매개-변수 통계(parametric statistics)와 반대로 비-매개변수 통계(non-parametric statistics)를 말합니다. 예를 들어, 스피어만의 랭크 상관 계수(Spearman's rank correlation coefficient)에 기반한 테스트는 비-매개변수라고 불러야 하는데 왜냐하면 통계량은 그들의 실제 값을 무시하는 (그리고 따라서 그들이 표본화된 분포에 관계없이) 데이터의 랭크-차수에서 계산되기 때문이지만, 피어슨 곱-모멘트 상관 계수(Pearson product-moment correlation coefficient)를 기반으로 하는 통계량은 매개-변수 테스트인데 왜냐하면 데이터 값으로부터 직접 계산되고 모집단 상관(population correlation)으로 알려진 매개 변수를 추정합니다.

Probability theory

확률 이론(probability theory)에서, 우리는 확률 변수(random variable)의 분포(distribution)를 매개-변수의 유한한 숫자의 값에 의해 서로 구별되는, 확률 분포(probability distribution)의 가족에 속하는 것으로 묘사될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 "평균값 λ를 갖는 푸아송 분포(Poisson distribution)"에 대해 이야기합니다. 분포를 정의하는 함수 (확률 질량 함수[(probability mass function))는 다음입니다:

f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}.

이 예제는 상수, 매개-변수, 및 변수 사이의 구별을 잘 묘사합니다. e는 오일러의 숫자(Euler's number), 기본 수학적 상수(mathematical constant)입니다. 매개-변수 λ는 질문에서 일부 현상, 시스템의 특질 속성의 관측의 숫자의 평균(mean)입니다. k는 변수이며, 이 경우에서 특정 표본으로부터 실제로 관찰되는 현상의 발생의 횟수입니다. 만약 우리가 k₁ 발생을 관찰할 확률을 알고 싶으면, 우리는 $f(k_{1};\lambda )$ 를 얻기 위해 그것을 함수에 연결합니다. 시스템을 바꿈없이, 우리는 k의 값 범위를 갖는 여러 표본을 취할 수 있지만, 시스템은 항상 같은 λ에 의해 특성화됩니다.

예를 들어, 매 10분마다 5개의 입자를, 평균적으로, 방출하는 방사성(radioactive) 표본을 가진다고 가정합니다. 우리는 표본이 10분 주기에 걸쳐 얼마나 많은 입자를 방출하는지 측정합니다. 측정은 k의 다른 값을 나타내고, 만약 표본이 푸아송 통계에 따라 동작하면, k의 각 값은 위의 확률 질량 함수에 의해 주어진 비율에서 나타날 것입니다. 측정에서 측정으로의, 어쨌든, λ는 5로 일정하게 유지됩니다. 만약 우리가 시스템을 변경하지 않으면, 매개-변수 λ는 측정에서 측정으로 변경되지 않습니다; 만약, 다른 한편으로, 우리가 표본을 보다 방사성인 것으로 교체함으로써 시스템을 변조하면, 매개-변수 λ가 증가합니다.

또 다른 일반적인 분포는 정규 분포(normal distribution)이며, 이것은 평균 μ와 분산 σ²를 매개-변수로 가집니다.

이들 위의 예에서, 확률 변수의 분포는 분포의 유형, 예를 들어, 푸아송 또는 정규, 및 매개변수 값, 즉 평균 및 분산으로 완전히 지정됩니다. 이 경우에서, 우리는 매개-변수화된 분포를 가집니다.

확률 분포에 대한 매개-변수로 모멘트(moments) (평균, 평균 제곱, ...)의 수열 또는 누적(cumulant) (평균, 분산, ...)을 사용할 수 있습니다: 통계적 매개-변수(Statistical parameter)를 참조하십시오.

Computer programming

컴퓨터 프로그래밍(computer programming)에서, 두 개의 매개-변수(parameter) 개념이 공통적으로 사용되고, 매개-변수 및 인수(parameters and arguments)–또는 보다 공식적으로 공식 매개-변수(formal parameter) 및 실제 매개-변수(actual parameter)로 참조됩니다.

예를 들어, 다음과 같은 함수의 정의에서

y = f(x) = x + 2,

x는 정의된 함수의 공식 매개변수(formal parameter 또는 parameter)입니다.

함수가 다음에서 처럼 주어진 값에 대해 평가될 때,

f(3): or, y = f(3) = 3 + 2 = 5,

3은 정의된 함수에 의한 평가에 대해 실제 매개변수(actual parameter 또는 argument)입니다; 그것은 정의된 함수의 공식 매개변수에 대해 대체되는 주어진 값 (실제 값)입니다. (보통 사용에서 용어 매개변수와 인수는 실수로 바뀔 수 있고, 그것에 따라 잘못 사용될 수 있습니다.)

이들 개념은 함수형 프로그래밍(functional programming)과 그것의 기본 훈련, 람다 계산법(lambda calculus) 및 조합론적 논리(combinatory logic)에서 보다 정확한 방법으로 설명됩니다. 용어는 언어마다 다릅니다; C와 같은 일부 컴퓨터 언어는 여기에 주어진 것처럼 매개변수와 인수를 정의하지만, 에펠(Eiffel)은 대안적인 규칙(alternative convention)을 사용합니다.

Engineering

(특히 데이터 수집과 관련하여) 공학(engineering)에서, 용어 매개변수는 때때로 개별 측정된 항목을 느슨하게 참조합니다. 이 사용법은 일과선은 없는데, 왜냐하면 때때로 용어 채널이 개별 측정된 항목을 참조하며, 매개변수는 해당 채널에 대한 설정 정보를 참조하기 때문입니다.

"일반적으로 말하자면, 속성은 시스템의 물리적 속성을 직접 설명하는 물리적 양입니다; 매개변수는 시스템의 응답을 결정하기에 충분한 속성의 조합입니다. 속성은 고려되는 시스템에 따라 모든 종류의 차원을 가질 수 있습니다; 매개변수는 차원-없는, 또는 시간의 차원 또는 그것의 역수를 가집니다."^[2]

그 용어는 전형적으로 물리 과학에서 사용되는, 어쨌든, 공학 문맥에서 역시 사용될 수 있습니다.

Environmental science

환경 과학 및 특히 화학(chemistry) 및 미생물학(microbiology)에서, 매개변수는 값을 할당할 수 있는 이산 화학 또는 미생물 엔터디: 공통적으로 농도이지만, 논리적 엔터디 (현존 또는 부재)일 수 역시 있으며, 95%숫자(95%ile) 값 또는 일부의 경우에서 주관적인 값과 같은 통계적(statistical) 결과를 설명하기 위해 사용됩니다.

Linguistics

언어학에서, 단어 "매개변수"는 원칙과 매개변수(Principles and Parameters) 프레임워크 내에서 범용적인 문법(Universal Grammar)의 이진 스위치를 나타내기 위해 거의 독점적으로 사용됩니다.

Logic

논리학(logic)에서, 열린 술어에 전달된 매개변수는 일부 저자 (예를 들어, 프로비츠(Prawitz), "자연스러운 추론"; 폴슨(Paulson), "정리 증명자를 설계하는 것")에 의해 매개변수라고 불립니다. 술어 내에서 지역적으로 정의된 매개변수는 변수라고 불립니다. 이러한 추가 구별은 대체를 정의할 때 보상합니다 (이 구별없이 특별한 규정이 변수 포착을 피하기 위해 만들어져야 합니다). 다른 것 (아마도 대부분)은 열린 술어 변수에 전달된 (또는 그것에 의해 운영된) 매개변수를 단지 호출하고, 대체를 정의할 때 자유 변수(free variable)와 종속 변수(bound variable) 사이를 구별해야 합니다.

Music

음악 이론에서, 매개변수는 다른 원소와 별도로 조작될 (구성될) 수 있는 원소를 나타냅니다. 그 용어는, 비록 이론가 또는 작곡가가 때때로 다른 음악적 측면을 매개 변수로 여길지라도, 특히 음도(pitch), 음량(loudness), 지속-시간(duration), 및 음색(timbre)에 사용됩니다. 그 용어는 특히 열음악(serial music)에서 사용되며, 여기서 각 매개변수는 일부 지정된 열을 따를 수 있습니다. 폴 랜스키(Paul Lansky)와 조지 펄(George Perle)은 단어 "매개변수"를 이 의미로 확장된 것을 비판했는데, 왜냐하면 그 의미는 수학적 의미와 밀접한 관련되지 않지만,^[3] 그것은 공통으로 남기 때문입니다. 그 용어는 음악 제작에서 역시 공통인데, 왜냐하면 (어택, 릴리스, 비율, 임계값, 및 컴프레서에 대한 다른 변수와 같은) 오디오 처리 장치의 함수이 장치의 유형 (압축기, 이퀄라이저, 지연 등)에 특정한 매개변수에 의해 정의됩니다.

References

^ Bard, Yonathan (1974). Nonlinear Parameter Estimation. New York: Academic Press. p. 11. ISBN 0-12-078250-2.
^ Trimmer, John D. (1950). Response of Physical Systems. New York: Wiley. p. 13.
^ Deane L. Root (ed.). "Parameter". Grove Music Online. Oxford Music Online. Oxford University Press. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameter: |authors= (help); Unknown parameter |last-author-amp= ignored (|name-list-style= suggested) (help) (subscription required)

[1] Bard, Yonathan (1974). Nonlinear Parameter Estimation. New York: Academic Press. p. 11. ISBN 0-12-078250-2.

[2] Trimmer, John D. (1950). Response of Physical Systems. New York: Wiley. p. 13.

[3] Deane L. Root (ed.). "Parameter". Grove Music Online. Oxford Music Online. Oxford University Press. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameter: |authors= (help); Unknown parameter |last-author-amp= ignored (|name-list-style= suggested) (help) (subscription required)

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