Variable (mathematics)

수학(mathematics)에서, 변수(variable)는 변하는 표현 또는 양(quantities)에 대해 자리-표시자로 기능하는 기호이고, 종종 집합(set)의 임의의 원소를 나타내기 위해 사용됩니다. 숫자(number) 외에도, 변수는 공통적으로 벡터(vectors), 행렬(matrices) 및 함수(functions)를 나타내기 위해 사용됩니다.^[1]^[2]

변수를 가진 대수적 계산(algebraic computations)을 만드는 것은 마치 그것들이 명시적인 숫자인 것처럼 하면 단일 계산으로 다양한 문제를 해결하는 것을 허용합니다. 전형적인 예제는 이차 공식(quadratic formula)으로, 이것은 나타내는 변수에 대해 주어진 방정식의 계수의 수치적 값을 간단히 대체함으로써 모든 각 이차 방정식(quadratic equation)을 푸는 것을 허용합니다.

수학적 논리(mathematical logic)에서, 변수는 이론의 비-지정된 항(term) (즉, 메타-변수(meta-variable))를 나타내는 기호, 또는 가능한 직관적 해석을 참조하는 것없이 조작되는 이론의 기본 대상입니다.

Etymology

"Variable"은 various" 및 "-ābilis"을 의미하는 라틴어 단어, "variābilis와 함께 "vari(us)"'로부터 유래하며, "capable of changing"을 의미합니다.^[3]

Genesis and evolution of the concept

7세기에서, 브라마굽타(Brahmagupta)는 Brāhmasphuṭasiddhānta에서 대수적 방정식에서 미지수를 표현하기 위해 다른 색을 사용했습니다. 이 책의 한 섹션은 "여러 색상의 방정식"이라고 불립니다.^[4]

16세기 말에서, 프랑수아 비에트(François Viète)는 알려진 숫자와 알려지지 않은 숫자, 요즘 변수라고 불리는, 문자로 표현하는 아이디어와 단순 대체에 의해 결과를 얻기 위해 마치 그것들을 숫자처럼 계산하는 아이디어를 도입했습니다. 비에트의 관례는 알려진 값에 자음을 사용하고, 미지수에 대해 모음을 사용하는 것이었습니다.^[5]

1637년에서, 르네 데카르트(René Descartes)는 방정식에서 미지수를 x, y, 및 z로 표현하고, 알려진 값을 a, b, 및 c로 표현하는 관례를 발명했습니다.^[6] 비에트의 관례와 달리, 데카르트는 여전히 공통적으로 사용됩니다.

1660년대에 시작하여, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 독립적으로 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)을 개발했으며, 이것은 본질적으로 변수 양의 무한소(infinitesimal) 변화가 첫 번째 변수의 함수(function)인 또 다른 양의 해당하는 변화를 유도하는 방법을 연구하는 것으로 구성됩니다. 거의 100년 후에, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 무한소 미적분학의 용어를 수정하고, 함수 $f$ , 그것의 변수 $x$ 와 그것의 값 $y$ 에 대해 표기법 $y = f (x)$ 를 도입했습니다. 19세기 말까지, 단어 변수는 거의 독점적으로 함수의 인수(arguments)와 값(values)을 참조했습니다.

19세기 후반에서, 무한소 미적분학의 토대는 아무 데도 미분-가능(differentiable)이 없는 연속 함수(continuous function)와 같은 명백한 역설을 다룰만큼 충분히 공식화되지 않은 것으로 나타났습니다. 이 문제를 해결하기 위해, 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)는 직관적인 극한(limit)의 개념을 공식적인 정의로 대체하는 것으로 구성되는 새로운 형식주의를 도입했습니다. 극한의 이전 개념은, "경향"의 임의의 정확한 정의없이, "변수 $x$ 가 변하고 $a$ 로 향하는 경향일 때, $f (x)$ 가 $L$ 로 향하는 경향입니다"였습니다. 바이어슈트라스는 이 문장을 다음과 같이 공식으로 대체했습니다:

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,

이것에서 다섯 변수의 어떤 것도 변동하는 것으로 여기지 않습니다.

이 정적인 공식화는 현대적인 변수의 개념으로 이어졌으며, 이것은 미지수, 또는 주어진 집합(set) (예를 들어, 실수(real number)의 집합)의 임의의 원소로 대체될 수 있는 수학적 대상(mathematical object)을 나타내는 단순한 기호입니다.

Specific kinds of variables

변수에 대해 같은 수학적 공식에서 다른 역할을 하는 것이 공통적이고, 이름 또는 한정자는 그것들을 구별하기 위해 도입되어 왔습니다. 예를 들어, 일반적인 삼차 방정식(cubic equation)은

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

다섯 변수를 가지는 것으로 해석됩니다: 넷, $a, b, c, d$ 는 주어진 숫자로 취해지고, 다섯 번째 변수, $x$ 는 미지수 숫자로 이해됩니다. 그것들을 구별하기 위해, 변수 $x$ 를 미지수(unknown)라고 불리고, 나머지 변수는 매개변수(parameters) 또는 계수(coefficient), 또는 때때로 상수(constants)라고 불리지만, 이 마지막 용어는 방정식에 대해 올바르지 않고, 이 방정식의 왼쪽 변에 정의된 함수(function)에 대해 예약되어야 합니다.

함수의 맥락에서, 용어 변수는 공통적으로 함수의 인수를 참조합니다. 이것은 전형적으로 "실수 변수의 함수(function of a real variable)", " $x$ 는 함수 $f : x \mapsto f (x)$ 의 변수입니다", " $f$ 는 변수 $x$ 의 함수입니다"와 같은 문장의 경우입니다 (함수의 인수는 변수 $x$ 에 의해 참조됨을 의미합니다).

같은 맥락에서, $x$ 와 독립적인 변수는 상수 함수(constant function)를 정의하고 따라서 상수라고 불립니다. 예를 들어, 적분의 상수(constant of integration)는 다른 역도함수(antiderivative)를 얻기 위해 특정 역도함수에 더해지는 임의의 상수 함수입니다. 다항식(polynomial)과 다항식 함수(polynomial function) 사이의 강한 관계 때문에, 용어 "상수"는 종종 불확정수의 상수 함수인 다항식의 계수를 나타내기 위해 사용됩니다.

"상수 함수"의 약어로 "상수"를 사용하는 것은 수학에서 단어의 통상적인 의미와 구별되어야 합니다. 상수(constant) 또는 수학적 상수(mathematical constant)는, 예를 들어, 숫자 0, 1, $π$ 및 그룹(group)의 항등 원소(identity element)에서 처럼, 바르고 명확하게 정의된 숫자 또는 다른 수학적 대상입니다.

변수에 대해 다른 특정 이름은 다음입니다:

미지수(unknown)는 풀려져야 하는 방정식에서 변수입니다.
불확정수(indeterminate)는, 공통적으로 변수라고 불리며, 방정식(polynomial) 또는 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)에서 나타나는 기호입니다. 공식적으로 말하자면, 불확정수는 변수가 아니지만, 다항식 링(polynomial ring) 또는 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)의 링에서 상수(constant)입니다. 어쨌든, 다항식 또는 거듭제곱 급수와 그것들이 정의하는 함수(functions) 사이의 강한 관계 때문에, 많은 저자들은 불확정수를 특별한 종류의 변수로 여깁니다.
매개변수(parameter)는 문제의 입력의 부분인 양 (보통 숫자)이고, 이 문제의 전체 해 동안 상수로 남습니다. 예를 들어, 역학(mechanics)에서, 고체의 질량과 크기는 그것의 운동의 연구에 대해 매개변수입니다. 컴퓨터 과학(computer science)에서, 매개변수는 다른 의미를 가지고 함수의 인수를 나타냅니다.
자유 변수와 결합 변수(Free variables and bound variables)
확률 변수(random variable)는 확률 이론(probability theory)과 그것의 응용에서 사용되는 일종의 변수입니다.

변수의 모든 이들 명칭은 의미론적(semantic) 성격을 띠고 있고, 그것들 (구문(syntax))을 사용하는 계산 방법은 모두에 대해 같습니다.

Dependent and independent variables

미적분학에서 및 물리학과 다른 과학에 대한 그것의 응용에서, 변수, 말하자면 $y$ 를 고려하는 것이 꽤 공통적이며, 그것의 가능한 값은 또 다른 변수, 말하자면 $x$ 의 값에 의존합니다. 수학적 용어에서, 종속 변수 $y$ 는 $x$ 의 함수(function)의 값을 나타냅니다. 공식을 단순화하기 위해, 종종 종속 변수 $y$ 와 $x$ 를 $y$ 위로 매핑하는 함수에 대해 같은 기호를 사용하는 것이 유용합니다. 예를 들어, 물리적 시스템의 상태는 압력(pressure), 온도(temperature), 공간적 위치, 등과 같은 측정-가능 양에 의존하고, 모든 이들 양은 시스템이 진화할 때 달라지며, 즉, 그것들은 시간의 함수입니다. 시스템을 설명하는 공식에서, 이들 양은 시간에 따라 달라지는 변수로 표시되고, 따라서 암시적으로 시간의 함수로 여겨집니다.

따라서, 공식에서, 종속 변수는 암시적으로 또 다른 (또는 여러 다른) 변수의 함수인 변수입니다. 독립 변수는 종속이 아닌 변수입니다.^[7]

종속 또는 독립적인 변수의 속성은 종종 관점에 따라 달라지고 본질적인 것이 아닙니다. 예를 들어, 표기법 $f (x, y, z)$ 에서, 세 변수는 모두 독립적일 수 있고 표기법은 세 변수의 함수를 나타냅니다. 다른 한편으로, 만약 $y$ 와 $z$ 가 $x$ 에 의존하면 (종속 변수이면), 표기법은 단일 독립 변수 $x$ 의 함수를 나타냅니다.^[8]

Examples

만약 우리가 다음에 의해 실수(real number)에서 실수로의 함수 f를 정의하면:

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

x는 정의된 함수(argument)의 인수를 의미하는 변수이며, 임의의 실수일 수 있습니다.

다음 항등식에서,

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

변수 i는 정수 1, 2, ..., n의 각각을 차례로 지정하는 합계 변수이지만 (그것은 역시 인덱스라고 불리는데 왜냐하면 그것의 변화가 개별적인 값의 세트에 걸쳐 있기 때문입니다), n은 매개변수입니다 (그것은 공식 내에서 변하지 않습니다).

다항식(polynomials)의 이론에서, 차수 2의 다항식은 일반적으로 ax² + bx + c로 나타내며, 여기서 a, b 및 c는 계수(coefficient)라고 불리지만 (그것들은 고정된 것, 즉, 고려된 문제의 매개변수로 가정됩니다), x는 변수라고 불립니다. 그것의 다항 함수(polynomial function)에 대해 이 다항식을 연구할 때, 이 x는 함수 인수를 의미합니다. 자체에서 대상으로 다항식을 연구할 때, x는 불확정수로 취해지고, 종종 이 상태를 나타내기 위해 대문자로 쓰입니다.

Notation

수학에서, 변수는 일반적으로 단일 문자로 표시됩니다. 어쨌든, 이 문자는, $x 2$ 에서 처럼, 자주 아래첨자가 뒤따르고, 이 아래첨자는 숫자, 또 다른 변수 ( $x i$ ), 단어 또는 단어의 약어 ( $x in$ 와 $x out$ ), 및 심지어 수학적 표현(mathematical expression)일 수 있습니다. 컴퓨터 과학(computer science)의 영향 아래에서, 우리는 순수 수학에서 여러 문자와 자릿수로 구성된 일부 변수 이름을 만날 수 있습니다.

17세기 프랑스의 철학자이자 수학자, 르네 데카르트(René Descartes)에 따르면, 알파벳의 시작에 있는 문자, 예를 들어, a, b, c는 공통적으로 알려진 값과 매개변수에 대해 사용되고 알파벳 끝에 있는 문자, 예를 들어, x, y, z, 및 t는 공통적으로 함수의 미지수와 변수에 대해 사용됩니다.^[9] 인쇄된 수학(mathematics)에서, 표준은 기울림 글씨(italic type)로 변수와 상수를 설정하는 것입니다.^[10]

예를 들어, 일반적인 이차 함수는 관례적으로 다음으로 쓰입니다:

ax^{2}+bx+c\,,

여기서 a, b 및 c는 매개변수이지만 (역시 상수라고 불리는데, 왜냐하면 그것들은 상수 함수(constant function)이기 때문입니다), x는 함수의 변수입니다. 이 함수를 나타내기 위해 보다 명백한 방법은 다음입니다:

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

이것은 분명히 x의 함수-인수 상태를 만들고, 그것에 따라 암시적으로 a, b, 및 c의 상수 상태를 만듭니다. c는 x의 상수 함수인 항에서 발생하므로, 상수 항(constant term)이라고 불립니다.^[11]^: 18

수학의 특정 가지와 응용은 보통 변수에 대해 특정 이름-짓는 관례(naming convention)를 가집니다. 유사한 역할 또는 의미를 가진 변수는 종종 연속 문자가 할당됩니다. 예를 들어, 3D 좌표 공간(coordinate space)에서 세 축은 관례적으로 x, y 및 z라고 불립니다. 물리학에서, 변수의 이름은 그것들이 설명하는 물리적 양(physical quantity)에 의해 크게 결정되지만, 다양한 이름-짓는 관례가 존재합니다. 확률(probability)과 통계(statistics)에서 종종 따르는 관례는 확률 변수(random variable)의 이름에 X, Y, Z를 사용하며, 해당 실제 값을 나타내는 변수에 대해 x, y, z를 유지하는 것입니다.

많은 다른 표기법적 사용법이 있습니다. 보통, 유사한 역할을 하는 변수는 연속된 문자 또는 다른 아래첨자(subscript)를 갖는 같은 문자로 표시됩니다. 다음은 가장 공통적인 사용법 중 일부입니다.

a, b, c, 및 d (때때로 e와 f로 확장됨)은 종종 매개변수 또는 계수(coefficient)를 나타냅니다.
a₀, a₁, a₂, 등은 너무 많은 다른 문자가 필요될 때 유사한 역할을 합니다.
a_i 또는 u_i는 종종 수열(sequence)의 i-번째 항 또는 급수(series)의 i-번째 계수를 나타내기 위해 사용됩니다.
f와 g (때때로 h)는 공통적으로 함수(functions)를 나타냅니다.
i, j, 및 k (때때로 l 또는 h)는 종종 변하는 정수(integer) 또는 인덱스된 가족(indexed family)에서 인덱스를 나타내기 위해 사용됩니다. 그것들은 역시 단위 벡터(unit vector)를 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.
l과 w는 종종 그림의 길이와 폭을 나타내기 위해 사용됩니다.
l은 역시 직선을 나타내기 위해 사용됩니다. 숫자 이론에서, l은 종종 p와 같지 않은 소수를 나타냅니다.
n은 보통 대상의 총수 또는 방정식(equation)의 차수와 같은 고정된 정수를 나타냅니다.
- 두 정수가 필요될 때, 예를 들어 행렬(matrix)의 차원에 대해, 우리는 공통적으로 m과 n을 사용합니다.
p는 종종 소수(prime number) 또는 확률(probability)을 나타냅니다.
q는 종종 소수 거듭제곱(prime power) 또는 몫(quotient)을 나타냅니다.
r은 종종 반지름(radius), 나머지(remainder) 또는 상관 계수(correlation coefficient)를 나타냅니다.
t는 종종 시간(time)을 나타냅니다.
x, y 및 z는 보통 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 점의 세 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 나타냅니다. 확장에 의해, 그것들은 대응하는 축(axes)을 이름-짓기 위해 사용됩니다.
z는 전형적으로 복소수(complex number), 또는, 통계학에서, 정규 확률 변수(normal random variable)를 나타냅니다.
α, β, γ, θ 및 φ는 공통적으로 각도(angle) 측정을 나타냅니다.
ε는 보통 임의적으로 작은 양의 숫자를 나타냅니다.
- ε와 δ는 공통적으로 두 작은 양수를 나타냅니다.
λ는 고윳값(eigenvalue)에 대해 사용됩니다.
σ는 종종 합, 또는, 통계학에서, 표준 편차(standard deviation)를 나타냅니다.

Bibliography

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 1 ff.
Karl Menger, "On Variables in Mathematics and in Natural Science", The British Journal for the Philosophy of Science 5:18:134–142 (August 1954) JSTOR 685170
Jaroslav Peregrin, "Variables in Natural Language: Where do they come from?", in M. Boettner, W. Thümmel, eds., Variable-Free Semantics, 2000, pp. 46–65.
W.V. Quine, "Variables Explained Away", Proceedings of the American Philosophical Society 104:343–347 (1960).

References

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[4] Tabak, John (2014). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought. Infobase Publishing. p. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[Fraleigh-5] Fraleigh, John B. (1989). A First Course in Abstract Algebra (4 ed.). United States: Addison-Wesley. p. 276. ISBN 0-201-52821-5.

[6] Tom Sorell, Descartes: A Very Short Introduction, (2000). New York: Oxford University Press. p. 19.

[7] Edwards Art. 5

[8] Edwards Art. 6

[E004-9] Edwards Art. 4

[10] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0, 978-1-61530-219-2, p. 71

[11] Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.

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