Piecewise

Original article: w:Piecewise

Plot of the piecewise linear function $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

수학(mathematics)에서, 조각별-정의된 함수(piecewise-defined function, 역시 조각별 함수(piecewise function), 하이브리드-함수(hybrid-function), 또는 클래스에 의한 정의(definition by cases)라고 불림)는 여러 부분-함수로 정의되는 함수(function)이며, 여기서 각 부분-함수는 도메인에서 다른에 적용됩니다. 조각별 정의는 실제로 함수 자체의 특성이 아닌 함수를 표현하는 방법입니다.

구별되지만, 관련된 개념은 도메인이 속성이 유지하는 구간으로 나눌 수 있을 때 사용된, 함수에 대해 조각별 보유하는 속성의 개념입니다. 위의 개념과 달리, 이것은 실제로 함수 자체의 속성입니다. 조각별 선형 함수 (역시 연속적임)가 예제로 묘사됩니다.

Notation and interpretation

Graph of the absolute value function, y = |x|.

조각별 함수는 공통 함수형 표기법(functional notation)을 사용하여 정의될 수 있으며, 여기서 함수의 몸체는 함수와 관련된 부분-도메인의 배열입니다. 이들 부분-도메인은 함께 전체 도메인(domain)을 덮어야 합니다; 종종 역시 그것들이 조각별 서로소임, 즉, 도메인의 분할을 형성함이 요구됩니다. 전체 함수에 대해 "조각별"이라고 불리기 위해, 부분-도메인의 보통 구간임이 요구됩니다 (일부는 퇴화된 구간, 즉 단일 점 또는 비-경계진 구간일 수 있습니다). 경계진 구간에 대해, 부분도메인의 숫자가 유한임이 요구되며, 비-경계진 구간에 대해, 그것은 종종 오직 지역적 유한임이 요구됩니다. 예를 들어, 절댓값(absolute value) 함수의 조각별 정의를 생각해 보십시오:

$$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}$$

영보다 작은 x의 모든 값에 대해, 첫 번째 함수 (−x)가 사용되며, 이것은 입력 값의 부호를 부정하며, 음의 숫자를 양수로 만듭니다. 영보다 크거나 같은 x의 모든 값에 대해, 두 번째 함수 (x)가 사용되며, 이것은 입력 자체를 자명하게 평가됩니다.

다음 테이블은 x의 특정 값에서 절댓값 함수를 상세히 기록합니다:

x	f(x)	사용된 함수
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

여기서, 주어진 입력 값에서 조각별 함수를 평가하기 위해, 적절한 부분-도메인이 올바른 함수를 선택하고–올바른 출력 값을 생성하기 위해 선택되어야 함에 주목하십시오.

Continuity and differentiability of piecewise functions

A piecewise function comprising different quadratic functions on either side of $x_{0}$.

조각별 함수는 만약 다음 조건이 충족되면 그것의 도메인에서 주어진 구간 위에 연속(continuous)입니다:

• 그것의 구성 함수는 해당하는 구간 (부분-도메인) 위에 연속입니다.
• 해당 구간 내에서 부분-도메인의 각 끝점에서 불연속성이 없습니다.

그림에 표시된 함수는, 예를 들어, 그것의 부분-도메인 전체에서 조각별-연속이지만, 전체 도메인 위에 연속이 아닌데, 왜냐하면 그것은 $x_{0}$에 점프 불연속성을 포함하기 때문입니다. 채워진 원은 오른쪽 함수 조각의 값이 이 위치에서 사용됨을 나타냅니다.

조각별 함수에 대해 그것의 도메인에서 주어진 구간 위에 미분-가능이려면, 다음 조건이 위의 연속성에 대한 조건 외에도 충족되어야 합니다:

• 그것의 구성 함수는 해당하는 열린 구간 위에 미분-가능입니다.
• 한-쪽 도함수는 모든 구간 끝점에서 존재합니다.
• 둘의 부분-구간이 닿는 점에서, 둘의 이웃하는 부분-구간의 대응하는 한-쪽 도함수가 일치합니다.

Applications

응용 수학적 해석학에서, 조각별 함수는 많은 인간 시각 시스템의 모델(models of the human visual system)과 일치하는 것으로 발견되어 왔으며, 여기서 이미지는 가장자리에 의해 분리된 매끄러운 영역으로 구성된 첫 번째 단계에서 인식됩니다. 특히, 시얼렛(shearlet)은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하기 위한 표현 시스템으로 사용되어 왔습니다.

Common examples

• 조각마다 선형 함수(Piecewise linear function), 선분으로 구성된 조각별 함수
  • 계단 함수(Step function), 상수 함수로 구성된 조각별 함수
    • 상자-차 함수(Boxcar function),
    • 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)
    • 부호 함수(sign function)
  • 절댓값(Absolute value)
  • 삼각형 함수(triangular function)
• 부러진 거듭제곱 법칙(Broken power law), 거듭제곱 법칙으로 구성된 조각별 함수
• 스플라인(Spline), 다항 함수로 구성된 조각별 함수, 다항식 조각이 연결되는 위치에서 높은 차수의 매끄러움을 보유합니다.
  • B-스플라인(B-spline)
• PDIFF
• $f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ 및 일부 다른 공통 혹 함수(Bump function). 이것들은 무한하게 미분-가능이지만, 해석성은 오직 조각별로 유지됩니다.
• 실수에서 연속 함수는 경계지거나 균등하게 연속일 필요는 없지만, 항상 조각별 경계지고 조각별 균등하게 연속입니다.

See also

• Piecewise linear continuation