"Little Bézout's theorem" redirects here. For the number of intersection points of two algebraic curves, see
Bézout's theorem . For the relation between two numbers and their greatest common divisor, see
Bézout's identity .
대수학 에서, 다항식 나머지 정리(polynomial remainder theorem) 또는 (에티엔 베주(Étienne Bézout) 의 이름을 따서 명명된) 작은 베주의 정리(little Bézout 's theorem) [1] 다항식의 유클리드 나눗셈 의 응용입니다. 그것은 선형 다항식
x
−
r
{\displaystyle x-r}
다항식
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
x
−
r
{\displaystyle x-r}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
인수 정리(factor theorem) 의 속성으로 알려진
f
(
r
)
=
0
{\displaystyle f(r)=0}
[2] 필요충분(if and only if, iff) 조건입니다.
Examples Example 1
f
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
−
42
{\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(
x
−
3
)
{\displaystyle (x-3)}
x
2
−
9
x
−
27
{\displaystyle x^{2}-9x-27}
−
123
{\displaystyle -123}
f
(
3
)
=
−
123
{\displaystyle f(3)=-123}
Example 2 다항식 나머지 정리는, 다음의 대수적 조작을 사용함으로써, 임의의 이차 다항식
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
f
(
x
)
x
−
r
=
a
x
2
+
b
x
+
c
x
−
r
=
a
x
2
−
a
r
x
+
a
r
x
+
b
x
+
c
x
−
r
=
a
x
(
x
−
r
)
+
(
b
+
a
r
)
x
+
c
x
−
r
=
a
x
+
(
b
+
a
r
)
(
x
−
r
)
+
c
+
r
(
b
+
a
r
)
x
−
r
=
a
x
+
b
+
a
r
+
c
+
r
(
b
+
a
r
)
x
−
r
=
a
x
+
b
+
a
r
+
a
r
2
+
b
r
+
c
x
−
r
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}}
양쪽 변에 (x − r )를 곱함으로써 다음을 제공합니다:
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
(
a
x
+
b
+
a
r
)
(
x
−
r
)
+
a
r
2
+
b
r
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}}
R
=
a
r
2
+
b
r
+
c
{\displaystyle R=ar^{2}+br+c}
f
(
r
)
=
R
{\displaystyle f(r)=R}
Proof 다항식 나머지 정리는 유클리드 나눗셈(Euclidean division) 의 정리를 따르는데, 유클리드 나눗셈은 주어진 두 다항식 f (x )g (x )Q (x )R (x )
f
(
x
)
=
Q
(
x
)
g
(
x
)
+
R
(
x
)
and
R
(
x
)
=
0
or
deg
(
R
)
<
deg
(
g
)
.
{\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).}
만약 나누는 식이
g
(
x
)
=
x
−
r
{\displaystyle g(x)=x-r}
R (x ) = 0R (x )x
f
(
x
)
=
Q
(
x
)
(
x
−
r
)
+
R
.
{\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R.}
이 공식에서
x
=
r
{\displaystyle x=r}
f
(
r
)
=
R
.
{\displaystyle f(r)=R.}
어떤 사람들에게 보다 기초적으로 보일 수 있는, 약간 다른 증명은
f
(
x
)
−
f
(
r
)
{\displaystyle f(x)-f(r)}
x
k
−
r
k
{\displaystyle x^{k}-r^{k}}
선형 조합(linear combination) 인 것의 관찰로 시작하며, 그것의 각각은
x
−
r
{\displaystyle x-r}
x
k
−
r
k
=
(
x
−
r
)
(
x
k
−
1
+
x
k
−
2
r
+
⋯
+
x
r
k
−
2
+
r
k
−
1
)
.
{\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}
Applications 다항식 나머지 정리는 나머지,
R
{\displaystyle R}
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
다항식 긴 나눗셈(polynomial long division) 이 함수(function) 자체를 평가하는 것보다 어려울지라도, 조립 제법(synthetic division) 은 계산이 더 쉽습니다. 따라서, 함수는 조립 제법과 다항식 나머지 정리를 사용하여 보다 "저렴하게" 평가될 수 있습니다.
인수 정리(factor theorem) 는 나머지 정리의 또 다른 응용입니다: 만약 나머지가 영이면, 선형의 나누는 식은 인수입니다. 인수 정리의 반복된 적용은 다항식을 인수분해하기 위해 사용될 수 있습니다.[3]
References
^ Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF) . Formalized Mathematics . 12 (1): 49–58. ^ Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning
^ Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning
