Prime-counting function

Original article: w:Prime-counting function

"Π(x)" redirects here. For the variant of the gamma function, see Gamma function § Pi function.

수학(mathematics)에서, 소수-세는 함수(prime-counting function)는 어떤 실수(real number) x보다 작거나 같은 소수(prime numbers)의 개수를 세는 함수(function)입니다. 그것은 π(x)로 표시됩니다 (숫자 π와 관련 없습니다).

The values of π(n) for the first 60 positive integers

Growth rate

Main article: Prime number theorem

숫자 이론(number theory)에서 가장 흥미로운 점은 소수-세는 함수의 성장 율(growth rate)입니다. 그것은 18세기 말 가우스(Gauss)와 르장드르(Legendre)에 의해 근사적으로 추측되었습니다: $${\frac {x}{\log(x)}}$$ 여기서 log는 다음이라는 의미에서 자연 로그(natural logarithm)입니다: $$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.$$

이 명제는 소수 정리(prime number theorem)입니다. 동등한 명제는 다음입니다:

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$$

여기서 li는 로그 적분(logarithmic integral) 함수입니다. 소수 정리는 1896년 자크 아다마르(Jacques Hadamard)와 샤를 드 라 발레-푸생(Charles de la Vallée-Poussin)에 의해 독립적으로, 1859년 리만(Riemann)에 의해 도입된 리만 제타 함수(Riemann zeta function)의 속성을 사용하여 처음 입증되었습니다. 제타 함수나 복소 해석학(complex analysis)을 사용하지 않는 소수 정리의 증명이 1948년경 아틀레 셀베르그(Atle Selberg)와 폴 에르되시(Paul Erdős)에 의해 (대부분 독립적으로) 발견되었습니다.

More precise estimates

1899년에, 드 라 발레-푸생(de la Vallée Poussin)은 어떤 양의 상수 a에 대해 다음임을 입증했습니다: $$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$$

여기서, O(...)는 큰 O 표기법(big O notation)입니다.

$\pi (x)\!$의 보다 정확한 추정치가 이제 알려져 있습니다. 예를 들어, 2002년에, 케빈 포드(Kevin Ford)는 다음임을 입증했습니다: $$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).$$

Mossinghoff와 Trudgian는 $\pi (x)$와 $\operatorname {li} (x)$ 사이의 차이에 대해 명시적 위쪽 경계를 입증했습니다: $${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)$$ 이때 $x\geq 229$.

비합리적으로 크지 않은 $x$ 값에 대해, $\operatorname {li} (x)$는 $\pi (x)$보다 큽니다. 어쨌든, $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$는 부호가 무한히 여러 번 변경되는 것으로 알려져 있습니다. 이에 대한 논의에 대해 Skewes' number를 참조하십시오.

Exact form

$x>1$에 대해, $x$가 소수일 때 $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$라고 놓고, 그렇지 않으면 $\pi _{0}(x)=\pi (x)$라고 놓습니다. 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은, 자신의 저서 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude에서, $\pi _{0}(x)$가 다음과 같다는 것을 입증했습니다: $$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),$$ 여기서 $$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),$$ μ(n)은 뫼비우스 함수(Möbius function)이고, li(x)는 로그 적분 함수(logarithmic integral function)이고, ρ는 리만 제타 함수의 모든 각 영점을 색인화하고, li(x^ρ/n)은 가지 자름(branch cut)으로 평가되지 않고 대신 Ei(ρ/n log x)로 고려되며, 여기서 Ei(x)는 지수 적분(exponential integral)입니다. 만약 자명한 영점들이 수집되고 리만 제타 함수의 비-자명한 영점들 ρ에 대해서만 합이 취해지면, $\pi _{0}(x)$는 다음에 의해 근사화될 수 있습니다: $$\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.$$

리만 가설(Riemann hypothesis)은 모든 각 그러한 비-자명한 영이 Re(s) = 1/2을 따라 존재한다고 제안합니다.

Table of π(x), x / log x, and li(x)

테이블은 세 가지 함수 π(x), x / log x 및 li(x)가 10의 거듭제곱에서 어떻게 비교되는지 보여줍니다. 와 를 참조하십시오:

x	π(x)	π(x) − x / log x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / log x  % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

Graph showing ratio of the prime-counting function π(x) to two of its approximations, x/log x and Li(x). As x increases (note x axis is logarithmic), both ratios tend towards 1. The ratio for x/log x converges from above very slowly, while the ratio for Li(x) converges more quickly from below.

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences에서, π(x) 열은 수열 OEIS: A006880, π(x) − x/log x는 수열 OEIS: A057835, 및 li(x) − π(x)는 수열 OEIS: A057752입니다.

π(10²⁴)에 대한 값은 원래 J. Buethe, J. Franke, A. Jost, 및 T. Kleinjung에 의해 리만 가설(Riemann hypothesis)을 가정하여 계산되었습니다. 그것은 나중에 D. J. Platt에 의해 계산에서 무조건적으로 검증되었습니다. π(10²⁵)에 대한 값은 J. Buethe, J. Franke, A. Jost, 및 T. Kleinjung에 의해 기인합니다. π(10²⁶)에 대한 값은 D. B. Staple에 의해 계산되었습니다. 이 테이블에서 모든 다른 이전 엔트리도 해당 연구의 일부로 확인되었습니다.

10²⁷에 대한 값은 2015년에 David Baugh와 Kim Walisch에 의해 표명되었습니다.

10²⁸에 대한 값은 2020년에 David Baugh와 Kim Walisch에 의해 표명되었습니다.

10²⁹에 대한 값은 2022년에 David Baugh와 Kim Walisch에 의해 표명되었습니다.

Algorithms for evaluating π(x)

$\pi (x)$를 찾기 위한 간단한 방법은, $x$가 너무 크지 않으면, 에라토스테네스의 체(sieve of Eratosthenes)를 $x$보다 작거나 같은 소수를 생성하기 위해 사용하고 그런-다음 그것들을 세는 것입니다.

$\pi (x)$를 찾는 데 보다 정교한 방법은 르장드르(Legendre)에 기인합니다 (포함–제외 원리(inclusion–exclusion principle)를 사용합니다): $x$가 주어졌을 때, $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$가 서로 다른 소수이면, $p_{i}$가 아닌 것으로 나눌 수 있는 $x$보다 작거나 같은 정수의 개수는 다음입니다:

$\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots$

(여기서 $\lfloor {x}\rfloor$는 바닥 함수(floor function)를 나타냅니다). 이 숫자는 따라서 숫자 $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$가 $x$의 제곱근보다 작거나 같은 소수일 때 다음과 같습니다:

$\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1$

The Meissel–Lehmer algorithm

Main article: Meissel–Lehmer algorithm

1870년과 1885년 사이에 출판된 일련의 기사에서, 에른스크 마이젤(Ernst Meissel)은 $\ \pi (x)$를 평가하는 실용적인 조합론적 방법을 설명했습니다 (그리고 사용했습니다) : $\ p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\$를 처음 $\ n\$개의 소수라고 놓고 임의의 $\ i\leq n$에 대해 어떤 $p_{i}$로도 나누어지지 않는 $m$보다 크지 않은 자연수의 개수를 $\Phi (m,n)$에 의해 나타냅니다. 그런-다음

$\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).$

자연수 $m$이 주어졌을 때, $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$이고 $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$이면,

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)\ .$

이 접근 방식을 사용하여, 마이젤은 $x$에 대해 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, 및 10⁸와 같은 $\pi (x)$를 계산했습니다

1959년에, 데릭 헨리 레머(Derrick Henry Lehmer)는 마이젤의 방법을 확장하고 단순화했습니다. 실수 $m$과 자연수 $n$과 $k$에 대해, $P_{k}(m,n)$을 정확히 k개의 소수 인수를 갖고, 모두 $p_{n}$보다 큰 m보다 크지 않은 숫자의 개수로 정의합니다. 게다가, $P_{0}(m,n)=1$라고 설정합니다. 그런-다음

$\ \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)\$

여기서 합은 실제로 오직 유한하게 많은 비-영 항을 가집니다. $y$는 ${\sqrt[{3}]{m\ }}\leq y\leq {\sqrt {m\ }}$임을 만족하는 정수를 나타낸다고 놓고, $n=\pi (y)$로 설정합니다. 그런-다음 $k\geq 3$일 때 $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ 및 $P_{k}(m,n)=0$입니다. 그러므로,

$\ \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)\$

$P_{2}(m,n)$의 계산은 이 방법으로 얻을 수 있습니다:

$P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m\ }}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)\ ,$

여기서 합은 소수를 초과합니다.

다른 한편으로, $\Phi (m,n)$의 계산은 다음 규칙을 사용하여 수행될 수 있습니다:

1. $\ \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor \$
2. $\ \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)\$

이 방법과 IBM 701를 사용하여, 레머는 $\pi \left(10^{9}\right)$의 정확한 값을 계산할 수 있었고 $\pi \left(10^{10}\right)$의 정확한 값에서 1만큼 빗나갔습니다.

이 방법에 대한 추가적인 개선은 Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise, 및 Rivat에 의해 수행되었습니다.

Other prime-counting functions

다른 소수-세는 함수도 작동하기에 더 편리하기 때문에 사용됩니다.

Riemann's prime-power counting function

리만의 소수-거듭제곱 세는 함수는 보통 $\Pi _{0}(x)$ 또는 $J_{0}(x)$로 표시됩니다. 그것은 소수 거듭제곱 $p^{n}$에서 ${\tfrac {1}{\ n\ }}$의 점프를 가지고, $\pi (x)$의 불연속점에서 양측 사이의 중간 값을 취합니다. 추가된 세부 사항은 함수가 역 멜린 변환(Mellin transform)에 의해 정의될 수 있기 때문에 사용됩니다.

형식적으로, $\Pi _{0}(x)$를 다음에 의해 정의할 수 있습니다:

$\ \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}~+~\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\$

여기서 각 합에서 변수 p는 지정된 한계 내의 모든 소수에 대한 범위입니다.

우리는 역시 다음을 쓸 수 있습니다:

$\ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\$

여기서 $\Lambda (n)$는 폰 망골트 함수(von Mangoldt function)이고 다음입니다:

$\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ \pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )\ }{2}}\ .$

뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)은 그런-다음 다음을 제공합니다:

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ \mu (n)\ }{n}}\ \Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ ,$

여기서 $\mu (n)$은 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다.

리만 제타 함수(Riemann zeta function)의 로그와 폰 망골트 함수(von Mangoldt function) $\Lambda$ 사이의 관계를 알고, 페론 공식(Perron formula)을 사용하여, 다음을 가집니다:

$\ \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\ \mathrm {d} x\$

Chebyshev's function

체비쇼프 함수(Chebyshev function)는 log(p) 만큼 소수 또는 소수 거듭제곱 pⁿ 에 가중치를 부여합니다:

$\ \theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\$

$\ \psi (x)\ =\ \sum _{p^{n}\leq x}\log p\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ =\ \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .$

$x\geq 2$에 대해,

$\ \vartheta (x)=\pi (x)\ \log x\ -\ \int _{2}^{x}{\frac {\ \pi (t)\ }{t}}\ \mathrm {d} t\$

그리고

$\ \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\ \log x\ }}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{\ t\ \log ^{2}(t)\ }}\ \mathrm {d} t\ .$

Formulas for prime-counting functions

소수-세는 함수의 공식에는 산술적 공식과 해석적 공식의 두 가지 종류가 있습니다. 소수-세는 것에 대한 해석적 공식은 소수 정리(prime number theorem)를 입증하기 위해 처음으로 사용되었습니다. 그것들은 리만과 폰 망골트(von Mangoldt)의 연구에서 비롯되었고, 일반적으로 명시적 공식(explicit formulas)으로 알려져 있습니다.

두 번째 체비쇼프 함수(Chebyshev function) ψ에 대해 다음 표현식이 있습니다:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),$

여기서

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.$

여기서 ρ는 는 임계 스트립에서 리만 제타 함수의 영들이며, 여기서 ρ의 실수 부분은 0과 1 사이에 있습니다. 그 공식은 관심 영역인 1보다 큰 x 값에 유효합니다. 근에 걸쳐 합은 조건부 수렴하고, 허수 부분의 절댓값이 증가하는 순서대로 취해야 합니다. 자명한 근에 걸쳐 같은 합은 공식에서 마지막 감수(subtrahend)를 제공합니다.

$\Pi _{0}(x)$에 대해 더 복잡한 공식이 있습니다:

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.$

Riemann's explicit formula using the first 200 non-trivial zeros of the zeta function

다시 말하지만, 그 공식은 x > 1에 대해 유효하고, 반면에 ρ는 절댓값에 따라 순서화된 제타 함수의 비-자명한 영들입니다. 적분은 자명한 영들에 걸쳐 급수와 같습니다:

$\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})$

첫 번째 항 li(x)는 보통의 로그 적분 함수(logarithmic integral function)입니다; 두 번째 항에서 표현식 li(x^ρ)는 Ei(ρ log x)로 고려되어야 하며, 여기서 Ei는 음의 실수에서 양의 실수를 따라 가지 자름을 갖는 복소 평면로의 지수 적분(exponential integral) 함수의 해석적 연속(analytic continuation)입니다.

따라서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)은 x > 1에 대해 유효한 다음을 제공합니다:

$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})$

여기서

$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}$

위는 리만의 R-함수이고 μ(n)는 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다. 후자의 급수는 그람(Gram) 급수로 알려져 있습니다. 모든 $x>0$에 대한 $\log(x)<x$이기 때문에, 이 급수는 $e^{x}$에 대한 급수와 비교하여 모든 양의 x에 대해 수렴합니다. 비-자명한 영 기여에 걸쳐 합의 그람 급수에서 로그는 $\log x^{\rho }$가 아닌 $\rho \log x$로 평가되어야 합니다.

포크마르 보르네만(Folkmar Bornemann)은 리만 제타 함수의 모든 영들이 단순하다는 추측(conjecture)을 가정할 때, 다음임을 입증했습니다:

$\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}$

여기서 $\rho$는 리만 제타 함수의 비-자명한 영들과 $t>0$에 걸쳐 실행됩니다.

$\pi _{0}(x)$에 대한 공식에서 비-자명한 제타 영들에 걸쳐 합은 $\pi _{0}(x)$의 변동을 설명하고, 반면에 남아있는 항은 소수-세는 함수의 "매끄러운" 부분을 제공하므로, x > 1에 대한 $\pi (x)$의 좋은 추정기로 다음을 사용할 수 있습니다:

$\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})$

실제로, 두 번째 항은 $x\to \infty$로 0에 가까워지고, 반면에 "노이즈가 있는" 부분의 진폭은 경험적으로 ${\sqrt {x}}/\log x$에 대한 것이며, $\operatorname {R} (x)$만으로 $\pi (x)$를 추정하는 것도 마찬가지로 좋고, 소수의 분포(distribution of primes)의 변동은 다음 함수로 명확하게 표현될 수 있습니다:

${\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.$

Inequalities

다음은 π(x)에 대한 몇 가지 유용한 부등식입니다. x ≥ 17에 대해,

${\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}$

왼쪽 부등식은 x ≥ 17에 대해 유지되고 오른쪽 부등식은 x > 1에 대해 유지됩니다. 상수 1.25506은 ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$가 x = 113에서 최댓값을 갖기 때문에 5 십진 위치까지 ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$입니다.

피에르 뒤자르(Pierre Dusart)는 2010년에 다음을 입증했습니다:

${\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)$ for $x\geq 5393$, and

$\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}$ for $x\geq 60184$.

다음은 n번째 소수, p_n에 대한 일부 부등식입니다. 위쪽 경계는 Rosser (1941)에 따른 것이고, 아래쪽 경계는 Dusart (1999)에 따른 것입니다:

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ for n ≥ 6.

왼쪽 부등식은 n ≥ 2에 대해 유지되고 오른쪽 부등식은 n ≥ 6에 대해 유지됩니다.

n번째 소수에 대한 근사는 다음입니다:

$p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).$

라마누젠(Ramanujan)은 다음 부등식이 $x$의 모든 충분하게 큰 값에 대해 유지됨을 입증했습니다:

$\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)$

에서 Dusart는 $n\geq 688383$에 대해 다음임을 입증했습니다 (Proposition 6.6),

$p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),$

그리고 $n\geq 3$에 대해 다음임을 입증했습니다 (Proposition 6.7):

$p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).$

보다 최근에, Dusart는 $x>1$에 대해 다음임을 입증했습니다 (Theorem 5.1):

$\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)$ ,

그리고 $x\geq 88789$에 대해 다음임을 입증했습니다:

$\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).$

The Riemann hypothesis

리만 가설(Riemann hypothesis)은 $\pi (x)$에 대한 추정에서 오차에 대한 훨씬 더 엄격한 경계를 의미하고, 따라서 소수의 보다 규칙적인 분포를 의미합니다:

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

특히,

$|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.$

See also

• Foias constant
• Bertrand's postulate
• Oppermann's conjecture
• Ramanujan prime

External links

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.