Probability interpretations

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단어 확률(probability)은 우연의 게임(games of chance)의 수학적 연구에 처음 적용된 이래로 다양한 방식에서 사용되어 왔습니다. 확률은 어떤 것이 발생하기 위해 실재하는, 물리적인 경향을 측정합니까? 또는 확률은 그것이 일어날 것이라고 얼마나 강하게 믿는가의 측정입니까? 또는 확률은 이들 원소 둘 다를 끌어들이는가? 그러한 질문에 대답에서, 수학자들은 확률 이론(probability theory)의 확률 값을 해석합니다.

확률 해석(probability interpretations)에는 "물리적" 확률과 "증거의" 확률이라는 두 가지 넓은 카테고리가 있습니다. 객관적인 또는 빈도 확률(frequency probabilities)이라고 역시 불리는, 물리적 확률은 룰렛 휠, 주사위 굴리기 및 방사성의 원자와 같은 무작위 물리적 시스템과 관련됩니다. 그러한 시스템에서, (6을 산출하는 주사위와 같은) 사건의 주어진 유형은 장기간의 시행에서, 영구적인 비율, 또는 "상대적 빈도"로 발생하는 경향이 있습니다. 물리적 확률은 이들 안정된 빈도를 설명, 또는 설명하기 위해 호출됩니다. 물리적 확률 이론의 두 가지 주요 종류는 (벤, 라이헨바흐 및 폰 미제스와 같은) 빈도주의(frequentist) 설명 그리고 (포퍼, 밀러, 지어 및 페쩌와 같은) 경향(propensity) 설명입니다.

베이즈 확률(Bayesian probability)이라고 역시 불리는, 증거의 확률은 비록 무작위 프로세스가 포함되지 않을지라도, 그것의 주관적 타당성을 나타내는 방법, 또는 명제가 사용 가능한 증거에 의해 지원되는 정도로, 임의의 명제에 할당될 수 있습니다. 대부분의 설명에서, 증거의 확률은 특정 오즈(승산)에서 도박하기 위해 규정의 관점에서 정의되는, 믿음의 정도가 되는 것으로 여겨집니다. 네 가지 주요 해석은 고전적 (예를 들어 라플라스의) 해석, 주관적 해석 (드 피네찌 그리고 쌔비지), 인식론적 또는 귀납적 해석 (램지(Ramsey), 콕스(Cox))과 논리적 해석 (케인스(Keynes) 및 카르나프(Carnap))입니다. 종종 '상호 주관적'으로 분류되는 (길리스(Gillies)와 로우바텀(Rowbottom)에 의해 제안되는), 그룹을 덮는 확률의 증거의 해석이 역시 있습니다.

확률의 일부 해석은 추정(estimation)과 가설 테스팅(hypothesis testing)의 이론을 포함하는 통계적 추론(statistical inference)에 대한 접근과 관련이 있습니다. 물리적 해석은, 예를 들어, 로널드 피셔(Ronald Fisher), 예르지 네이만(Jerzy Neyman) 및 이건 피어슨(Egon Pearson)과 같은 "빈도주의" 통계학 방법을 따르는 사람들에 의해 취합니다. 반대하는 베이즈(Bayesian) 학교의 통계학자들은 전형적으로 물리적 확률의 존재와 중요성을 받아들이고, 그러나 통계에서 유효하고 필요해지기 위해 증거의 확률의 계산을 역시 고려합니다. 이 기사는, 어쨌든, 통계적 추론 이론보다는 확률의 해석에 초점을 둡니다.

확률이 다양한 학문 분야에서 연구되기 때문에, 이 주제의 용어는, 부분적으로, 다소 혼란스럽습니다. 단어 "빈도주의"는 특히 까다롭습니다. 철학자들에게 그것은 물리적 확률의 특정한 이론을 의미하는데, 하나는 다소 버려져 왔습니다. 과학자들에게, 다른 한편으로, "빈도주의 확률(frequentist probability)"은 물리적 (또는 객관적인) 확률에 대해 단지 또 다른 이름입니다. 베이즈 추론을 장려하는 사람들은 오직 물리적 확률을 인식하는 통계적 추론에 대한 접근으로 "빈도주의 통계"를 봅니다. 또한 확률에 대해 적용되는 단어 "객관적인"은 때때로 여기서 "물리적인"이란 무엇을 의미하는지를 정확하게 의미하지만, 논리적 및 인식론적 확률과 같은 합리적인 제약에 의해 고정되는 증거의 확률에 역시 사용됩니다.

통계가 어떻게든지 확률에 의존한다는 것은 만장일치로 합의되었습니다. 그러나, 확률이 무엇이어야 하고 그것이 통계와 어떻게 연관되어 있는지에 관해서는, 바벨탑 이후로 의사 소통의 그러한 완전한 불일치와 붕괴는 거의 없었습니다. 의심할 여지없이, 대부분의 의견 차이는 단지 전문 용어일 뿐이고 충분히 날카로운 분석에서 사라질 것입니다.

— (쌔비지, 1954, p 2)

Philosophy

확률의 철학(philosophy of probability)은 주로 인식론(epistemology)의 문제와 수학적 개념과 그것이 비-수학자에 의해 사용되는 일상 언어 사이의 어색한 인터페이스에 문제를 제기합니다. 확률 이론(probability theory)은 수학에서 확고한 연구의 분야입니다. 그것은 17세기에서 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)과 피에르 드 파르마(Pierre de Fermat) 사이의 우연의 게임(games of chance)의 수학을 논의하는 서신에 기원을 두고 있으며, 20세기에 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)에 의해 수학의 분명한 가지로 공식화되고 공리적으로 세워졌습니다. 공리적 형태에서, 확률 이론에 대한 수학적 명제는 다른 수학적 명제에 의해 공유될 때 수학의 철학(philosophy of mathematics) 안에서 같은 종류의 인식론적 자신감을 지닙니다.

수학적 해석학은 플레잉 카드(playing card) 및 주사위(dice)와 같은 게임 장비의 행동의 관찰에서 유래했으며, 이는 무작위 및 균등화된 원소를 도입하기 위해 특별히 고안되었습니다; 수학적 용어에서, 그들은 무관심(indifference)의 대상이었습니다. 이것은 확률론적 명제가 평범한 인간 언어에서 사용되는 유일한 방법은 아닙니다: 사람들이 "비가 올 것입니다"라고 말할 때, 그들은 전형적으로 비가 내리는 않는 결과와 비교하여 비가 내리는 결과가 오즈(승산)가 현재 유리한 무작위 인수라는 것을 의미하지는 않습니다; 대신에, 그러한 명제는 아마도 자신감의 정도와 함께 비의 기대를 나타내는 것으로 더 잘 이해될 수 있습니다. 마찬가지로, 루드로우, 매사추세츠(Ludlow, Massachusetts)라는 이름의 "가장 그럴듯한 설명"이 "로저 러드로우(Roger Ludlow)의 이름을 따서 명명한 것"이라고 쓰였을 때, 여기서 의미하는 것은 로저 러드로우가 무작위 인수에 의해 선호된다는 의미가 아니라, 오히려 이것은 다른, 가능성이 적은 설명을 인정하는 증거에 대한 가장 그럴듯한 설명이라는 것입니다.

토마스 베이즈(Thomas Bayes)는 변하는 자신감의 정도를 다룰 수 있는 논리(logic)를 제공하려고 시도했습니다; 예를 들어, 베이즈 확률(Bayesian probability)은 확률론적 명제의 표현을 그들이 표현한 신념이 유지되는 것에 의해 자신감의 정도의 표현으로 다시 만들기 위한 시도입니다.

비록 확률이 초기에 다소 평범한 동기를 가졌을지라도, 그의 현대의 영향력과 사용은 증거-기반 의학(evidence-based medicine)에서, 식스 시그마(Six sigma)를 거쳐, 확률적으로 검사할 수 있는 증명(Probabilistically checkable proof)과 끈 이론의 풍경(String theory landscape)에 이르기까지 광범위합니다.

A summary of some interpretations of probability

	Classical	Frequentist	Subjective	Propensity
Main hypothesis	Principle of indifference	Frequency of occurrence	Degree of belief	Degree of causal connection
Conceptual basis	Hypothetical symmetry	Past data and reference class	Knowledge and intuition	Present state of system
Conceptual approach	Conjectural	Empirical	Subjective	Metaphysical
Single case possible	Yes	No	Yes	Yes
Precise	Yes	No	No	Yes
Problems	Ambiguity in principle of indifference	Circular definition	Reference class problem	Disputed concept

Classical definition

Main article: Classical definition of probability

피에르-시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 옹호한, 확률 분야에서 수학적 엄격함에 대한 최초의 시도는 이제 고전적인 정의(classical definition)로 알려져 있습니다. (주사위를 굴리는 것과 같은) 우연의 게임의 연구로부터 개발된 그것은, 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는 것으로 간주되는 것에서 제공된, 확률이 모든 가능한 결과 사이에 동일하게 공유된다는 것을 말합니다. (3.1)

우연의 이론은 같은 종류의 모든 사건을 균일하게 가능한 경우의 특정 숫자로 줄일 수 있다는 것, 다시 말해서, 우리가 그들의 존재에 관해 똑같이 미결정인 것처럼, 그리고 확률을 구하는 사건에 대해 유리한 경우의 숫자를 결정하는 것으로 구성됩니다. 가능한 모든 경우의 숫자에 대한 이 숫자의 비율은 이 확률의 측정이며, 이는, 따라서, 분자가 유리한 경우의 숫자이고 분모가 모든 가능한 경우의 숫자로 쓰이는 단순한 분수입니다.

— 피에르-시몽 라플라스, 확률에 대한 철학적 수필

The classical definition of probability works well for situations with only a finite number of equally-likely outcomes.

이것은 다음과 같이 수학적으로 표현될 수 있습니다: 만약 무작위 실험이 N개의 서로 배타적 그리고 같은 가능한 결과를 초래할 수 있다면 그리고 만약 이들 결과의 N_A가 사건 A의 발생을 가져오면, A의 확률(probability of A)은 다음에 의해 정의됩니다:

$P(A)={N_{A} \over N}$.

고전적 정의에 대한 두 가지 명확한 제한이 있습니다. 첫 번째로, 오직 가능한 결과의 '유한한' 숫자가 있는 상황에서 오직 적용할 수 있습니다. 그러나 동전 던지기와 같은, 일부 주요한 무작위 실험에서 앞면이 나올 때까지 결과의 무한한 집합을 야기할 수 있습니다. 그리고 두 번째로, 예를 들어 대칭성 고려 사항과 같은 순환성을 피하기 위해 확률의 개념에 의존하지 않고 모든 가능한 결과가 똑같이 발생할 가능성이 있음을 미리 결정해야 합니다.

Frequentism

For frequentists, the probability of the ball landing in any pocket can be determined only by repeated trials in which the observed result converges to the underlying probability in the long run.

Main article: Frequency probability

빈도주의는 사건의 확률이 시간에 걸친 그의 상대적 빈도, (3.4) 즉, 비슷한 조건 아래에서 프로세스를 여러 번 반복한 후의 발생의 상대적인 빈도를 가정합니다. 이것은 또한 우연성(aleatory) 확률로 역시 알려져 있습니다. 사건은 어떤 무작위(random) 물리적 현상에 의해 지배되는 것으로 가정되며, 현상은 충분한 정보 (결정론을 참조하십시오)와 함께, 원칙적으로, 예측 가능한 것; 또는 본질적으로 예측할 수 없는 것이 있습니다. 첫 번째 종류의 예제는 주사위 던지기 또는 룰렛 회전이고; 두 번째 종류의 예제는 방사성 감쇠(radioactive decay)입니다. 공정한 동전 던지기의 경우에서, 빈도주의는 앞면을 얻을 확률이 1/2이라고 말하는데, 두 개의 똑같이 가능한 결과가 있기 때문이 아니라 많은 숫자의 반복된 일련의 시행이, 시행 횟수가 무한대로 갈수록, 경험적 빈도가 극한 1/2로 수렴한다는 것을 보여주기 때문입니다.

만약 $\textstyle n$ 시행에서 사건 ${\mathcal {A}}$의 발생의 숫자를 $\textstyle n_{a}$로 나타내면, 만약 $\lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p$이면 $\textstyle P({\mathcal {A}})=p$이라고 말합니다.

빈도주의 견해는 그 자체 문제를 가집니다. 그것은 사건의 확률을 결정하기 위해 무작위 실험의 무한 반복을 실제로 수행하는 것은 당연히 불가능합니다. 그러나 만약 프로세스의 오직 유한한 반복 횟수가 수행되면, 다른 상대 빈도가 다른 일련의 시행에서 나타날 것입니다 만약 이들 상대적 빈도가 확률을 정의하는 것이라면, 확률은 그것이 측정되는 모든 각 시점에서 약간 다를 것입니다. 그러나 실제 확률은 매번 같아야 합니다. 만약 붙여진 측정의 어떤 오류를 갖는 확률을 오직 측정할 수 있다는 사실을 인정하면, 측정의 오류가, 정의하기 위해 노력하는 바로 그 개념, 확률로 오직 표현될 수 있기 때문에 여전히 문제에 직면합니다. 이것은 심지어 빈도 정의를 순환으로 만듭니다; 예를 들어 “지진의 가능성은 무엇입니까?” 를 참조하십시오.

Subjectivism

Gambling odds reflect the average bettor's 'degree of belief' in the outcome.

Main article: Bayesian probability

베이즈(Bayesians) 또는 인식론적 확률(epistemic probability)의 추종자로 역시 알려진, 주관주의자는 특정 상황의 불확실성을 평가하는 개인의 '신념의 정도'를 측정으로 그것을 고려함으로써 주관적인 상태를 확률의 개념으로 제시합니다. 성향 확률에 대해 용어 우연과는 반대로, 인식론(Epistemic) 또는 주관적 확률은 때때로 신빙성(credence)이라고 불립니다.

인식론적 확률의 몇 가지 예제는 제안된 물리 법칙이 참이라는 명제에 확률을 부여하고, 제시된 증거에 근거하여 용의자가 범죄를 저지른 가능성을 결정하는 것입니다.

겜블링 오즈는, 다른 도박꾼의 믿음만큼, 호감이 가는 승자에 대한 마권업자의 믿음을 반영하지 않는데, 왜냐하면 도박꾼은 실제로 서로에 대해 반대하여 베팅하기 때문입니다. 오즈는 얼마나 많은 사람들이 가능한 승자에 돈을 거는지에 따라 결정되므로, 비록 높은 오즈 플레이어가 항상 이기더라도, 마권업자는 항상 어쨌든 백분율을 만들 것입니다.

베이즈 확률의 사용은 믿음(belief)의 유효한 정당화(justifications)에 기여할 수 있는지 여부에 관한 철학적 논쟁을 일으킵니다.

베이즈는 주관적인 믿음이 만약 그들이 일관성(coherent)이 있으면 확률의 법칙(laws of probability)을 반드시 따라야 한다는 것을 증명함으로써 램지(Ramsey)와 데 피네티(de Finetti)의 연구에 대해 지적합니다. 증거는 인간이 일관된 신념을 가질 것이라는 것에 의문을 던집니다.

베이즈 확률의 사용은 이전 확률(prior probability)을 지정하는 것을 포함합니다. 이는 요구된 이전 확률이 urn 모델(urn model) 또는 생각 실험(thought experiment)과 관련된 참조 확률보다 크거나 또는 작은지를 고려하여 얻어질 수 있습니다. 이슈는, 주어진 문제에 대해, 여러 가지 생각 실험이 적용될 수 있고, 하나를 선택하는 것은 판단의 문제라는 것입니다; 다른 사람들은, 참조 클래스 문제(reference class problem)라고 알려진, 다른 이전 확률을 할당할 수 있습니다. "일출 문제(sunrise problem)"가 그 예제입니다.

Propensity

Main article: Propensity probability

성향 이론가는 특정 유형의 결과를 산출하거나 또는 그러한 결과의 장기간 상대 빈도를 산출하기 위해 물리적 상황의 주어진 유형의 물리적 성향, 성질 또는 경향으로 확률을 생각합니다. 객관적 확률의 이런 종류는 때때로 '우연'이라고 불립니다.

성향, 또는 우연은 상대 빈도가 아니라, 관찰된 안정된 상대 빈도의 소위 말하는 원인입니다. 성향은, 어떤 실험의 종류를 반복하는 것이, 성향이나 우연으로 알려진, 주어진 결과 유형이 지속적인 비율로 왜 생성되는지를 설명하기 위해 호출됩니다. 빈도주의는 이 접근을 취하는 것이 불가능한데, 왜냐하면 상대 빈도는 동전의 단일 던지기에 대해 존재하지 않고, 오직 큰 집합 또는 모음에 대해 존재하기 때문입니다 (위의 테이블에서 "단일 사례 가능(single case possible)"을 참조하십시오). 대조적으로, 성향주의는 장-기간 빈도의 행동을 설명하기 위해 큰 숫자의 법칙(law of large numbers)을 사용할 수 있습니다. 확률의 공리의 결과인, 이 법칙은, 만약 (예를 들어) 동전이 여러 번 반복적으로 던져지면, 그런 방법에서 앞면으로 떨어지는 확률은 각 던지기에서 동일하고, 결과가 확률적으로 독립적이면, 앞면의 상대 빈도는 각 단일 던지기에서 앞면의 확률에 가까워질 것이라고 말합니다. 이 법칙은 안정된 장-기간 빈도가 불변의 단일-사례 확률의 표명이라는 것을 허용합니다. 안정된 상대 빈도의 출현을 설명할 뿐만 아니라, 성향의 아이디어는, 특정 시기에서 특정 원자(atom)의 감쇠(decay)의 확률과 같은, 양자 역학에서의 단일-사례 확률 속성을 이유를 만들기 위한 욕망에 의해 동기 부여됩니다.

성향 이론이 직면한 주요 도전 과제는 성향이 무엇을 의미하는지 정확하게 말하는 것입니다. (그리고 그런 다음, 물론, 정의된 성향이 따라서 요구되는 성질을 가지고 있음을 보이는 것입니다.) 현재, 불행하게도, 성향의 잘-인식된 설명은 이 도전에 부합되도록 가깝게 온 것은 없습니다.

확률의 성향 이론은 찰스 샌더스 퍼스(Charles Sanders Peirce)에 의해 주어졌습니다. 이후의 성향 이론은 철학자 칼 포퍼(Karl Popper)에 의해 제안되었는데, 어쨌든 그는 퍼스의 저술과 단지 약간의 교감을 가졌습니다. 포퍼는 물리적 실험의 결과가 "생성하는 조건"의 특정 집합에 의해 나타난다는 것에 주목했습니다. 실험을 반복할 때, 말처럼, 생성하는 조건의 (다소) 유사한 집합을 갖는 또 다른 실험을 실제로 수행합니다. 생성하는 조건의 집합이 결과 E를 생성하는 성향 p를 갖는다고 말하는 것은, 그들 정확한 조건들이, 만약 무한하게 반복되면, E가 상대 빈도 p로 제한하면서 발생한 것에서 결과 수열을 생성할 것이라는 것을 의미합니다. 포퍼에 대해, 그런 다음, 결정론적 실험은 각 결과에 대해 성향이 0 또는 1을 가질 것인데, 왜냐하면 생성하는 조건은 각 시행에서 같은 결과를 가질 것이기 때문입니다. 달리 말하자면, 비-자명한 성향 (0에서 1까지 다른 성향)은 진정으로 비-결정적인 실험에 대해 오직 존재합니다.

데이비드 밀러(David Miller)와 도날드 길리스(Donald A. Gillies)를 비롯한, 많은 다른 철학자들은 포퍼의 것과 다소 비슷한 성향 이론을 제안해 왔습니다.

다른 성향 이론가 (예를 들어, 로날드 지어)는 성향을 명시적으로 정의하지 않고, 오히려 과학에서 이론적 역할에 의해 정의된 것으로 성향을 생각합니다. 그들은, 예를 들어, 전기 요금(electrical charge)과 같은 물리적 크기는, 더 기본적인 것의 측면에서, 그러나 오직 그들이 무엇을 했는지 (다른 전기 요금을 끌어당긴 것 그리고 쫓아버린 것과 같은)의 측면에서, 명시적으로 정의될 수 없다고 주장했습니다. 비슷한 방식으로, 성향은 물리적 확률이 과학에서 하는 다양한 역할을 무엇이든지 채우는 것입니다.

과학에서 물리적 확률은 무슨 역할을 합니까? 그 속성은 무엇입니까? 우연의 핵심 속성 중 하나는, 알려졌을 때, 합리적인 믿음이 같은 숫자 값을 취하기 위해 제한한다는 것입니다. 데이비드 루이스(David Lewis)는 이것을 철학자들이 대부분 채택한 용어, 원금의 원칙(Principal Principle) (3.3 & 3.5) 이라고 불렀습니다. 예를 들어, 특정 편향된 동전은 그것이 던져질 때마다 앞면으로 떨어지기 위해 성향 0.32를 가진다고 확신한다고 가정해 보십시오. 만약 동전이 앞면으로 떨어지면 $1을 지불하고, 그렇지 않으면 아무것도 주지 않는 도박에 대해, 정확한 가격은 얼마입니까? 원금의 원칙에 따르면, 공정한 가격은 32센트입니다.

Logical, epistemic, and inductive probability

Main article: Probabilistic logic

용어 "확률"은 물리적 무작위성과 아무런 관련이 없는 문맥에서 때때로 사용되는 것으로 널리 알려져 있습니다. 예를 들어, 공룡의 멸종은 아마도 지구에 부딪힌 큰 운석이 원인이라는 주장을 생각해 보십시오. "가설 H는 아마도 참입니다"와 같은 명제는 (현재 이용 가능한) 경험적 증거(empirical evidence) (E로 지칭)가 H를 고도로 지지한다는 것을 의미하는 것으로 해석되어 왔습니다. E에 의한 H의 지지의 이런 정도는 주어진 E에 대한 H의 논리적 확률(logical probability), 또는 주어진 E에 대한 H의 인식론적 확률(epistemic probability), 또는 주어진 E에 대한 H의 귀납적 확률(inductive probability)이라고 불리어져 왔습니다.

이들 해석 사이의 차이는 다소 작고, 대수롭지 않게 보일 수 있습니다. 불일치의 주된 점 중 하나는 확률과 믿음 사이의 관계에 놓여 있습니다. 논리적 확률은 제안들 (또는 문장들) 사이의 (예를 들어, 케인즈(Keynes)의 확률에 관한 논문에서) 객관적이고 논리적인 관계를 생각하고, 따라서 믿음에 어떤 식으로든 의존하지 않는 것입니다. 그것들은 (부분적인) 수반(entailment)의 정도, 또는 논리적인 결과(logical consequence)의 정도이며, 믿음(belief)의 정도는 아닙니다. (그것들은, 그럼에도 불구하고, 아래에 논의된 것처럼, 적절한 믿음의 정도를 규정합니다.) 프랭크 램지(Frank P. Ramsey)는, 다른 한편으로, 그러한 객관적인 논리적 관계의 존재에 대해 회의적이었고 (증거의) 확률은 "부분적 믿음의 논리"라고 주장했습니다. 달리 말해서, 램지는 인식론적 확률은, 단지 합리적 믿음의 정도를 제한하는 논리적 관계라기보다는, 합리적 믿음의 정도이다라고 주장했습니다.

불일치의 또 다른 점은, 지식의 주어진 상태와 관련하여, 증거의 확률의 유일성에 관한 것입니다. 루돌프 카르나프(Rudolf Carnap)는, 예를 들어, 논리적 원칙은, 증거의 임의의 자료에 관련해서, 임의의 명제에 대해 고유한 논리적 확률을 항상 결정한다고 주장했습니다. 램지는, 대조적으로, 믿음의 정도가 (확률의 공리와 같은, 그러나 국한하지는 않는) 어떤 합리적인 제한을 종속하므로 이들 제한은 보통 고유한 값을 결정하지 못한다고 생각했습니다. 합리적인 사람은, 다른 말로, 비록 그들이 모두 같은 정보를 가지고 있을지라도, 그들의 믿음의 정도에서 다소 다를 수 있습니다.

Prediction

Main article: Predictive inference

확률의 대안적인 설명은 예측의 역할을 강조합니다 – 관측 불가능한 매개 변수가 아니라, 과거의 관측에 기초하여 미래의 관측을 예측합니다. 그것의 현대 형태에서, 그것은 베이즈 기질에서 주로 다룹니다. 이것은 20세기 이전의 확률의 주요 기능이었지만, 천체 역학(celestial mechanics)에서와 같은, 오류와 함께 관찰된 물리적 시스템으로 현상을 모델링하는, 매개 변수 접근에 비해 선호되지 않았습니다.

현대적인 예측 접근은 브루노 데 피네티(Bruno de Finetti)에 의해 개척되었는데, 이는 교환가능성(exchangeability)에 대한 중심 아이디어입니다 – 미래의 관측은 과거의 관측처럼 행동해야 합니다. 이 견해는 1974년 데 피네티의 저서의 번역된 영어로 말하는 세계(Anglophone world)의 주목을 끌었고, 이후 시모어 가이서(Seymour Geisser)와 같은 통계학자들에 의해 발표되어 왔습니다.

Axiomatic probability

확률의 수학은 임의의 해석에 독립적인 전적으로 공리적 기초 위에서 개발될 수 있습니다: 자세한 처리에 대해 확률 이론(probability theory) 및 확률 공리(probability axioms)에 관한 기사를 참조하십시오.

See also

• Philosophy of statistics
• Frequency (statistics)
• Negative probability
• Pignistic probability
• Sunrise problem
• Probability amplitude (quantum mechanics)

Further reading

• Cohen, L (1989). An introduction to the philosophy of induction and probability. Oxford New York: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0198750789.
• Eagle, Antony (2011). Philosophy of probability : contemporary readings. Abingdon, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
• Gillies, Donald (2000). Philosophical theories of probability. London New York: Routledge. ISBN 978-0415182768. A comprehensive monograph covering the four principal current interpretations: logical, subjective, frequency, propensity. Also proposes a novel intersubective interpretation.
• Hacking, Ian (2006). The emergence of probability : a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521685573.
• Paul Humphreys, ed. (1994) Patrick Suppes: Scientific Philosopher, Synthese Library, Springer-Verlag.
  • Vol. 1: Probability and Probabilistic Causality.
  • Vol. 2: Philosophy of Physics, Theory Structure and Measurement, and Action Theory.
• Jackson, Frank, and Robert Pargetter (1982) "Physical Probability as a Propensity," Noûs 16(4): 567–583.
• Khrennikov, Andrei (2009). Interpretations of probability (2nd ed.). Berlin New York: Walter de Gruyter. ISBN 978-3110207484. Covers mostly non-Kolmogorov probability models, particularly with respect to quantum physics.
• Lewis, David (1983). Philosophical papers. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0195036466.
• Plato, Jan von (1994). Creating modern probability : its mathematics, physics, and philosophy in historical perspective. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521597357.
• Rowbottom, Darrell (2015). Probability. Cambridge: Polity. ISBN 978-0745652573. A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
• Skyrms, Brian (2000). Choice and chance : an introduction to inductive logic. Australia Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

External links

• Zalta, Edward N. (ed.). "Interpretations of Probability". Stanford Encyclopedia of Philosophy.