Pythagorean means

수학(mathematics)에서, 셋의 고전적인 피타고라스 평균(Pythagorean means)은 산술 평균(arithmetic mean) (AM), 기하 평균(geometric mean) (GM), 및 조화 평균(harmonic mean) (HM)입니다. 이것들 평균(mean)은 기하학과 음악에서 그것들의 중요성 때문에 피타고라스 학파(Pythagoreans)와 이후 세대의 그리스 수학자에 의해 비율로 연구되었습니다.^[1]

Definition

그것들은 다음에 의해 정의됩니다:

{\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}

Properties

각 평균, ${\textstyle \operatorname {M} }$ 은 다음 속성을 가집니다:

일-차 동차성(homogeneity): $\operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})$
교환 아래에서 불변: $\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )$; 임의의 $i$ 와 $j$ 에 대해.
단조성: $a<b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})<\operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$
거듭상등(Idempotence): $\forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x$

단조성과 거듭상등은 함께 집합의 평균이 항상 집합의 극단 사이에 놓임을 의미합니다.

\min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})

조화와 산술 평균은 양의 인수에 대해 서로의 역수 이중입니다.

\operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}

반면에 기하 평규은 자체의 역수 이중입니다:

\operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}

Inequalities among means

이들 평균에 대한 순서화가 있습니다 (만약 $x_{i}$ 의 모두가 양수이면)

\min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max

여기서 상등이 유지되는 것과 $x_{i}$ 가 모두 같은 것은 필요충분 조건입니다.

이것은 산술과 기하 평균의 부등식(inequality of arithmetic and geometric means)의 일반화이고 일반화된 평균(generalized mean)에 대해 부등식의 특수한 경우입니다. 증명은 산술-기하 평균 부등식(arithmetic-geometric mean inequality), $\operatorname {AM} \leq \max$ 과 역수 이중성으로부터 따릅니다 ( $\min$ 과 $\max$ 는 역시 서로 역수 이중입니다.)

피타고라스 평균의 연구는 주요화(majorization) 및 슈어-볼록 함수(Schur-convex functions)의 연구와 밀접하게 관련됩니다. 조화와 기하 평균은 그들 인수의 오목 대칭 함수이고, 따라서 슈어-오목이고, 반면에 산술 평균은 그것의 인수의 선형 함수이므로, 오목과 볼록 둘 다입니다.

History

우리가 피타고라스 평균에 대해 아는 것의 거의 모든 것은 1세기와 2세기에 쓰인 산술 핸드북에서 나왔습니다. 게라사의 니코마코스(Nicomachus of Gerasa)는 그것들은 "모든 고대인, 피타고라스, 플라톤, 및 아리스토텔레스에 의해 인용되었을 것"이라고 말합니다. 그것들의 가장 초기에 알려진 사용은 피타고라스-학파 철학자 타렌툼의 아르키타스(Archytas of Tarentum)의 일부입니다.

"음악에는 세 가지 평균이 있습니다: 하나는 산술적이고, 두 번째는 기하적이고, 세 번째는 상반되는-명제이며, 이것을 조화라고 부릅니다. 평균은, 세 항이 첫 번째가 두 번째를 초과하는 초과가 두 번째가 세 번째를 초과하는 초과를 만족하는 비례에 있을 때, 산술적입니다. 이 비율에서 더 큰 항의 구간이 작지만, 더 작은 항의 구간은 더 큰 것으로 밝혀졌습니다. 평균은 그것들이 첫 번째가 두 번째가 되는 것처럼, 두 번째가 세 번째가 되는 것을 만족하는 것일 때 기하적입니다. 이들 항 중 더 큰 것과 더 작은 것은 그들 사이에 같은 구간을 가집니다. 우리가 조화라고 부르는 상반되는-명제는 그것들이 첫 번째 항이 두 번째를 초과하는 자체의 부분이 무엇이든간에, 중간 항이 세 번째를 초과하는 세 번째의 해당 부분에 의해 만족하는 것일 때의 평균입니다. 이 비율에서 더 큰 항 사이의 구간이 더 크고 더 작은 항 사이의 구간이 더 작다는 것이 밝혀졌습니다." ^[3]

이암블리코스(Iamblichus)에 따르면, 이름 "조화 평균"은 아르시타스(Archytas)와 히파주스(Hippasus)에 의해 만들어졌습니다. 피타고리스 평균은 역시 플라톤(Plato)의 티마이오스(Timaeus)에 나타납니다. 그것들의 초기 사용의 또 다른 증거는 파푸스(Pappus)에 의한 논평입니다.

그것은 [. . . ] 길이에서 정수-비율-가능(commensurable)인 거듭제곱과 비-정수-비율-가능(commensurable)인 거듭제곱을 구별하고, 보다 일반적으로 알려진 무리수 직선을 다른 평균에 따라 나누고, 중간에 있는 직선을 기하학에 할당하고, 이항을 산술에, 아포톰을 조화에 할당한 |테아이테토스(Theaetetus)였으며, 유드머스(Eudemus), 여행자에 의해 언급된 것처럼.^[4]

용어 "평균" (그리스에서 mesotes)은 비율 "analogia"에 대한 그리스어 단어를 연결하는 네오-피타고라스(Neopytagorean) 산술 핸드북에 나타납니다.

References

^ Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics.
^ If AC = a and BC = b. OC = AM of a and b, and radius r = QO = OG.
Using Pythagoras' theorem, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Using Pythagoras' theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM.
Using similar triangles, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.
^ Huffman, Carl (2005). Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge University Press. p. 163. ISBN 1139444077.
^ Huffman, Carl (2014). A History of Pythagoreanism. Cambridge University Press. p. 168. ISBN 1139915983.

External links

Cantrell, David W. "Pythagorean Means". MathWorld.

[1] Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics.

[2] If AC = a and BC = b. OC = AM of a and b, and radius r = QO = OG.
Using Pythagoras' theorem, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Using Pythagoras' theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM.
Using similar triangles, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

[3] Huffman, Carl (2005). Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge University Press. p. 163. ISBN 1139444077.

[4] Huffman, Carl (2014). A History of Pythagoreanism. Cambridge University Press. p. 168. ISBN 1139915983.

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[4]