Pythagorean addition

수학(mathematics)에서, 피타고라스 덧셈(Pythagorean addition)은 실수(real numbers) 위에 다음과 같은 이항 연산(binary operation)입니다:

a\oplus b={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

그 이름은 직각 삼각형(right triangle)의 빗변(hypotenuse)의 길이가 a ⊕ b이라고 말하는 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)를 연상시키며, 여기서 a와 b는 다른 변의 길이입니다.

이 연산은 피합수가 복잡할 때 간단한 표기법과 용어를 제공합니다; 예를 들어, 물리학(physics)에서 에너지-운동량 관계(energy-momentum relation)는 다음이 됩니다:

E=mc^{2}\oplus pc.

Properties

연산 ⊕은 결합적이고 교환적이고, 다음입니다:

{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}=x_{1}\oplus x_{2}\oplus \cdots \oplus x_{n}

.

이것은 실수를 교환적(commutative) 반그룹(semigroup)으로 형성하기에 충분합니다. 어쨌든, ⊕는 다음과 같은 이유로 그룹(group) 연산이 아닙니다.

잠재적으로 항등 원소(identity element)로 작용할 수 있는 유일한 원소는 0인데, 왜냐하면 항등원 e가 e⊕e = e를 만족시키기 때문입니다. 이것은 방정식 ${\sqrt {2}}e=e$ 를 산출하지만, 만약 e가 ${\sqrt {2}}=1$ 를 의미하는 비-영이므로, e는 0만 될 수 있습니다. 불행하게도 0은 결국 항등 원소로 작동하지 않는데, 왜냐하면 0⊕(−1) = 1. 이것은, 어쨌든, 연산 ⊕이 비-음의 실수로 제한되면 0이 항등원으로 작용한다는 것을 나타냅니다. 결과적으로, 비-음의 실수에 작용하는 연산 ⊕은 교환적 모노이드(monoid)를 형성합니다.

Pythagorean addition

Properties

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