Riemann series theorem

Original article: w:Riemann series theorem

수학에서, 19-세기 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름을 따서 지은, 리만 급수 정리(Riemann series theorem)는, 역시 리만 재배열 정리(Riemann rearrangement theorem)라고 알려져 있으며, 만약 실수의 무한 급수(infinite series)가 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이면, 그것의 항은 새로운 급수가 임의적인 실수로 수렴, 또는 발산(diverges)하도록 순열에서 배열될 수 있다고 말합니다. 이것은 실수의 급수가 절대적으로 수렴(absolutely convergent)인 것과 그것이 무조건적으로 수렴(unconditionally convergent)인 것은 필요충분(iff) 조건임을 의미합니다.

예제로서, 급수 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯는 0으로 수렴합니다 (충분히 많은 숫자의 항에 대해, 부분 합은 임의적으로 0에 가까워집니다); 그러나 모든 항을 그것들의 절댓값으로 바꾸면 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯를 제공하며, 합이 무한대가 됩니다. 따라서 원래 급수는 조건적으로 수렴이고, 다른 합: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2으로 수렴하는 급수를 제공하기 위해 재배열될 수 있습니다 (처음 두 개의 양수 항 다음에 첫 번째 음수 항, 다음 두 개의 양수 항 다음에 그 다음 음수 항, 이런 식으로 취합니다). 보다 일반적으로 p 양수 다음에 q 음수가 오는 이 절차를 사용하면 합 ln(p/q)를 제공합니다. 다른 재배열은 다른 유한 합을 제공하거나 임의의 합으로 수렴하지 않습니다.

Definitions

급수 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$는 만약 다음 부분 합의 수열(sequence)이 $\ell$에 수렴함을 만족하는 값 $\ell$가 존재하면 수렴(converges)입니다:

$(S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$.

즉, 임의의 ε > 0에 대해, n ≥ N이면, 다음임을 만족하는 정수 N이 존재합니다:

$\left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \epsilon .$

급수가 만약 급수 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$가 수렴이지만 급수 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$가 발산이면 조건적으로 수렴(converges conditionally)입니다.

순열은 단순히 양의 정수(positive integer)의 집합(set)에서 자체로의 전단사(bijection)입니다. 이것은 만약 $\sigma$가 순열이면, 임의의 양의 정수 $b$에 대해, $\sigma (a)=b$를 만족하는 정확하게 하나의 양의 정수 $a$가 존재함을 의미합니다. 특히, 만약 $x\neq y$이면, $\sigma (x)\neq \sigma (y)$입니다.

Statement of the theorem

$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$가 실수(real number)의 수열이고, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$가 조건적으로 수렴이라고 가정합니다. $M$을 실수로 놓습니다. 그런-다음 다음을 만족하는 순열(permutation) $\sigma$이 존재합니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.$

역시 다음을 만족하는 순열 $\sigma$가 존재합니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .$

그 합은 역시 $-\infty$로 발산하기 위해, 또는 임의의 극한으로 접근에 실패, 유한 또는 무한이도록 재배열될 수 있습니다.

Alternating harmonic series

Changing the sum

교대하는 조화 급수(alternating harmonic series)는 조건적으로 수렴 급수의 고전적 예제입니다: 다음 급수는

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$$ 수렴이고, 반면에 다음 급수는 $$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$$ 발산하는 보통의 조화 급수(harmonic series)입니다. 비록 표준 표시에서 교대하는 조화 급수가 ln(2)로 수렴일지라도, 그것의 항은 임의의 숫자로 수렴하거나, 심지어 발산하도록 배열될 수 있습니다. 그 한 예를 들면 다음과 같다. 보통 순서에서 작성된 급수로 시작하여,

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$

그리고 항을 재배열하여:

$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

여기서 패턴은 다음과 같습니다: 첫 번째 두 항은 1와 −1/2, 그것의 합은 1/2입니다. 그 다음 항은 −1/4입니다. 그 다음 두 항은 1/3과 −1/6, 그것의 합은 1/10입니다. 그 다음 항은 −1/8입니다. 그 다음 두 항은 1/5과 −1/10, 그것의 합은 1/10입니다. 일반적으로, 그 합은 셋의 블럭으로 구성됩니다:

${\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .$

이것은 실제로 교대하는 고화 급수의 재배열입니다: 모든 각 홀수 정수는 양수적으로 한 번 발생하고, 짝수 정수는 음수적으로 각각 한 번씩 발생합니다 (그것들 중 절반은 4의 배수로, 나머지 절반은 두 배 홀수 정수입니다). 다음이기 때문에,

${\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}={\frac {1}{2(2k-1)}},$

이 급수는 사실 다음으로 쓸 수 있습니다:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}$

이것은 보통의 합의 절반입니다.

Getting an arbitrary sum

이전 섹션의 결과를 복구하고 일반화하는 효율적인 방법은 다음과 같은 사실을 사용하는 것입니다:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),$

여기서 γ는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)이고, 여기서 표기법 o(1)은 변수가 무한대로 경향일 때 이 양이 0으로 가는 그러한 방법에서 현재 변수 (여기서 변수는 n)에 의존하는 양을 나타냅니다.

이것은 q 짝수 항의 합이 다음을 만족시킴을 따릅니다:

${1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),$

그리고 차이를 취함으로써, 우리는 p 홀수 항의 합이 다음을 만족시킴을 알 수 있습니다:

${1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).$

둘의 양의 정수 a와 b가 주어지고, 교대하는 조화 급수의 재배열이, 순서대로, 교대하는 조화 급수에서 a 양의 항을 취하고, 그 뒤에 b 음의 항을 취하고, 이 패턴을 무한대까지 반복함으로써 형성된다고 가정합니다 (교대하는 급수 자체는 a = b = 1에 해당하고, 이전 섹션에서 예제는 a = 1, b = 2에 해당합니다):

${1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots$

그런-다음 이 재배열된 급수의 순서 (a+b)n의 부분 합은 p = an 양의 홀수 항과 q = bn 음의 짝수 항을 포함하고, 따라서

$S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2+o(1).$

그것은 이 재배열된 급수의 합은 다음임을 따릅니다:

${1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {a/b}}\right).$

이제 보다 일반적으로, 교대하는 조화 급수의 재배열된 급수가 순서 n의 부분 합에서 양의 항과 음의 항의 개수 사이의 비율 p_n/q_n이 양의 극한 r로 경향인 그러한 방법에서 조직되었다고 가정합니다. 그런-다음, 그러한 재배열의 합은 다음일 것입니다:

$\ln \left(2{\sqrt {r}}\right),$

그리고 이것은 임의의 실수 x가 교대하는 조화 급수의 재배열된 급수의 합으로 얻어질 수 있음을 설명합니다: 그것은 극한 r이 e^2x/ 4와 같아지는 재배열을 형성하기에 충분합니다.

Proof

Existence of a rearrangement that sums to any positive real M

단순화를 위해, 이 증명은 먼저 모든 각 n에 대해 a_n ≠ 0임을 가정합니다. 일반적인 경우는 아래에 주어진 간단한 수정을 요구합니다. 실수 항의 조건적으로 수렴 급수는 무한하게 많은 음의 항과 무한하게 많은 양의 항 둘 다를 가짐을 기억해 내십시오. 먼저, 둘의 양, $a_{n}^{+}$과 $a_{n}^{-}$을 다음에 의해 정의합니다:

$a_{n}^{+}={\frac {a_{n}+|a_{n}|}{2}},\quad a_{n}^{-}={\frac {a_{n}-|a_{n}|}{2}}.$

즉, 급수 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$는 모든 음의 항을 영으로 대체한 모든 a_n 양수를 포함하고, 급수 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$은 모든 양의 항을 영으로 대체한 모든 a_n 음수를 포함합니다. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$이 조건적으로 수렴이기 때문에, 양의 급수와 음의 급수 둘 다는 발산합니다. M을 양의 실수로 놓습니다. 순서에서, 그것들의 합이 M을 초과하도록 단지 충분한 양의 항 $a_{n}^{+}$을 취하십시오. 우리는 p 항을 요구함을 가정합니다 – 그런-다음 다음 명제는 참입니다:

$\sum _{n=1}^{p-1}a_{n}^{+}\leq M<\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}.$

이것은 임의의 M > 0에 대해 가능한데 왜냐하면 $a_{n}^{+}$의 부분 합이 $+\infty$로 경향이기 때문입니다. 영 항들을 버리면 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

$\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})},\quad a_{\sigma (j)}>0,\ \ \sigma (1)<\dots <\sigma (m_{1})=p.$

이제 우리는 결과 합이 M보다 작도록 단지 충분한 음의 항 $a_{n}^{-}$, 말하자면 그것들의 q를 더합니다. 이것은 항상 가능한데 왜냐하면 $a_{n}^{-}$의 부분 합이 $-\infty$로 경향이기 때문입니다. 이제 우리는 다음을 가집니다:

$\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}<M\leq \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q-1}a_{n}^{-}.$

다시, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

$\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})}+a_{\sigma (m_{1}+1)}+\cdots +a_{\sigma (n_{1})},$

이때,

$\sigma (m_{1}+1)<\dots <\sigma (n_{1})=q.$

맵 σ는 단사이고, 1은 (만약 a₁ > 0이면) 1의 이미지로, 또는 (만약 a₁ < 0이면) m₁ + 1의 이미지로 σ의 범위에 속합니다. 이제 n = p + 1부터 시작하여 M을 초과하도록 단지 충분한 양의 항을 더하고, 그런-다음 n = q + 1부터 시작하여 M보다 작아지도록 단지 충분한 음의 항을 더하는 과정을 반복합니다. 단사적 방식으로, 지금까지 선택된 모든 항을 덮어쓰기 위해 σ를 확장하고, a₂가 지금 또는 이전에 선택되어야 함을 관찰하여, 따라서 2는 이 확장의 범위에 속합니다. 그 과정은 무한하게 많은 그러한 "방향의 변경"을 가질 것입니다. 우리는 결국 재배열 Σa_σ(n)을 얻습니다. 첫 번째 방향의 변경 후, Σa_σ(n)의 각 부분 합은 가장 최근 방향의 변경에 나타났었던 항의 많아야 절댓값 $a_{p_{j}}^{+}$ 또는 $|a_{q_{j}}^{-}|$만큼 M과 다릅니다. 그러나 Σa_n은 수렴하므로, n이 무한대로 경향일 때, a_n, $a_{p_{j}}^{+}$, 및 $a_{q_{j}}^{-}$의 각각은 0으로 갑니다. 따라서, Σa_σ(n)의 부분 합은 M으로 경향이므로, 다음이 참입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.$

같은 방법은 M 음수 또는 영으로 수렴을 보이기 위해 사용될 수 있습니다.

우리는 이제 일반적으로 작동하는 재배열 σ의 형식적인 귀납적 정의를 제공할 수 있습니다. 모든 각 정수 k ≥ 0에 대해, 정수의 유한 집합 A_k와 실수 S_k가 정의됩니다. 모든 각 k > 0에 대해, 귀납법은 값 σ(k)를 정의하고, 집합 A_k는 j ≤ k에 대해 값 σ(j)로 구성되고 S_k는 재배열된 급수의 부분 합입니다. 그 정의는 다음과 같습니다:

• k = 0에 대해, 귀납법은 A₀ 빈 것과 S₀ = 0로 시작합니다.
• 모든 각 k ≥ 0에 대해, 두 경우가 있습니다: 만약 S_k ≤ M이면, σ(k+1)는 n이 A_k에 있지 않고 a_n ≥ 0를 만족하는 가장 작은 정수 n ≥ 1입니다; 만약 S_k > M이면, n이 A_k에 있지 않고 a_n < 0를 만족하는 가장 작은 정수 n ≥ 1입니다. 두 경우에서, 우리는 다음을 설정합니다: $$A_{k+1}=A_{k}\cup \{\sigma (k+1)\}\,;\quad S_{k+1}=S_{k}+a_{\sigma (k+1)}.$$

위의 추론을 사용하여, σ는 정수의 순열이고 순열된 급수는 주어진 실수 M으로 수렴한다는 것을 증명할 수 있습니다.

Existence of a rearrangement that diverges to infinity

${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$를 조건적으로 수렴 급수로 놓습니다. 다음은 $\infty$로 경향인 이 급수의 재배열이 존재한다는 증명입니다 (유사한 논증은 $-\infty$가 역시 달성될 수 있음을 보이기 위해 사용될 수 있습니다).

$p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots$를 각 $a_{p_{i}}$가 양수임을 만족하는 인덱스의 수열로 놓고, $n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots$를 각 $a_{n_{i}}$가 음수임을 만족하는 인덱스가 되도록 정의합니다 (다시 $a_{i}$가 결코 0이 아님을 가정합니다). 각 자연수는 수열 $(p_{i})$과 $(n_{i})$의 정확하게 하나에서 나타날 것입니다.

$b_{1}$를 다음을 만족하는 가장 작은 자연수로 놓습니다:

$\sum _{i=1}^{b_{1}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{1}}|+1.$

그러한 값은 존재해야 하는데 왜냐하면 $(a_{p_{i}}),$ $(a_{i})$의 양수 항의 부분수열이 발산하기 때문입니다. 유사하게, $b_{2}$를 다음을 만족하는 가장 작은 자연수로 놓습니다:

$\sum _{i=b_{1}+1}^{b_{2}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{2}}|+1,$

그리고 이런 식으로 계속합니다. 이것은 다음 순열로 이어집니다:

$(\sigma (1),\sigma (2),\sigma (3),\ldots )=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{b_{1}},n_{1},p_{b_{1}+1},p_{b_{1}+2},\ldots ,p_{b_{2}},n_{2},\ldots ).$

그리고 재배열된 급수, ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}}$는 그때에 $\infty$로 발산합니다.

$b_{i}$가 선택된 방법에서, 재배열된 급수의 처음 $b_{1}+1$ 항은 적어도 1이고 이 그룹에서 부분 합은 0보다 작지 않음을 따릅니다. 마찬가지로 다음 $b_{2}-b_{1}+1$ 항의 합은 역시 적어도 1이고 이 그룹에서 부분 합은 역시 0보다 작지 않습니다. 계속하면, 이것은 이 재배열된 합이 실제로 $\infty$로 경향임을 증명하기에 충분합니다.

Existence of a rearrangement that fails to approach any limit, finite or infinite

사실, 만약 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$이 조건적으로 수렴이면, 재별열된 급수의 부분 합이 $\mathbb {R}$의 조밀한 부분집합임을 만족하는 그것의 재배열이 있습니다.

Generalizations

Sierpiński theorem

리만의 정리에서, $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$에서 주어진 값을 얻기 위해 조건적으로 수렴 급수를 재배열하는 데 사용된 순열은 임의적으로 많은 비-고정된 점을 가질 수 있습니다. 즉, 급수의 항의 모든 인덱스가 재배열될 수 있습니다. 우리는 만약 조건적으로 수렴 급수가 임의적으로 선택된 실수로 수렴하거나 (양의 또는 음의) 무한대로 발산하도록 더 작은 집합에서 오직 인덱스를 재배열하는 것이 가능한지 질문할 수 있습니다. 이 질문에 대한 대답은 예이지만 오직 더 작은 값에 그렇습니다: 시에르핀스키는 오직 양의 항을 재배열하면 원래 급수의 합보다 작거나 같은 임의의 규정된 값으로 수렴하는 급수를 얻을 수 있지만, 일반적으로 더 큰 값은 달성될 수 없음을 입증했습니다. 이 질문은 역시 아이디얼(ideals)의 개념을 사용하여 탐구되어 왔습니다: 예를 들어, 빌진스키(Wilczyński)는 비-고정된 인덱스의 집합이 점근적으로 밀도 0의 아이디얼에 속하는 재정렬을 고려하는 것으로 충분함을 입증했습니다 (즉, 점근적으로 밀도 영의 인덱스의 집합을 재정렬하는 것으로 충분합니다).[4] Filipów와 Szuca는 다른 이상에도 이 속성이 있음을 증명했습니다. 필리포프(Filipów)와 슈카(Szuca)는 다른 아이디얼이 역시 이 속성을 가집을 입증했습니다.

Steinitz's theorem

Main article: Lévy–Steinitz theorem

복소수(complex number)의 수렴하는 급수 Σa_n이 주어지면, 여러 경우는 해당 급수의 항을 재별열함으로써 (순열함으로써) 얻어진 모든 급수 Σa_σ(n)에 대해 가능한 합의 집합을 고려할 때 발생할 수 있습니다:

• 급수 Σa_n는 무조건적으로 수렴할 수 있습니다; 그때에, 모든 재배열된 급수는 수렴이고, 같은 합을 가집니다: 재배열된 급수의 합의 집합은 한 점으로 줄어듭니다;
• 급수 Σa_n는 무조건적으로 수렴에 실패할 수 있습니다; 만약 S가 수렴하는 그것들의 재배열된 급수의 합의 집합을 나타내면, 집합 S는 다음 형식의 복소 평면 C에서 직선 L이거나, $$L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,$$ 집합 S는 전체 복소 평면 C입니다.

보다 일반적으로, 유한-차원 실수 벡터 공간(vector space) E에서 벡터의 수렴하는 급수가 주어지면, 수렴하는 재배열된 급수의 합의 집합은 E의 아핀 부분공간(affine subspace)입니다.

See also

• Absolute convergence § Rearrangements and unconditional convergence

References

• Apostol, Tom (1975). Calculus, Volume 1: One-variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra.
• Banaszczyk, Wojciech (1991). "Chapter 3.10 The Lévy–Steinitz theorem". Additive subgroups of topological vector spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1466. Berlin: Springer-Verlag. pp. 93–109. ISBN 3-540-53917-4. MR 1119302.
• Kadets, V. M.; Kadets, M. I. (1991). "Chapter 1.1 The Riemann theorem, Chapter 6 The Steinitz theorem and B-convexity". Rearrangements of series in Banach spaces. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 86 (Translated by Harold H. McFaden from the Russian-language (Tartu) 1988 ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. pp. iv+123. ISBN 0-8218-4546-2. MR 1108619.
• Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). "Chapter 1.1 The Riemann theorem, Chapter 2.1 Steinitz's theorem on the sum range of a series, Chapter 7 The Steinitz theorem and B-convexity". Series in Banach spaces: Conditional and unconditional convergence. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 94. Translated by Andrei Iacob from the Russian-language. Basel: Birkhäuser Verlag. pp. viii+156. ISBN 3-7643-5401-1. MR 1442255.
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.