신발끈 공식(shoelace formula) 또는 신발끈 알고리듬(shoelace algorithm) (역시 가우스의 넓이 공식 및 측량사의 공식(surveyor's formula)으로 알려짐[1])은 그것의 꼭짓점이 평면에서 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에 의해 설명되는 단순 다각형(simple polygon)의 넓이(area)를 결정하는 수학적 알고리듬(algorithm)입니다.[2] 사용자는 해당 좌표를 교차-곱(cross-multiplies)하여 다각형(polygon)을 에워싸는 넓이를 찾고, 둘러싸는 다각형에서 이것을 빼서 다각형 내부의 넓이를 찾습니다. 그것은 신발끈 공식으로 불리는데 왜냐하면 신발끈을 꿰는 것과 같이 다각형을 구성하는 좌표에 대해 일정한 교차-곱하기 때문입니다.[2] 그것은 역시 때때로 신발끈 방법(shoelace method)이라고 불립니다. 그것은 다른 분야 중에서도 측량과 임업에서 응용을 가집니다.[3]
그 넓이 공식은 각 가장자리 AB를 취하고, 원점 O에 꼭짓점을 갖는 삼각형 ABO의 넓이를 계산하여, (평행사변형(parallelogram)의 넓이를 제공하는) 교차-곱을 취하고 2로 나눔으로써 유도됩니다. 우리가 다각형 주위를 감쌀 때, 양과 음의 넓이를 갖는 삼각형이 겹치질 것이고, 원점과 다각형 사이의 넓이는 취소되고 합해서 0이 될 것이지만, 오직 참조 삼각형 내부의 넓이가 남습니다. 이것이 측량자의 공식이라고 불리는 이유인데, 왜냐하면 "측량자"가 원점에 있기 때문입니다; 만약 반-시계-방향으로 가면, 양의 넓이가 왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때 더해지고 음의 넓이가 오른쪽에서 왼쪽으로 갈 때 더합니다.[citation needed]
그 넓이 공식은 역시 자기-중첩하는 다각형에 적용될 수 있는데 왜냐하면 넓이의 의미는 심지어 자기-중첩하는 다각형이 일반적으로 단순(simple)이 아닐지라도 여전히 명확하기 때문입니다.[5] 게다가, 자기-중첩하는 다각형은 여러 "해석"을 가질 수 있지만 신발끈 공식은 다각형의 공식이 해석에 상관없이 같음을 보이기 위해 사용될 수 있습니다.[6]
여기서
xn+1 = x1와 x0 = xn이고,
마찬가지로
yn+1 = y1와 y0 = yn입니다.
만약 점들이 반-시계방향에서 순차적으로 이름이 지정되면, 위의 행렬식(determinant)의 합이 양수이고 절댓값 기호는 생략될 수 있습니다;[1] 만약 그것들이 시계 방향으로 이름이 지정되면, 행렬식의 합이 음수일 것입니다. 이것은 그 공식이 그린의 정리(Green's theorem)의 특별한 경우로 보일 수 있기 때문입니다.
공식의 특별하게 간결한 명제는 외부 대수(exterior algebra)의 관점에서 주어질 수 있습니다. 만약 이 다각형의 연속적인 꼭짓점이면 (데카르트 평면에서 벡터로 여겨짐), 다음입니다:
Proofs
Proof for a triangle
Given the coordinates of a triangle, find its area .
그림을 참조하여, 를 그것의 꼭짓점이 좌표 , 및 에 의해 주어지는 삼각형의 넓이로 놓습니다. 삼각형 주위로 최소 넓이 직사각형을 그리므로 그것의 변은 또는 축에 평행합니다. 삼각형의 적어도 하나의 꼭짓점이 삼각형의 구석 위에 있을 것입니다. 그림에서, 삼각형을 둘러싸는 셋의 넓이는 , 및 입니다. 분명하게 는 직사각형의 넓이 (그것을 로 부름) 빼기 다른 셋의 삼각형의 넓이와 같습니다:
그림을 살펴보면 넓이가 다음에 의해 주어진다는 것을 알 수 있습니다:
항을 모우고 다시-배열하면 다음을 산출합니다:
이것은 다음 행렬식으로 쓸 수 있습니다:
만약 좌표가 시계 순서로 쓰이면, 행렬식의 값은 일 것입니다.
또 다른 방법으로 다시-정렬하면
이것은 신발끈 공식의 형식입니다. 이 공식은 임의의 다각형의 넓이를 찾는 것으로 확장될 수 있는데 왜냐하면 단순 다각형은 삼각형으로 나뉠 수 있기 때문입니다.
Given the coordinates of a quadrilateral, find its area .
Proof for a quadrilateral and general polygon
사변형의 넓이를 찾는 것은 다각형을 삼각형으로 나눔으로써 신발끈 공식이 임의의 다각형으로 일반화되는 방법을 시연합니다. 그것의 좌표가 반-시계 순서로 이름 붙여진 사변형의 그림을 생각해 보십시오. 사변형은 넓이 와 를 갖는 두 삼각형으로 나뉩니다. 각 삼각형에 대한 삼각형 공식을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다:
삼각형 둘 다는 반-시계 방향으로 추적되었으므로, 넓이 둘 다는 양수이고 우리는 두 넓이를 더함으로써 사변형의 넓이를 얻습니다. 의 마지막 양의 항과 마지막 음의 항은 의 첫 번째 양의 항과 첫 번째 음의 항과 취소되고 다음을 제공합니다:
Examples
사용자는 데카르트 평면에서 다각형의 점들을 알아야 합니다. 예를 들어, 삼각형을 좌표 {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}를 갖도록 취하십시오. 첫 번째 x-좌표를 취하고 그것을 두 번째 y-값과 곱하고, 그런-다음 두 번째 x-좌표를 취하고 그것을 세 번째 y-값과 곱하고, 모든 원했던 점에 대해 행해질 때까지 여러 번 반복하십시오. 이것은 다음 공식에 의해 각각의 좌표를 나타내는 xi와 yi에 대해 표현될 수 있습니다:[9]
이 공식은 단지 경우 n = 3에 대해 위에 주어진 공식의 확장입니다. 그것을 사용하여, 우리는 삼각형의 넓이가 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16의 절댓값(absolute value)의 절반, 즉 3과 같다는 것을 알 수 있습니다. 변수의 숫자는 다각형(polygon)의 변의 숫자에 따라 달라집니다. 예를 들어, 오각형(pentagon)은 x5와 y5까지 정의될 것입니다:
점 (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5) 및 (5, 6)에 의해 정의된 다각형을 생각해 보십시오, 이것은 그림에 묘사되어 있습니다.
Figure of this example
이 다각형의 넓이는 다음입니다:
Etymology
이 공식이 신발끈 공식이라고 불리는 이유는 그것을 평가하기 위해 사용되는 공통적인 방법이기 때문입니다. 이 방법은 행렬(matrices)을 사용합니다. 예제로서, 꼭짓점 (2, 4), (3, −8), 및 (1, 2)을 갖는 삼각형을 선택합니다. 그런-다음 삼각형을 "주위를 걷고" 시작점으로 끝남으로써 다음 행렬을 구성합니다.[10]
먼저, (아래 그림과 같이) 대각선 아래쪽으로 오른쪽 슬래시를 그리십시오.
그리고 각 슬래시에 의해 연결된 두 숫자를 곱하고, 그런-다음 모든 곱을 더하십시오: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. 대각선 아래쪽으로 왼쪽 슬래시로 같은 작업을 수행하십시오 (아래에 아래방향 슬래시로 표시됨):
(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. 그런-다음 이들 두 숫자의 차이를 취하십시오: |(−6) − (8)| = 14. 이것을 반으로 나누면 삼각형의 넓이: 7을 제공합니다. 이것과 같은 숫자를 구성하면 공식을 더 쉽게 기억하고 평가할 수 있습니다. 모든 슬래시가 그려지면, 행렬은 끈이 다 묶인 신발과 느슨하게 닮아, 알고리듬의 이름을 불러일으킵니다.