Heron's formula

기하학(geometry)에서, 헤론의 공식 (Heron's formula, 때때로 Hero's formula로 불려짐)은, 알렉산드리아의 히이로(Hero of Alexandria)의 이름을 따서 지어졌으며,^[1] 모든 세 변의 길이가 알려져 있을 때 삼각형(triangle)의 넓이(area)를 제공합니다. 다른 삼각형 넓이 공식과 달리, 먼저 삼각형에서 각도 또는 다른 거리를 계산할 필요가 없습니다.

Formulation

헤론의 공식은 그것의 변이 길이 $a$ , $b$ , and $c$ 를 가지는 삼각형(triangle)의 넓이(area)는 다음임을 말합니다:

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},

여기서 $s$ 는 삼각형의 반-둘레(semi-perimeter); 즉, 다음입니다:

s={\frac {a+b+c}{2}}.

^[2]

헤론의 공식은 역시 다음으로 쓸 수 있습니다:

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.

Example

$△ ABC$ 를 변 $a = 4$ , $b = 13$ 와 $c = 15$ 를 갖는 삼각형으로 놓습니다. 이 삼각형의 반-둘레는 $s = 1 / 2 (a + b + c) = 1 / 2 (4 + 13 + 15) = 16$ 이고, 넓이는 다음입니다:

{\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}

이 예제에서, 변 길이와 넓이는 정수(integer)이며, 그것을 헤론 삼각형(Heronian triangle)으로 만듭니다. 어쨌든, 헤론의 공식은 이들 숫자 중 하나 또는 모두가 정수가 아닌 경우에도 똑같이 잘 작동합니다.

History

그 공식은 안렉산드리아의 헤론 (또는 히이로)(Heron (or Hero) of Alexandria)로 공인되고, 증명은 약 CE 60년에 쓰인, 그의 책, Metrica에서 찾아질 수 있습니다. 아르키메데스(Archimedes)는 2세기 전에 그 공식을 알고 있었다고 제안되어 왔고,^[3] Metrica는 고대 세계에서 사용할 수 있는 수학적 지식의 모음이기 때문에, 그 공식이 해당 연구에서 주어진 참조보다 이전에 존재했을 가능성이 있습니다.^[4]

헤론의 것과 동등한 공식, 즉, 다음은

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}

그리스와 독립적으로 중국인에 의해 발견되었습니다.^{[citation needed]} 그것은 Mathematical Treatise in Nine Sections (진규소(Qin Jiushao), 1247)에 게재되었습니다.^[5]

Proofs

헤론의 원래 증명은 순환 사변형(cyclic quadrilateral)을 사용해서 만들었습니다.^{[citation needed]} 다른 논증은 아래에서 처럼 삼각법(trigonometry)을 사용, 삼각형의 내중심(incenter)과 외-원(excircle)을 사용,^[6] 또는 드 가의 정리(de Gua's theorem) (예각 삼각형의 특별한 경우)를 사용합니다.^[7]

Trigonometric proof using the law of cosines

대수(algebra)를 사용하고 헤론에 의해 (그의 저서 Metrica에서) 제공된 것과 꽤 다른 현대적인 증명은 다음과 같습니다.^[8] $a$ , $b$ , $c$ 를 삼각형의 변이고 놓고 $α$ , $β$ , $γ$ 를 그것들 변의 반대편 각도(angle)로 놓습니다. 코사인의 법칙(law of cosines)을 적용하면 우리는 다음을 얻습니다:

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

이 증명으로부터, 우리는 다음이라는 대수적 명제를 얻습니다:

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.

밑변 $a$ 에 대한 삼각형의 고도(altitude)는 길이 $b sin γ$ 를 가지고, 다음을 따릅니다:

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}

두 제곱의 차이(difference of two squares) 인수분해는 두 다른 단계에서 사용되었습니다.

Algebraic proof using the Pythagorean theorem

다음 증명은 라이파이젠(Raifaizen)에 의해 제시된 것과 매우 유사합니다.^[9] 피타고라스 정리에 의해, 우리는 오른쪽 그림에 따라 $b 2 = h 2 + d 2$ 및 $a 2 = h 2 + (c - d) 2$ 를 가집니다. 이것들을 빼면 $a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd$ 를 산출합니다. 이 방정식은 삼각형의 변의 관점에서 $d$ 를 표현하는 것을 허용합니다:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

삼각형의 높이에 대해, 우리는 $h 2 = b 2 - d 2$ 임을 가집니다. $d$ 를 위에서 주어진 공식에 대체하고 제곱의 차이(difference of squares) 항등식을 적용하면 우리는 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}

우리는 이제 이 결과를 그것의 높이로부터 삼각형의 넓이를 계산하는 공식에 적용합니다:

{\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}

Trigonometric proof using the law of cotangents

Geometrical significance of $s - a$ , $s - b$ , and $s - c$ . See the Law of cotangents for the reasoning behind this.

코탄젠트의 법칙(Law of cotangents) 증명의 첫 번째 부분으로부터,^[10] 우리는 삼각형의 넓이가 다음과 $A = rs$ 둘 다를 가집니다:

{\begin{aligned}A&=r{\big (}(s-a)+(s-b)+(s-c){\big )}=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\\end{aligned}}

그러나, 반-각의 합이 $π$ /2이기 때문에, 세-쌍 코탄젠트 항등식(triple cotangent identity)이 적용되므로, 이것들의 첫 번째는 다음입니다:

{\begin{aligned}A&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\\\end{aligned}}

둘을 결합하면, 우리는 다음을 얻습니다:

A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)

이것으로부터 그 결과가 따릅니다.

Numerical stability

위에 주어진 헤론의 공식은 부동 점 산술을 사용할 때 매우 작은 각도를 갖는 삼각형에 대해 수치적으로 불안정(numerically unstable)입니다. 안정적인 대안은 $a \geq b \geq c$ 가 되도록 변의 길이를 배열하고 계산하는 것입니다:^[11]^[12]

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.

위의 공식에서 괄호는 평가에서 수치적 불안정성을 방지하기 위해 요구됩니다.

Other area formulae resembling Heron's formula

세 가지 다른 넓이 공식은 헤론의 공식과 같은 구조를 가지지만 다른 변수의 관점에서 표현됩니다. 먼저, 변 $a$ , $b$ , 및 $c$ 로부터 중앙선을 각각 $m a$ , $m b$ , 및 $m c$ 로 표시하고 그것들의 반-합 $1 / 2 (m a + m b + m c)$ 을 $σ$ 으로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:^[13]

A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

다음으로, 변 $a$ , $b$ , 및 $c$ 로부터 고도를 각각 $h a$ , $h b$ , 및 $h c$ 로 표시하고, 고도의 역수의 반-합을 $H = 1 / 2 (h -1 a + h -1 b + h -1 c)$ 로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:^[14]

A^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

마지막으로, 각도의 사인의 반-합을 $S = 1 / 2 (sin α + sin β + sin γ)$ 로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:^[15]

A=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}

여기서 $D$ 는 둘레원의 지름입니다: $D = a / sin α = b / sin β = c / sin γ$ .

Generalizations

헤론의 공식은 순환 사변형(cyclic quadrilateral)의 넓이에 대해 브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식은 둘 다 사변형(quadrilateral)의 넓이에 대한 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 브라마굽타의 공식 또는 브레치나이더의 공식에서 사각형의 변 중 하나를 영으로 설정함으로써 얻어질 수 있습니다.

헤론의 공식은 역시 그것의 변을 오직 기반으로 사다리꼴 또는 부등변 사변형의 넓이에 대한 공식(formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 더 작은 평행 변을 영으로 설정함으로써 얻습니다.

주어진 세 꼭짓점 사이의 거리(distance)의 제곱의 관점에서 케일리–멩거 행렬식(Cayley–Menger determinant)과 함께 헤론의 공식을 표현하면,

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}

이것은 삼-심플렉스(three-simplex)의 부피(volume)에 대한 타르탈리아의 공식(Tartaglia's formula)과 유사성을 묘사합니다.

원에 내접시키는 오각형과 육각형에 대한 헤론 공식의 또 다른 일반화는 데이비드 피터 로빈스(David P. Robbins)에 의해 발견되었습니다.^[16]

Heron-type formula for the volume of a tetrahedron

만약 $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ 가 사면체(tetrahedron)의 가장자리의 길이이면 (처음 셋이 삼각형을 형성합니다; $u$ 가 $U$ 의 반대편에 있고 그런 식입니다), 다음입니다:^[17]

{\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}

여기서

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

References

^ "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" (in Spanish). Retrieved 30 June 2012.
^ Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?". Amer. Math. Monthly. 107: 402–415. doi:10.2307/2695295.
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^ 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本).
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^ Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula". The Mathematical Intelligencer. doi:10.1007/s00283-020-09996-8. ISSN 0343-6993.
^ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. pp. 7–8.
^ Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44 (1): 27–28.
^ The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.
^ Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3.
^ William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).
^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
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External links

[1] "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" (in Spanish). Retrieved 30 June 2012.

[2] Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?". Amer. Math. Monthly. 107: 402–415. doi:10.2307/2695295.

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[4] Weisstein, Eric W. "Heron's Formula". MathWorld.

[5] 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本).

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[8] Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. pp. 7–8.

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[10] The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.

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[12] William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).

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[16] D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.

[17] W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16–17.

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