Singular point of an algebraic variety

대수적 기하학(algebraic geometry)의 수학적(mathematical) 분야에서, 대수 다양체(algebraic variety) $V$ 의 특이점은 이 점에서 다양체에서 접 공간(tangent space)이 정규적으로 정의되지 않을 수 있다는 기하학적 의미에서 '특별한' (따라서, 특이인) 점 $P$ 입니다. 실수에 걸쳐 정의된 다양체의 경우에서, 이 개념은 지역적 비-평탄(local non-flatness)의 개념을 일반화합니다. 특이가 아닌 대수적 다양체의 한 점은 정규적(regular)이라고 말합니다. 특이점을 가지지 않는 대수적 다양체는 비-특이(non-singular) 또는 매끄러운(smooth) 것이라고 말합니다.

Definition

다음 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의된 평면 곡선은,

F(x,y)=0

,

여기서 $F$ 는 매끄러운 함수(smooth function)이며, 만약 $F$ 의 테일러 급수(Taylor series)가 이 점에서 차수(order) 적어도 $2$ 를 가지면 한 점에서 특이라고 말합니다.

이것에 대한 이유는, 미분 미적분(differential calculus)에서, 그러한 곡선의 점 $(x 0, y 0)$ 에서 접선은 다음 방정식에 의해 정의됩니다:

(x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,

그것의 왼쪽 변은 테일러 전개의 차수 일의 항입니다. 따라서, 만약 이 항이 영이면, 그 접선은 표준 방법에서 정의되지 않을 수 있는데, 왜냐하면 그것이 존재하지 않거나 특별한 정의가 제공되어야 하기 때문입니다.

일반적으로 초표면(hypersurface)에 대해

F(x,y,z,\ldots )=0

특이 점은 모든 부분 도함수(partial derivative)가 동시에 사라지는 점입니다. 일반 대수적 다양체(algebraic variety) $V$ 는 여러 다항식(polynomial)의 공통 영으로 정의되며, $V$ 의 점 $P$ 가 특이점이 되는 조건은 다항식의 일차 부분 도함수의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이 다양체의 다른 점에서 랭크보다 더 낮은 $P$ 에서 랭크(rank)를 가진다는 것입니다.

특이가 아닌 $V$ 의 점은 비-특이(non-singular) 또는 정규(regular)라고 불립니다. 그것은 비-특이 점이 다양체에서 열린(open) 및 조밀(dense) 둘 다인 집합을 형성한다는 의미에서 거의 모든 점이 비-특이라는 것은 항상 참입니다 (자르스키 토폴로지(Zariski topology)에 대해, 마찬가지로 보통의 토폴로지에 대해, 복소수(complex number)에 걸쳐 정의된 다양체의 경우에서).^[1]

실수 다양에의 경우 (즉, 실수 계수를 갖는 다항식에 의해 정의된 다양체의 실수 좌표를 갖는 점의 집합)에서, 다양체는 모든 각 정규 점 근처에서 매니폴드(manifold)입니다. 그러나 실수 다양체는 매니폴드일 수 있고 특이 점을 가질 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 방정식 $y 3 + 2 x 2 y - x 4 = 0$ 은 실수 해석적 매니폴드(analytic manifold)를 정의하지만 원점에 특이점을 가집니다.^[2] 이것은 곡선이 원점에서 실수 가지를 자르는 둘의 복소 켤레(complex conjugate) 가지(branch)를 가진다고 말함으로써 설명될 수 있습니다.

Singular points of smooth mappings

특이점의 개념은 순수하게 지역적 속성이므로, 위의 정의는 더 넓은 클래스의 매끄러운(smooth) 매핑 (모든 도함수가 존재하는 $M$ 에서 $R n$ 으로의 함수)을 덮기 위해 확장될 수 있습니다. 이들 특이점의 해석은 매핑의 제트(jets)를 고려함으로써 대수적 다양체 경우로 축소될 수 있습니다. $k$ 번째 제트는 차수 $k$ 에서 잘린 매핑이고 상수 항(constant term)을 삭제하는 테일러 급수(Taylor series)입니다.

Nodes

고전 대수적 기하학에서, 특정 특수 특이점은 역시 노드(nodes)라고 불렸습니다. 노드는 헤세 행렬(Hessian matrix)이 비특이점인 특이점입니다; 이것은 특이점이 중복도 이를 가지고 접하는 원뿔이 그것의 꼭짓점 외부에서 특이점이 아님을 의미합니다.

References

^ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
^ Milnor, John (1969). Singular Points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies. Vol. 61. Princeton University Press. pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8.

[1] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Milnor, John (1969). Singular Points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies. Vol. 61. Princeton University Press. pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8.

[1]

[2]

Definition

Singular points of smooth mappings

Nodes

See also

References