Power series

수학(mathematics)에서, (하나의 변수에서) 거듭제곱 급수(power series)는 다음 형식의 무한 급수(infinite series)입니다:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots

여기서 a_n은 n번째 항의 계수를 나타내고 c는 상수입니다. a_n은 x에 독립이고 n의 함수 (예를 들어, $a_{n}={\frac {1}{n!}}$ )로 표현될 수 있습니다. 거듭제곱 급수는 해석학에서 유용한데 왜냐하면 그들은 무한하게 미분-가능 함수(function)의 테일러 급수(Taylor series)로 발생하기 때문입니다. 사실, 보렐의 정리(Borel's theorem)는 모든 각 거듭제곱 급수가 어떤 매끄러운 함수의 테일러 급수임을 의미합니다.

많은 상황에서 (급수의 중심) c는, 예를 들어 매클로린 급수(Maclaurin series)를 고려할 때, 영과 같습니다. 그러한 경우에서, 거듭제곱 급수는 더 단순한 형식을 가집니다:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots

이들 거듭제곱 급수는 주로 해석학(analysis)에서 발생하지만, 생성 함수(generating function) (형식적 거듭제곱 급수(formal power series)의 한 종류)로 조합론(combinatorics)에서 및 (Z-변환(Z-transform)의 이름 아래에서) 전기 공학에서 역시 발생합니다. 실수(real number)에 대해 친숙한 십진 표기법(decimal notation)은, 정수 계수를 갖지만, 1⁄10에 고정된 인수 x를 갖는, 거듭제곱 급수의 예제로 역시 보일 수 있습니다. 숫자 이론(number theory)에서, p-진수 숫자(p-adic number)의 개념은 거듭제곱 급수의 그것과 역시 밀접하게 관련됩니다.

Examples

임의의 다항식(polynomial)은, 거듭제곱 급수는 정의에 의해 무한하게 많은 항을 가지기 때문에 비록 계수의 유한하게 많은 것을 제외한 모두가 영일지라도, 임의의 중심 c 주위의 거듭제곱 급수로 쉽게 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 다항식 ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ 은

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,

으로 중심 ${\textstyle c=0}$ 주위에

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,

으로 중심 ${\textstyle c=1}$ 주위에 또는 사실 임의의 다른 중심 c 주위에 거듭제곱 급수로 쓸 수 있습니다.^[1] 우리는 비록 거듭제곱 급수가 다항식이 아닐지라도, "무한 차수의 다항식"과 같은 것으로 거듭제곱 급수를 볼 수 있습니다.

${\textstyle |x|<1}$ 에 대해 유효한, 기하 급수(geometric series) 공식

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,

은 거듭제곱 급수의 가장 중요한 예제 중의 하나입니다. 마찬가지로 지수 함수 공식

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

및 모든 실수 x에 대해 유효한 사인 공식

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

도 중요한 예제들입니다.

이들 거듭제곱 급수는 역시 테일러 급수(Taylor series)의 예제입니다.

On the set of exponents

음의 거듭제곱은 거듭제곱 급수에서 허용되지 않습니다; 예를 들어, (비록 그것이 로랑 급수(Laurent series)일지라도) ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ 은 거듭제곱 급수로 고려되지 않습니다. 비슷하게, ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ 와 같은 분수적 거듭제곱은 허용되지 않습니다 (그러나 퓌죄 급수(Puiseux series)를 참조하십시오). 계수 ${\textstyle a_{n}}$ 은 ${\textstyle x}$ 에 의존하는 것을 허용하지 않으며, 따라서 예를 들어:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,

은 거듭제곱 급수가 아닙니다.

Radius of convergence

거듭제곱 급수는 변수 x의 일부 값에 대해 수렴일 것이고 다른 것에 대해 발산할 수 있습니다. (x − c)의 거듭제곱에서 모든 거듭제곱 급수 f(x)는 x = c에 수렴일 것입니다. (올바른 값 f(c) = a₀은 표현 0⁰을 1과 같다고 해석하는 것을 요구합니다.) 만약 c가 오직 수렴하는 점이 아니면, 급수가 |x − c| < r일 때마다 수렴하고 |x − c| > r일 때마다 발산하는 것을 만족하는 0 < r ≤ ∞를 갖는 숫자 r이 항상 있습니다. 숫자 r은 거듭제곱 급수의 수렴의 반지름(radius of convergence)으로 불립니다; 일반적으로 그것은 다음처럼 제공됩니다:

r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}

또는, 동등하게,

r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}

(이것이 코시–아다마르 정리(Cauchy–Hadamard theorem)입니다; 표기법의 설명에 대해 극한 상부 및 극한 하부(limit superior and limit inferior)를 참조하십시오). 다음 관계

r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|

는, 만약 이 극한이 존재한다면, 역시 만족시킵니다.

급수는 |x − c| < r에 대해 절대적으로 수렴(converges absolutely)이고 {x : |x − c| < r}의 모든 각 컴팩트(compact) 부분-집합(subset) 위에 균등하게 수렴(converges uniformly)입니다. 즉, 급수는 수렴의 디스크의 내부에서 절대적 및 컴팩트하게 수렴(compactly convergent)입니다.

|x − c| = r에 대해, 우리는 급수가 수렴하는지 또는 발산하는지에 관한 임의의 일반적인 명제를 절대 만들 수 없습니다. 어쨌든, 실수 변수의 경우에 대해, 아벨의 정리(Abel's theorem)는, 급수의 합은 만약 급수가 x에서 수렴이면 x에서 연속이라고 말합니다. 복소 변수의 경우에서, 우리는 c에서 시작하여 x에서 끝나는 선분을 따라 연속성을 오직 주장할 수 있습니다.

Operations on power series

Addition and subtraction

두 함수 f와 g가 같은 중심 c를 주위로 거듭제곱 급수로 분해될 때, 함수의 합 또는 차이의 거듭제곱 급수는 항별 덧셈과 뺄셈에 의해 얻어질 수 있습니다. 즉, 만약 다음이면,

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

and

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

다음입니다:

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.

만약 두 거듭제곱 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 및 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ 이 같은 수렴의 반지름을 가지면, ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ 은 역시 이 수렴의 반지름을 가진다는 것은 참이 아닙니다. 만약 ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ 및 ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ >이면, 급수 둘 다는 1의 같은 수렴의 반지름을 가지지만, 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ 은 3의 수렴의 반지름을 가집니다.

Multiplication and division

$f(x)$ 와 $g(x)$ 에 대해 같은 정의와 함께, 함수의 곱 및 몫의 거듭제곱 급수는 다음처럼 얻어질 수 있습니다:

{\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}

수열 $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ 은 수열 $a_{n}$ 및 $b_{n}$ 의 합성곱(convolution)으로 알려져 있습니다.

나눗셈에 대해, 만약 우리가 다음에 의해 수열 $d_{n}$ 을 정의하면:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

다음이고

f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)

및 우리는 계수를 비교함으로써 항 $d_{n}$ 에 대해 재귀적으로 풀 수 있습니다.

해당하는 방정식을 풀면 $f(x)$ 및 $g(x)$ 의 계수의 특정 행렬의 행렬식(determinant)에 기초한 공식을 산출합니다:

d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}

d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}\cdot \det {\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\ldots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\ldots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\ldots &b_{0}\end{vmatrix}}

Differentiation and integration

한번 함수 $f(x)$ 가 위에서 처럼 거듭제곱 급수로 주어지면, 그것은 수렴의 도메인의 내부(interior)에서 미분-가능(differentiable)입니다. 그것은, 개별적으로 모든 각 항을 처리함으로써, 꽤 쉽게 미분화(differentiated)되고 적분화(integrated)될 수 있습니다.

{\begin{aligned}f^{\prime }(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}

이들 급수의 둘 다는 원래 급수처럼 같은 수렴의 반지름을 가집니다.

Analytic functions

R 또는 C의 일부 열린 부분-집합(open subset) U에 정의된 함수 f는, 만약 그것이 수렴하는 거듭제곱 급수에 의해 지역적으로 주어지면, 해석적(analytic)으로 불립니다. 이것은, 모든 각 a ∈ U가, 모든 각 a ∈ V가 f(x)로 수렴하는 중심 a를 갖는 거듭제곱 급수가 존재함을 만족하는 열린 이웃(neighborhood) V ⊆ U를 가짐을 의미합니다.

수렴의 양의 반지름을 갖는 모든 각 거듭제곱 급수는 그의 수렴의 영역 내부(interior)에서 해석적입니다. 모든 정칙 함수(holomorphic function)는 복소수-해석적입니다. 해석적 함수의 합과 곱은 해석적이고, 분모가 비-영인 한 몫도 마찬가지로 해석적입니다.

만약 함수가 해석적이면, 그것은 무한하게 열린 미분-가능이지만, 실수 경우에서 역은 일반적으로 참이 아닙니다. 해석적 함수에 대해, 계수 a_n은 다음으로 계산될 수 있습니다:

a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}

여기서 $f^{(n)}(c)$ 는 c에서 f의 n번째 도함수를 나타내고, $f^{(0)}(c)=f(c)$ 입니다. 이것은 모든 각 해석적 함수가 그의 테일러 급수(Taylor series)에 의해 지역적으로 표현될 수 있음을 의미합니다.

해석적 함수의 전역 형식은 다음 의미에서 그의 지역적 동작에 의해 완전하게 결정됩니다: 만약 f와 g가 같은 연결된(connected) 열린 집합 U에 정의된 두 해석적 함수이면, 및 만약 모든 n ≥ 0에 대해 f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c)를 만족하는 원소 c∈U가 존재하면, 모든 x ∈ U에 대해 f(x) = g(x)입니다.

만약 수렴의 반지름 r을 갖는 거듭제곱 급수가 주어지면, 우리는 급수, 즉, { x : |x − c| < r }보다 더 큰 집합 위에 정의되고 이 집합 위에 주어진 거듭제곱에 부합되는 해석적 함수 f의 해석적 연속(analytic continuation)을 고려할 수 있습니다. 숫자 r은 다음 의미에서 최대입니다: 급수의 해석적 연속은 x에서 정의될 수 없는 것을 만족하는 |x − c| = r을 갖는 복소수(complex number) x가 항상 존재합니다.

해석적 함수의 역함수(inverse function)의 거듭제곱 급수 전개는 라그랑주 역 정리(Lagrange inversion theorem)를 사용하여 결정될 수 있습니다.

Behavior near the boundary

양의 수렴의 반지름을 갖는 거듭제곱 급수의 합은 수렴의 디스크의 내부에서 모든 각 점에서 해석적 함수입니다. 어쨌든, 다른 동작은 해당 디스크의 경계 위의 점에서 발생할 수 있습니다. 예를 들어:

합이 해석적 함수로 확장되는 동안 발산: $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ 은 $1$ 과 같은 수렴의 반지름을 가지고 $|z|=1$ 의 모든 각 점에서 발산입니다. 그럼에도 불구하고, $|z|<1$ 에서 합은 ${\frac {1}{1-z}}$ 이며, 이것은 $z=1$ 를 제외한 평면의 모든 각 점에서 해석적입니다.
어떤 점에서 수렴, 다른 점에서 발산합니다.: $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {z^{n}}{n}}$ 는 수렴의 반지름 $1$ 을 가집니다. 그것은 $z=1$ 에 대해 수렴하지만, 그것은 $z=-1$ 에 대해 발산합니다.
경계의 모든 각 점에서 절대 수렴: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$ 은 수렴의 반지름 $1$ 을 가지지만, 그것은 초-조화 수렴 급수(hyper-harmonic convergent series) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 로 적용된 바이어슈트라스 M-테스트(Weierstrass M-test)에 기인한 $|z|=1$ 의 모든 각 점에서 절대적으로, 및 균등하게 수렴입니다.
수렴의 디스크의 클로저 위에 수렴이지만 연속 합은 아닙니다: 시에르핀스키(Sierpiński)는 수렴의 반지름 $1$ 을 갖는 거듭제곱 급수의 예제를 제공하며,^[2] $|z|=1$ 을 갖는 모든 점에서 수렴이지만, 그 합은 무경계 함수이고, 특히 불연속입니다. 경계 점에서 한-쪽 연속성에 대해 충분 조건은 아벨의 정리(Abel's theorem)에 의해 제공됩니다.

Formal power series

추상 대수학(abstract algebra)에서, 우리는 실수 및 복소수의 필드(field)에 제한되는 것없이 및 수렴에 대해 말할 필요없이 거듭제곱 급수의 본질을 포착하려고 시도합니다. 이것은 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)의 개념, 대수 조합론(algebraic combinatorics)에서 큰 유틸리티의 개념으로 이어집니다.

Power series in several variables

이론의 확장은 다변수 미적분학(multivariable calculus)의 목적에 대해 필요합니다. 거듭제곱 급수(power series)는 여기서 다음 형식의 무한 급수로 정의됩니다:

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},

여기서 j = (j₁, …, j_n)는 자연수의 벡터이고, 계수 a_{(j₁, …, j_n)}는 보통 실수 또는 복소수이고, 중심 c = (c₁, …, c_n) 및 인수 x = (x₁, …, x_n)는 보통 실수 또는 복소수 벡터입니다. 기호 $\Pi$ 는, 곱셈을 나타내는, 곱 기호(product symbol)입니다. 보다 편리한 다중-인덱스(multi-index) 표기법에서, 이것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.

여기서 $\mathbb {N}$ 는 자연수(natural number)의 집합이고, 그래서 $\mathbb {N} ^{n}$ 는 자연수의 순서화 n-튜플(tuple)의 집합입니다.

그러한 급수의 이론은 수렴의 보다 복잡한 영역을 갖는, 단일-변수 급수보다 더 까다롭습니다. 예를 들어, 거듭제곱 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}$ 은 두 쌍곡선 사이의 집합 $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ 에서 절대적으로 수렴입니다. ( $(x_{1},x_{2})$ 이 위의 영역 안에 놓여 있는, 점 $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ 의 집합이 볼록 집합이라는 의미에서, 이것은 로그-볼록 집합의 예제입니다. 보다 일반적으로, 우리는 c = 0일 때, 절대 수렴의 영역의 내부는 이 의미에서 항상 로그-볼록 집합임을 보일 수 있습니다.) 다른 한편으로, 수렴의 이 영역의 내부에서, 우리는, 마치 보통의 거듭제곱 급수와 마찬가지로, 급수 기호 아래에서 미분되고 적분할 수 있을 것입니다.

Order of a power series

α를 거듭제곱 급수 f(x₁, x₂, …, x_n)에 대해 다중-인덱스로 놓습니다. 거듭제곱 급수 f의 차수(order)는, $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}$ , 또는 만약 f ≡ 0이면 $\infty$ 를 갖는 a_α ≠ 0가 있는 것을 만족하는 가장-작은 값 $r$ 로 정의됩니다. 특히, 단일 변수 x에서 거듭제곱 급수 f(x)에 대해, f의 차수는 비-영 계수를 갖는 x의 가장-작은 거듭제곱입니다. 이 정의는 로랑 급수(Laurent series)까지 쉽게 확장됩니다.

Notes

^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. p. 24.
^ Wacław Sierpiński (1916). Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (French). Palermo Rend. pp. 187–190.

References

Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

External links

Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

[1] Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. p. 24.

[2] Wacław Sierpiński (1916). Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (French). Palermo Rend. pp. 187–190.

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