Square number

수학(mathematics)에서, 제곱 숫자(square number) 또는 완전 제곱(perfect square)은 정수의 제곱(square)인 정수(integer)입니다;^[1] 다른 말로, 그것은 어떤 정수와 자체의 곱(product)입니다. 예를 들어, 9는 제곱 숫자인데, 왜냐하면 그것은 $32$ 과 같고 $3 \times 3$ 으로 쓸 수 있기 때문입니다.

숫자 $n$ 의 제곱에 대해 보통의 표기법은 곱 $n \times n$ 이 아니라, 동등한 지수(exponentiation) $n 2$ 이며, 보통 " $n$ 제곱"으로 읽습니다. 그 이름 제곱 숫자는 모양의 이름에서 따온 것입니다. 넓이(area)의 단위는 단위 정사각형(unit square) ( $1 \times 1$ )의 넓이로 정의됩니다. 그러므로, 변 길이 $n$ 을 갖는 정사각형의 $n 2$ 넓이를 가집니다. 만약 제곱 숫자가 $n$ 개의 점으로 표시되면, 그 점들은 각 변이 $n$ 의 제곱근과 같은 숫자의 점을 가지는 정사각형으로 행에서 배열될 수 있습니다; 따라서, 제곱 숫자는 비유적 숫자의 한 유형입니다 (다른 예제는 세제곱 숫자와 삼각형 숫자입니다).

제곱 숫자는 비-음수(non-negative)입니다. 비-음의 정수는 그것의 제곱근(square root)이 다시 정수일 때 제곱 숫자입니다. 예를 들어, ${\sqrt {9}}=3$ 이므로 9는 제곱 숫자입니다.

1을 제외하고 제곱 약수(divisors)를 가지지 않는 양의 정수는 제곱-없는(square-free) 것이라고 불립니다.

비-음의 정수 $n$ 에 대해, $n$ 번째 제곱 숫자는 $n 2$ 이며, $02 = 0$ 이 영 번째 그것입니다. 제곱의 개념은 일부 다른 숫자 시스템으로 확장될 수 있습니다. 만약 유리수가 포함되면, 제곱은 두 제곱 정수의 비율이고, 반대로, 두 제곱 정수의 비율은 제곱이며, 예를 들어, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ 입니다.

1부터 시작하여, $m$ 을 포함하여 $m$ 까지의 $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ 제곱 숫자가 있으며, 여기서 표현 $\lfloor x\rfloor$ 는 숫자 $x$ 의 바닥(floor)을 나타냅니다.

Examples

60² = 3600보다 작은 제곱 (OEIS에서 수열 A000290)은 다음과 같습니다:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

임의의 완전 제곱과 그것의 전임수 사이의 차이는 항등식 $n 2 - (n - 1) 2 = 2 n - 1$ 에 의해 제공됩니다. 동등하게, 마지막 제곱, 마지막 제곱근 및 현재 제곱근을 함께 더함으로써 셀 수 있으며, 즉, $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n$ 입니다.

Properties

숫자 m은 제곱 숫자인 것과 정사각형에 m 개의 점을 배열할 수 있는 것은 필요충분 조건입니다:

$m = 1 2 = 1$
$m = 2 2 = 4$
$m = 3 2 = 9$
$m = 4 2 = 16$
$m = 5 2 = 25$

$n$ 번째 제곱 숫자에 대해 표현은 $n 2$ 입니다. 이것은 역시 위의 그림에서 볼 수 있는 처음 $n$ 개의 홀수의 합과 같으며, 여기서 정사각형은 이전 것에 홀수(odd numbers) 개의 점 (자홍색으로 표시)을 추가함으로써 만들어집니다. 그 공식은 다음과 같습니다:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).

예를 들어, $52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

제곱 숫자를 계산하기 위한 몇 가지 재귀적(recursive) 방법이 있습니다. 예를 들어, $n$ 번째 제곱 숫자는 이전 제곱에서 $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n = (n - 1) 2 + (2 n - 1)$ 로 계산될 수 있습니다. 대안적으로, $n$ 번째 제곱 숫자는 이전 두 개에서 $(n - 1)$ 번째 제곱을 두 배로 하고, $(n - 2)$ 번째 제곱을 빼고, 2를 더함으로써 계산될 수 있는데, 왜냐하면 $n 2 = 2(n - 1) 2 - (n - 2) 2 + 2$ 이기 때문입니다. 예를 들어,

2 \times 5 2 - 4 2 + 2 = 2 \times 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2

.

숫자 $m$ 의 제곱에서 일을 뺀 값은 항상 $m-1$ 과 $m+1$ 의 곱입니다; 즉,

m^{2}-1=(m-1)(m+1).

예를 들어, $7^{2}=49$ 이기 때문에, $6\times 8=48$ 를 가집니다. 따라서 3은 제곱보다 일 작은 유일한 소수(prime number)입니다 ( $3 = 2 2 - 1$ ). 더 일반적으로, 두 숫자의 제곱의 차이는 그들의 합과 차이의 곱입니다. 즉,

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

(이것은 제곱-의-차이 공식(difference-of-squares formula)입니다). 이것은 암산에 유용할 수 있습니다: 예를 들어, $47 \times 53$ 는 $502 - 3 2 = 2500 - 9 = 2491$ 으로 쉽게 계산될 수 있습니다.

제곱 숫자는 두 개의 연속되는 삼각형 숫자(triangular numbers)의 합이기도 합니다. 두 개의 연속된 제곱 숫자의 합은 중앙-배치된 제곱 숫자(centered square number)입니다. 모든 각 홀수 제곱은 중앙-배치된 팔각형 숫자(centered octagonal number)이기도 합니다.

제곱 숫자의 또 다른 속성은 (0 제외) 홀수의 양의 약수를 가지지만, 다른 자연수는 짝수 개의 양의 약수를 가진다는 것입니다. 정수 근은 제곱 숫자를 생성하기 위해 자신과 쌍을 이루는 유일한 약수이지만, 다른 약수는 쌍으로 제공됩니다.

라그랑주 네-제곱 정리(Lagrange's four-square theorem)에 따르면 임의의 양의 정수는 4개 이하의 완전 제곱의 합으로 나타낼 수 있습니다. 세 개의 제곱은 $4 k (8 m + 7)$ 형식의 숫자에 대해 충분하지 않습니다. 양의 정수는 만약 그것의 소수 인수분해가 $4 k + 3$ 형식의 소수의 홀수 거듭제곱을 포함하지 있으면 정확하게 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있습니다. 이것은 워링의 문제(Waring's problem)로 일반화됩니다.

밑수(base) 10에서, 제곱 숫자는 다음처럼 자릿수 0, 1, 4, 5, 6 또는 9로만 끝날 수 있습니다:

만약 숫자의 마지막 자릿수가 0이면, 그것의 제곱은 0으로 끝납니다 (사실, 마지막 두 자릿수는 00여야 합니다);
만약 숫자의 마지막 자릿수가 1 또는 9이면, 그것의 제곱은 짝수 자릿수 뒤에 1로 끝납니다;
만약 숫자의 마지막 자릿수가 2 또는 8이면, 그것의 제곱은 짝수 자릿수 뒤에 4로 끝납니다;
만약 숫자의 마지막 자릿수가 3 또는 7이면, 그것의 제곱은 짝수 자릿수 뒤에 9로 끝납니다;
만약 숫자의 마지막 자릿수가 4 또는 6이면, 그것의 제곱은 홀수 자릿수 뒤에 6으로 끝납니다; 그리고
만약 숫자의 마지막 자릿수가 5이면, 그것의 제곱은 25로 끝납니다.

밑수(base) 12에서, 제곱 숫자는 제곱 자릿수로만 끝날 수 있습니다 (밑수 12에서와 같이, 소수는 소수 자릿수 또는 1로만 끝날 수 있음), 즉, 다음처럼 0, 1, 4 또는 9로 끝납니다:

만약 숫자가 2와 3 둘 다로 나뉘면 (즉, 6으로 나뉘면), 그것의 제곱은 0으로 끝납니다;
만약 숫자가 2로도 3으로도 나뉘지 않으면, 그것의 제곱은 1로 끝납니다;
만약 숫자가 2로 나뉘지만, 3으로 나뉘지 않으면, 그것의 제곱은 4로 끝납니다; 그리고
만약 숫자가 2로 나뉘지 않지만, 3으로 나뉘면, 그것의 제곱은 9로 끝납니다.

비숫한 규칙이 다른 밑수나 이전 자릿수 (예를 들어, 단위 자릿수 대신 수십)에 대해 주어질 수 있습니다. 모든 그러한 규칙은 고정된 숫자의 경우를 확인하고 모듈러 산술(modular arithmetic)을 사용하여 입증될 수 있습니다.

일반적으로, 만약 소수 $p$ 가 제곱 숫자 $m$ 을 나누면 $p$ 의 제곱도 $m$ 을 나누어야 합니다; 만약 $p$ 가 $m / p$ 를 나누지 못하면, $m$ 은 확실히 제곱이 아닙니다. 이전 문장의 나눗셈을 반복하면, 모든 각 소수는 주어진 완전 제곱을 짝수 번 (0번도 포함) 나누어야 한다는 결론을 내립니다. 따라서 숫자 $m$ 이 완전 제곱인 것과 그것의 정식의 표현(canonical representation)에, 모든 지수가 짝수인 것은 필요충분 조건입니다.

제곱성 테스트는 큰 숫자의 인수분해(factorization)에서 대안적인 방법으로 사용될 수 있습니다. 나눔가능성을 테스트하는 대신, 제곱성을 테스트합니다: 주어진 $m$ 과 어떤 숫자 $k$ 에 대해, 만약 $k 2 - m$ 이 정수 $n$ 의 제곱이면 $k - n$ 이 $m$ 을 나눕니다. (이것은 두 제곱 차이의 인수분해의 응용입니다.) 예를 들어, $1002 - 9991$ 은 3의 제곱이므로, 결론적으로 $100 - 3$ 은 9991을 나눕니다. 이 테스트는 이 테스트는 $k - n$ 에서 $k + n$ 까지 범위의 홀수 약수에 대해 결정적이며, 여기서 $k$ 는 $k\geq {\sqrt {m}}$ 의 자연수 범위를 덮습니다.

제곱 숫자는 완전 숫자(perfect number)가 될 수 없습니다.

n개의 처음 제곱 숫자의 합은 다음입니다:

\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.

이들 값의 처음 값, 제곱 피라미드 숫자(square pyramidal numbers)는 다음과 같습니다: (OEIS에서 수열 A000330)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Proof without words for the sum of odd numbers theorem

일로 시작하는 처음부터 홀수의 합은 완전 제곱입니다: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 등. 이것은 갈릴레오의 홀수 법칙을 설명합니다: 만약 정지 상태에서 떨어지는 몸체는 처음부터 임적인 시간 구간에서 일 단위 거리를 덮으면, 그것은 3, 5, 7 등의 같은 길이의 후속 시간 구간에서 거리 단위를 덮습니다. s = ut + 1/2at²에서, u = 0이고 상수 a (공기 저항 없이 중력으로 인한 가속도)에 대해; 따라서 s는 t²에 비례적이고, 시작하는 점에서 거리는 경과된 시간의 정수 값에 대한 연속적인 제곱입니다.

n개의 처음 세제곱의 합은 n개의 처음 양의 정수의 합의 제곱입니다; 이것이 니코마코스의 정리(Nicomachus's theorem)입니다.

모든 네 번째 거듭제곱, 여섯 번째 거듭제곱, 여덟 번째 거듭제곱, 등은 완전 제곱입니다.

삼각형 숫자 $T_{n}$ 을 갖는 고유한 관계는 다음입니다:

(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}

Odd and even square numbers

짝수의 제곱은 짝수이고, 4로 나뉠 수 있는데, 왜냐하면 (2n)² = 4n²이기 때문입니다. 홀수의 제곱은 홀수이고, 1 모듈로 8과 합동인데, 왜냐하면 (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1이고, n(n + 1)이 항상 짝수이기 때문입니다. 다른 말로, 모든 홀수 제곱 숫자는 8로 나눌 때 1의 나머지를 가집니다.

모든 각 홀수 완전 제곱은 중앙-배치된 팔각형 숫자(centered octagonal number)입니다. 두 홀수 완전 제곱의 차이는 8의 배수입니다. 1과 임의의 더 큰 홀수 완전 제곱의 차이는 항상 삼각형 숫자의 8배이고, 반면에 9와 더 높은 홀수 완전 제곱의 차이는 삼각형 숫자 빼기 8의 8배입니다. 모든 삼각형 숫자는 홀수 인수를 가지지만, $2 n$ 의 두 값은 홀수 인수를 포함하는 양만큼 다르지 않으므로, $2 n - 1$ 형식의 유일한 완전 제곱은 1이고, $2 n + 1$ 형식의 유일한 완전 제곱은 9입니다.

Special cases

만약 숫자가 $m 5$ 형식의 것이면, 여기서 $m$ 은 선행 자릿수를 나타내며, 그것의 제곱은 $n 25$ 이며 여기서 $n = m (m + 1)$ 이고 25 이전의 자릿수를 나타냅니다. 예를 들어, 65의 제곱은 $n = 6 \times (6 + 1) = 42$ 에 의해 계산될 수 있으며 이는 제곱을 4225와 같게 만듭니다.
만약 숫자가 $m 0$ 형식의 것이면, 여기서 $m$ 은 선행 자릿수를 나타내며, 그것의 제곱은 $n 00$ 이며 여기서 $n = m 2$ 입니다. 예를 들어, 70의 제곱은 4900입니다.
만약 숫자가 두 자릿수를 가지고 $5 m$ 형식의 것이면, 여기서 $m$ 은 단위 자릿수를 나타내며, 그것의 제곱은 $aabb$ 이며 여기서 $aa = 25 + m$ 이고 $bb = m 2$ 입니다. 예제: 57의 제곱을 계산하기 위해, 25 + 7 = 32이고 7² = 49이며, 이는 57² = 3249를 의미합니다.
만약 숫자가 5로 끝나면, 그것의 제곱은 5로 끝납니다; 유사하게 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, 등으로 끝나는 경우와 유사합니다. 만약 숫자가 6으로 끝나면, 그것의 제곱은 6으로 끝납니다; 유사하게, 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376으로 끝나는 경우입니다. 예를 들어, 55376의 제곱은 3066501376이며 둘 다 376으로 끝납니다. (숫자 5, 6, 25, 76 등은 자기동형 숫자(automorphic numbers)라고 불립니다. 그것들은 OEIS에서 수열 A003226입니다.)
밑수 10에서, 제곱 숫자의 마지막 두 자릿수는 25의 배수를 중심으로 거울 대칭적 반복 패턴을 따르므로, 예를 들어, 24²=576이고 26²=676이고, 일반적으로 (25n+x)²-(25n-x)²=100nx입니다. 유사한 패턴이 250의 배수 주변의 마지막 3 자릿수에 적용되며, 이런 식으로 계속됩니다. 결과적으로, 가능한 마지막 2 자릿수 100개 중, 제곱 숫자 중 22개만 발생합니다 (00과 25가 반복되기 때문입니다).

Notes

^ Some authors also call squares of rational numbers perfect squares.