Stationary point

Original article: wikipedia:Stationary point

This article is about stationary points of a real-valued differentiable function of one real variable. For the broader term, see Critical point (mathematics).

Not to be confused with a fixed point where x = f(x).

The stationary points are the red circles. In this graph, they are all relative maxima or relative minima. The blue squares are inflection points.

수학(mathematics)에서, 특히 미적분학(calculus)에서, 한 변수의 미분-가능 함수(differentiable function)의 정류점(stationary point)은 함수의 도함수(derivative)가 영인 함수의 그래프(graph) 위의 점입니다. 비공식적으로, 그것은 함수가 증가 또는 감소를 "멈추는(stop)" (따라서 그 이름) 점입니다.

여러 실수 변수의 미분-가능 함수에 대해, 정류점은 모든 그것의 부분 도함수(partial derivative)가 영 (동등하게, 그레이디언트(gradient)가 영)인 그래프의 표면(surface) 위의 점입니다.

정류점은 한 변수의 함수의 그래프 위에 쉽게 시각화될 수 있습니다: 그것들은 접선이 수평 (즉, x-축에 평행(parallel))인 그래프 위의 점에 해당합니다. 두 변수의 함수에 대해, 그것들은 접 평면이 xy 평면에 평행한 그래프 위의 점들에 해당합니다.

Turning points

전환하는 점은 도함수가 부호를 바꾸는 점입니다. 전환하는 점은 상대적인 최댓값 또는 상대적인 최솟값 (역시 지역 최솟값 및 최댓값으로 알려져 있음)일 수 있습니다. 만약 함수가 미분-가능이면, 전환하는 점은 정류점입니다; 어쨌든 모든 정류점이 전환하는 점은 아닙니다. 만약 함수가 두 번 미분-가능이면, 전환하는 점이 아닌 정류점은 수평 변곡점(inflection point)입니다. 예를 들어, 함수 $x\mapsto x^{3}$는 x = 0에서 정류점을 가지며, 이것은 역시 변곡점이지만, 전환하는 점은 아닙니다.

Classification

A graph in which local extrema and global extrema have been labeled.

See also: maxima and minima

$C^{1}$ 실수 값된 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 고립된 정류점은 일차 도함수 테스트(first derivative test)에 의해 네 종류로 분류될 수 있습니다:

• 지역적 최솟값 (최소의 전환하는 점 또는 상대 최솟값)은 함수의 도함수가 음수에서 양수로 바꾸는 점입니다;
• 지역적 최댓값 (최대의 전환하는 점 또는 상대 최댓값)은 함수의 도함수가 양수에서 음수로 바꾸는 점입니다;

Saddle points (stationary points that are neither local maxima nor minima: they are inflection points. The left is a "rising point of inflection" (derivative is positive on both sides of the red point); the right is a "falling point of inflection" (derivative is negative on both sides of the red point).

• 올라가는 변곡의 점은 함수의 도함수가 정류점의 양쪽 편에서 양수인 점입니다; 그러한 점은 오목성(concavity)에서 변화를 나타냅니다;
• 떨어지는 변곡의 점은 함수의 도함수가 정류점의 양쪽 편에서 음수인 점입니다; 그러한 점은 오목서에서 변화를 나타냅니다.

처음 두 가지 선택사항은 집합적으로 "지역적 극단값(local extrema)"으로 알려져 있습니다. 유사하게, 전역적 (또는 절대) 최댓값 또는 전역적 (또는 절대) 최솟값인 점이 전역적 (또는 절대) 극단값이라고 불립니다. 마지막 두 가지 선택사항–지역적 극단값이 아닌 정류점–은 안장점(saddle point)으로 알려져 있습니다.

페르마의 정리(Fermat's theorem)에 의해, 전역 극단값은 경계 위에 또는 정류점에서 ($C^{1}$ 함수에 대해) 발생해야 합니다.

Curve sketching

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

정류점의 위치와 본성을 결정하는 것은 미분-가능 함수의 곡선 개형-그리기(Curve sketching)에 도움이 됩니다. 방정식 f'(x) = 0을 푸는 것은 모든 정류점의 x-좌표를 반환합니다; y-좌표는 자명하게 그것들의 x-좌표의 함수 값입니다. x에서 정류점의 특정 본성은 일부 경우에서 이차 도함수(second derivative) f''(x)를 검사함으로써 결정될 수 있습니다:

• 만약 f''(x) < 0이면, x에서 정류점은 아래로 오목; 최대 극단값입니다.
• 만약 f''(x) > 0이면, x에서 정류점은 위로 오목; 최소 극단값입니다.
• 만약 f''(x) = 0이면, 정류점의 본성은 다른 수단의 방법에 의해, 종종 해당 점 주변의 부호 변경에 주목함으로써 결정되어야 합니다.

정류점의 본성을 결정하는 보다 간단한 방법은 (만약 함수가 정의되고 그것을 사이에 연속이면) 정류점 사이의 함수 값을 검사하는 것입니다.

변곡점의 간단한 예제는 함수 f(x) = x³입니다. 점 x = 0에 대한 오목성의 명확한 변화가 있고, 우리는 미적분(calculus)을 통해이것을 입증할 수 있습니다. f의 이차 도함수는 모든 곳에서 연속 6x이고, x = 0에서, f′′ = 0이고, 부호는 이 점을 중심으로 변경됩니다. 따라서 x = 0은 변곡의 점입니다.

보다 일반적으로, 실수 값 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$의 정류점은 모든 각 방향에서 도함수가 영과 같은, 또는 동등하게 그래디언트(gradient)가 영인 그것들의 점 x₀입니다.

Example

함수 f(x) = x⁴에 대해, 우리는 f'(0) = 0 및 f''(0) = 0을 가집니다. 심지어 f''(0) = 0이지만, 이 점은 변곡점이 아닙니다. 그 이유는 f'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌기 때문입니다.

함수 f(x) = sin(x)에 대해, 우리는 f'(0) ≠ 0 및 f''(0) = 0을 가집니다. 그러나 이것은 정류점이 아니고, 오히려 변곡점입니다. 이것은 오목성이 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌고 f'(x)의 부호가 변경되지 않고 양수에 머무르기 때문입니다.

함수 f(x) = x³에 대해, 우리는 f'(0) = 0 및 f''(0) = 0을 가집니다. 이것은 정류점과 변곡점 둘 다입니다. 이것은 오목성이 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌고 f'(x)의 부호가 변경되지 않고 양수에 머무르기 때문입니다.

See also

• Optimization (mathematics)
• Fermat's theorem
• Derivative test
• Fixed point (mathematics)
• Saddle point

External links

• Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot