Subbase

토폴로지(topology)에서, 토폴로지(topology) $T$ 를 갖는 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 에 대해 부분기저(subbase, 또는 subbasis, prebase, prebasis)는 $T$ 가 열린 집합으로 $B$ 를 포함하는 가장 작은 토폴로지라는 의미에서 $T$ 를 생성하는 $T$ 의 부분-모음 $B$ 입니다. 약간 다른 정의가 일부 저자에 의해 사용되고, 다른 유용한 정의의 형식화가 있습니다; 이것들은 아래에서 논의됩니다.

Definition

$X$ 를 토폴로지 $T$ 를 갖는 토폴로지적 공간이라고 놓습니다. $T$ 의 부분기저는 보통 다음 두 가지 동등한 조건 중 하나를 만족시키는 $T$ 의 부분모음 $B$ 로 정의됩니다:

부분모음 $B$ 는 토폴로지 $T$ 를 생성합니다. 이것은 $T$ 는 $B$ 를 포함하는 가장 작은 토폴로지임을 의미합니다: $B$ 를 포함하는 $X$ 위의 임의의 토폴로지 $T^{\prime }$ 는 $T$ 도 포함해야 합니다.
집합 $X$ 와 함께 $B$ 의 원소의 모든 유한 교집합(intersections)으로 구성된 열린 집합의 모음은 $T$ 의 기저(basis)를 형성합니다. 이것은 $T$ 에서 모든 각 적절한 열린 집합(open set)이 $B$ 의 원소의 유한 교집합의 합집합(union)으로 쓸 수 있음을 의미합니다. 명시적으로, 열린 집합 $U\subsetneq X$ 에서 점 $x$ 가 주어지면, 이들 집합의 교집합이 $x$ 를 포함하고 $U$ 에서 포함됨을 만족하는 $B$ 의 유한하게 많은 집합 $S_{1},\ldots ,S_{n}$ 이 있습니다. 이러한 집합의 교집합은 x를 포함하고 U에 포함됩니다.

(만약 우리가 영-항 교집합(nullary intersection) 규칙을 사용하면, 두 번째 정의에 $X$ 를 포함할 필요가 없습니다.)

거듭제곱 집합(power set) $\wp (X)$ 의 임의의 부분집합 $S$ 에 대해, $S$ 를 부분기저로 가지는 고유한 토폴로지가 있습니다. 특히, $S$ 를 포함하는 $X$ 위의 모든 토폴로지의 교집합(intersection)은 이 조건을 만족시킵니다. 일반적으로, 어쨌든, 주어진 토폴로지에 대한 고유한 부분기저는 없습니다.

따라서, 우리는 고정된 토폴로지에서 시작하고 해당 토폴로지에 대해 부분기저를 찾을 수 있고, 우리는 역시 거듭제곱 집합 $\wp (X)$ 의 임의적인 부분모음에서 시작하고 해당 부분모음에 의해 생성된 토폴로지를 형성할 수 있습니다. 우리는 위의 동등한 정의를 자유롭게 사용할 수 있습니다; 실제로, 많은 경우에, 두 조건 중 하나가 다른 것보다 더 유용합니다.

Alternative definition

덜 공통적으로, 부분기저의 약간 다른 정의는 부분기저 ${\mathcal {B}}$ 가 $X$ 를 덮도록 요구하는 것으로 제공됩니다.^[1] 이 경우에서, $X$ 는 ${\mathcal {B}}$ 에 포함된 모든 집합의 합집합입니다. 이것은 정의에서 영항 교집합의 사용과 관련하여 혼동이 있을 수 없음을 의미합니다.

어쨌든, 이 정의가 위의 두 정의와 항상 동등한 것은 아닙니다. 다시 말해서, $\tau$ 는 ${\mathcal {B}}$ 를 포함하는 가장 작은 토폴로지이지만, ${\mathcal {B}}$ 는 $X$ 를 포함하지 않음 (그러한 예는 아래에 제공됨)을 만족하는 부분집합 ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ 를 갖는 토폴로지적 공간 $(X,\tau )$ 이 존재합니다. 실제로, 이것은 드물게 발생합니다; 예를 들어, 적어도 2 개의 점을 가지고 T₁ 분리 공리(T₁ separation axiom)를 만족시키는 공간의 부분기저는 해당 공간의 덮개여야 합니다.

Examples

임의의 부분집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}$ (빈 집합에 의해 포함됨 ${\mathcal {S}}:=\varnothing$ )에 의해 생성된 토폴로지는 자명한 토폴로지 $\{\varnothing ,X\}$ 와 같습니다.

만약 $\tau$ 가 $X$ 위에 토폴로지이고 ${\mathcal {B}}$ 가 $\tau$ 에 대한 기저이면, ${\mathcal {B}}$ 에 의해 생성된 토폴로지는 $\tau$ 입니다. 따라서 토폴로지 $\tau$ 에 대해 임의의 기저 ${\mathcal {B}}$ 는 $\tau$ 에 대해 부분기저이기도 합니다. 만약 ${\mathcal {S}}$ 가 $\tau$ 의 부분집합이면, ${\mathcal {S}}$ 에 의해 생성된 토폴로지는 $\tau$ 의 부분집합이 될 것입니다.

실수 $\mathbb {R}$ 위에 보통의 토폴로지는 형식 $(-\infty ,a)$ 또는 $(b,\infty )$ 중 하나인 모든 반-무한(semi-infinite) 열린 구간으로 구성된 부분기저를 가지며, 여기서 $a$ 와 $b$ 는 실수입니다. 함께, 이것들은 보통의 토폴로지를 생성하는데, 왜냐하면 $a\leq b$ 에 대한 교집합 $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ 은 보통의 토폴로지를 생성하기 때문입니다. 두 번째 부분기저는 $a$ 와 $b$ 가 유리수(rational)인 부분가족을 취함으로써 형성됩니다. 두 번째 부분기반도 마찬가지로 보통의 토폴로지를 생성하는데, 왜냐하면 $a,$ $b$ 유리수를 갖는 열린 구간 $(a,b)$ 가 보통의 유클리드 토폴로지의 기저이기 때문입니다.

$a$ 가 실수인 형식 $(-\infty ,a)$ 단독으로 모든 반-무한 열린 구간으로 구성된 부분기저는 보통의 토폴로지를 생성하지 않습니다. 결과 토폴로지는 T₁ 분리 공리(T₁ separation axiom)을 만족시키지 못하는데, 왜냐하면 만약 $a<b$ 이면 $b$ 를 포함하는 모든 각 열린 집합은 역시 $a$ 를 포함하기 때문입니다.

함수 $f_{i}:X\to Y_{i}$ 의 가족에 의해 정의된 $X$ 위의 초기 토폴로지(initial topology)는, 여기서 각 $Y_{i}$ 가 토폴로지를 가지고 있으며, 각 $f_{i}$ 가 연속적(continuous)임을 만족하는 $X$ 위의 가장-엉성한 토폴로지입니다. 연속성은 열린 집합의 역 이미지의 관점에서 정의될 수 있기 때문에, 이것은 $X$ 위에 초기 토폴로지는 부분기저로 모든 $f_{i}^{-1}(U)$ 를 취함으로써 주어진다는 것을 의미하며, 여기서 $U$ 는 $Y_{i}$ 의 모든 열린 부분집합에 걸쳐 있습니다.

초기 토폴로지의 두 가지 중요한 특별한 경우는 곱 토폴로지(product topology)이며, 여기서 함수의 가족은 그 곱이 각 인수로의 투영의 집합이며, 그리고 부분공간 토폴로지(subspace topology)이며, 여기서 가족은 단지 하나의 함수, 포함 맵(inclusion map)으로 구성됩니다.

$X$ 에서 $Y$ 로의 연속 함수의 공간 위에 컴팩트-열린 토폴로지(compact-open topology)는 부분-기저에 대해 다음 함수의 집합을 가집니다: $V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}$ 여기서 $K\subseteq X$ 는 컴팩트(compact)이고 $U$ 는 $Y$ 의 열린 부분집합입니다.

$(X,\tau )$ 가 X가 둘 이상의 원소를 포함하는 $X$ 를 갖는 하우스도르프(Hausdorff) 토폴로지적 공간이라고 가정합니다 (예를 들어, 유클리드 토폴로지를 갖는 $X=\mathbb {R}$ ). $Y\in \tau$ 를 $(X,\tau )$ 의 비-빈 열린 부분집합이라고 놓고 (예를 들어, $Y$ 는 $\mathbb {R}$ 에서 비-빈 경계진 열린 구간일 수 있음), $\nu$ 는 $Y$ 가 $(X,\tau )$ (따라서 $\nu \subseteq \tau$ )에서 이어받은 $Y$ 위에 부분공간 토폴로지(subspace topology)를 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 $X$ 위에 $\nu$ 에 의해 생성된 토폴로지는 합집합 $\{X\}\cup \nu$ 와 같으며 (설명은 이 각주를 참조),^{[note 1]} 여기서 $\{X\}\cup \nu \subseteq \tau$ 입니다 (왜냐하면 $(X,\tau )$ 는 하우스도르프이므로, 상등이 유지되는 것과 $Y=X$ 인 것은 필요충분 조건입니다). 만약 $Y$ 가 $X$ 의 적절한 부분집합(proper subset)이면, $\{X\}\cup \nu$ 는 $\nu$ 를 포함하는 $X$ 위에 가장 작은 토폴로지이지만 $\nu$ 는 $X$ 를 덮지 못함을 주목하십시오 (즉, 합집합 $\bigcup _{V\in \nu }V=Y$ 는 $X$ 의 적절한 부분집합입니다).

Results using subbases

부분기저에 대한 한 가지 좋은 사실은 함수의 연속성(continuity)이 치역의 부분기저 위에만 확인되어야 한다는 것입니다. 즉, 만약 $f:X\to Y$ 가 토폴로지적 공간 사이의 맵이고 ${\mathcal {B}}$ 가 $Y$ 에 대해 부분기저이면, $f:X\to Y$ 가 연속인 것과 $f^{-1}(B)$ 가 모든 각 $B\in {\mathcal {B}}$ 에 대해 $X$ 에서 열린 것은 필요충분 조건입니다. 네트 (또는 수열) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ 이 점 $x$ 에 수렴하는 것과 $x$ 의 모든 각 부분기저 이웃이 충분하게 큰 $i\in I$ 에 대해 모든 $x_{i}$ 를 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

Alexander subbase theorem

알렉산더 부분기저 정리는 제임스 워델 알렉산더 2세(James Waddell Alexander II)로 인한 부분기저에 관한 중요한 결과입니다.^[2] 기저 (부분기저가 아님) 열린 덮개에 대해 해당하는 결과는 증명하기가 훨씬 쉽습니다.

Alexander Subbase Theorem:^[2]

(X,\tau )

를 토폴로지적 공간이라고 놓습니다. 만약

X

가

{\mathcal {S}}

에서 원소에 의한

X

의 모든 각 덮개가 유한 부분덮개를 가짐을 만족하는 부분기저

{\mathcal {S}}

를 가지면,

X

는 콤팩트(compact)입니다.

이 정리의 전환도 유지되고 그것은 ${\mathcal {S}}=\tau$ 를 사용함으로써 입증됩니다 (왜냐하면 모든 각 토폴로지가 자체에 대해 부분기반이기 때문입니다).

만약

X

가 컴팩트이고

{\mathcal {S}}

가

X

에 대해 부분기저이면,

{\mathcal {S}}

에서 원소에 의해

X

의 모든 각 덮개는 유한 부분덮개를 가집니다.

Proof

모순을 위해 공간 $X$ 가 컴팩트하지 않지만 (따라서 $X$ 는 무한 집합), ${\mathcal {S}}$ 로부터 모든 각 부분기저 덮개는 유한 부분덮개를 가진다고 가정합니다. $\mathbb {S}$ 는 $X$ 의 유한 부분덮개를 가지지 않는 $X$ 의 모든 열린 덮개의 집합을 나타낸다고 놓습니다. 부분집합 포함에 의해 $\mathbb {S}$ 를 부분적으로 순서화하하고 조온의 보조정리를 사용하여 $\mathbb {S}$ 의 최대 원소인 원소 ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ 를 찾습니다. 다음을 관찰하십시오:

${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ 이기 때문에, $\mathbb {S}$ 의 정의에 의해, ${\mathcal {C}}$ 는 $X$ 의 열린 덮개이고 $X$ 를 덮는 ${\mathcal {C}}$ 의 임의의 유한 부분집합이 존재하지 않습니다 (따라서 특히, ${\mathcal {C}}$ 는 무한입니다).
$\mathbb {S}$ 에서 ${\mathcal {C}}$ 의 최대성은 만약 $V$ 는 $V\not \in {\mathcal {C}}$ 임을 만족하는 $X$ 의 열린 집합이면 ${\mathcal {C}}\cup \{V\}$ 는 유한 부분덮개를 가지며, 이는 반드시 ${\mathcal {C}}$ 의 일부 유한 부분집합 ${\mathcal {C}}_{V}$ 에 대해 형식 $\{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}$ 의 것이어야 함을 의미합니다 (이 유한 부분집합은 $V$ 의 선택에 따라 달라집니다).

우리는 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 가 $X$ 의 덮개가 아님을 보임으로써 시작할 것입니다. ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 는 $X$ 의 하나의 덮개였다고 가정하며, 이는 특히 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 가 ${\mathcal {S}}$ 의 원소에 의해 $X$ 의 덮개임을 의미합니다. ${\mathcal {S}}$ 에 대한 정리의 가설은 $X$ 를 덮는 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 의 유한 부분집합이 존재함을 의미하며, 이는 동시에 역시 ${\mathcal {C}}$ 의 원소에 의한 $X$ 의 유한덮개였을 것입니다 (왜냐하면 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}$ ). 그러나 이것은 ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ 와 모순이며, ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 가 $X$ 를 덮지 못함을 입증합니다.

${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 가 $X$ 를 덮지 못하기 때문에, ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 에 의해 덮어지지 않는 일부 $x\in X$ 가 존재합니다 (즉, $x$ 는 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 의 임의의 원소에 포함되지 않습니다). 그러나 ${\mathcal {C}}$ 는 $X$ 를 덮지 못하기 때문에, 역시 $x\in U$ 임을 만족하는 일부 $U\in {\mathcal {C}}$ 가 존재합니다. ${\mathcal {S}}$ 는 ${\mathcal {S}}$ 에 의해 생성된 토폴로지의 정의로부터, $X$ 의 토폴로지를 생성하는 부분기저이기 때문에, 다음임을 만족하는 부분기저 열린 집합 $S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}$ 의 유한 모음이 반드시 존재해야 합니다: $x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U$

우리는 이제 모든 각 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 $S_{i}\not \in {\mathcal {C}}$ 임을 모순에 의해 보일 것입니다. 만약 $i$ 가 $S_{i}\in {\mathcal {C}}$ 를 만족하는 것이었으면, 역시 $S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 이므로 $x\in S_{i}$ 라는 사실은 그런-다음 $x$ 가 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 에 의해 덮어지지 않음을 의미했을 것이며, 이는 $x$ 가 선택되는 방법과 모순입니다 ( $x$ 는 ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ 에 의해 덮어지지 않도록 구체적으로 선택되었음을 상기하십시오).

이전에 언급했듯이, $\mathbb {S}$ 에서 ${\mathcal {C}}$ 의 최대성은 모든 각 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해, $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}$ 가 $X$ 의 유한 덮개를 형성함을 만족하는 ${\mathcal {C}}$ 의 유한 부분집합 ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ 이 존재함을 의미합니다: 다음을 정의합니다: ${\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},$ 이는 ${\mathcal {C}}$ 의 유한 부분집합입니다. 모든 각 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해, $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 가 $X$ 의 유한 덮개이므로 모든 각 ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ 를 ${\mathcal {C}}_{F}$ 로 바꾸도록 허용함을 관찰하십시오.

$\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 가 ${\mathcal {C}}_{F}$ ( $X$ 의 열린 부분집합)에서 모든 집합의 합집합을 나타낸다고 놓고 $Z$ 가 $X$ 에서 $\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 의 여집합을 나타낸다고 놓습니다. 임의의 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해, $\{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 가 $X$ 를 덮는 것과 $Z\subseteq A$ 인 것이 필요충분 조건임을 관찰하십시오. 특히, 모든 각 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해, $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 가 $X$ 를 덮는다는 사실은 $Z\subseteq S_{i}$ 임을 의미합니다. $i$ 가 임의적이기 때문에, 우리는 $Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}$ 를 가집니다. $S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U$ 임을 회상하셔서, 따라서 $Z\subseteq U$ 를 가지며, 이는 $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 가 $X$ 의 덮개라는 것과 동등합니다. 게다가, $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ 는 $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}$ 를 갖는 $X$ 의 유한 덮개입니다. 따라서 ${\mathcal {C}}$ 는 $X$ 의 유한 부분덮개를 가지며, 이는 ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ 라는 사실에 모순됩니다. 그러므로, $X$ 가 컴팩트하지 않다라는 원래 가정은 틀려야 하며, 이는 $X$ 가 컴팩트하다는 것을 입증합니다. $\blacksquare$

비록 이 증명은 조온의 보조정리(Zorn's lemma)를 사용하지만, 증명은 완전한 선택의 강도를 필요로 하지 않습니다. 대신, 그것은 중간 극단-필터 원칙(Ultrafilter principle)에 의존합니다.^[2]

위의 $\mathbb {R}$ 에 대해 부분기저와 함께 이 정리를 사용하여, $\mathbb {R}$ 에서 경계진 닫힌 구간이 컴팩트하다는 매우 쉬운 증명을 제공할 수 있습니다. 보다 일반적으로, 비-빈 컴팩트 공간의 곱이 컴팩트하다는 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem)는 만약 알렉산더 부분기저 정리가 사용되면 짧은 증명을 가집니다.

Proof

$\prod _{i}X_{i}$ 위에 곱 토폴로지가, 정의에 의해, 하나의 요소에서 열린 집합의 역 투영인 원통(cylinder) 집합으로 구성되는 기저를 가집니다. 유한 덮개를 가지지 않는 곱의 부분기저 가족 $C$ 가 주어지면, 우리는 $C=\cup _{i}C_{i}$ 를 주어진 요소 공간에 해당하는 정확하게 그것들의 원통 집합으로 구성되는 부분가족으로 분할할 수 있습니다. 가정에 의해, 만약 $C_{i}\neq \varnothing$ 이면 $C_{i}$ 는 유한 부분덮개를 가지지 않습니다. 원통 집합이기 때문에, 이것은 $X_{i}$ 위로의 그것들의 투영이 유한 부분덮개를 가지지 않음을 의미하고, 각 $X_{i}$ 가 컴팩트하기 때문에, 우리는 $X_{i}$ 위로의 $C_{i}$ 의 투영에 의해 덮어지지 않는 점 $x_{i}\in X_{i}$ 를 찾을 수 있습니다. 그러나 그때에 $\left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}$ 는 $C$ 에 의해 덮어지지 않습니다. $\blacksquare$

마지막 단계에서, 우리는 $\left(x_{i}\right)_{i}$ 의 존재를 보장하기 위해 선택의 공리 (이는 실제로 조온의 보조정리와 동등함)를 암시적으로 사용했습니다.

Notes

^ Since $\nu$ is a topology on $Y$ and $Y$ is an open subset of $(X,\tau ),$ it is easy to verify that $\{X\}\cup \nu$ is a topology on $X.$ Since $\nu$ is not a topology on $X,$ $\{X\}\cup \nu$ is clearly the smallest topology on $X$ containing $\nu$ ).

References

^ Munkres 2000, pp. 82.
^ ^a ^b ^c Muger, Michael (2020). Topology for the Working Mathematician.

Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[2] Since $\nu$ is a topology on $Y$ and $Y$ is an open subset of $(X,\tau ),$ it is easy to verify that $\{X\}\cup \nu$ is a topology on $X.$ Since $\nu$ is not a topology on $X,$ $\{X\}\cup \nu$ is clearly the smallest topology on $X$ containing $\nu$ ).

[FOOTNOTEMunkres200082-1] Munkres 2000, pp. 82.

[Muger2020-3] Muger, Michael (2020). Topology for the Working Mathematician.

[1]

[note 1]

[2]