Divisor function

Original article: w:Divisor function

"Robin's theorem" redirects here. For Robbins' theorem in graph theory, see Robbins' theorem.

Divisor function σ₀(n) up to n = 250

Sigma function σ₁(n) up to n = 250

Sum of the squares of divisors, σ₂(n), up to n = 250

Sum of cubes of divisors, σ₃(n) up to n = 250

수학(mathematics), 특히 숫자 이론(number theory)에서, 약수 함수(divisor function)는 정수(integer)의 약수(divisors)와 관련된 산술 함수(arithmetic function)입니다. 그 약수 함수라고 참조될 때, 그것의 정수의 약수의 개수를 셉니다 (1과 숫자 자체를 포함합니다). 그것은 리만 제타 함수(Riemann zeta function)와 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 모듈러 형식(modular forms)에 대한 관계를 포함하여 많은 주목할만한 항등식으로 나타납니다. 약수 함수는 많은 중요한 합동(congruences)과 항등식(identities)을 부여한 라마누젠(Ramanujan)에 의해 연구되었습니다; 이것들은 라마누젠의 합(Ramanujan's sum) 기사에서 별도로 취급됩니다.

관련된 함수는 이름에서 알 수 있듯이 약수 함수에 걸쳐 합계인 약수 합계 함수(divisor summatory function)입니다.

Definition

실수 또는 복소수 z에 걸쳐 양의 약수 함수의 합 σ_z(n)는 n의 양의 약수(divisors)의 z-번째 거듭제곱(powers)의 합(sum)으로 정의됩니다. 그것은 시그마 표기법(sigma notation)으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$\sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,$

여기서 ${d\mid n}$은 "d 나누기 n"에 대한 줄임말입니다. 표기법 d(n), ν(n), 및 τ(n) (독일어 Teiler = 약수)은 역시 σ₀(n) 또는 약수-의-개수 함수 (OEIS: A000005)를 나타내기 위해 사용됩니다. z가 1일 때, 그 함수는 시그마 함수(sigma function) 또는 약수-의-합 함수(sum-of-divisors function)라고 불리고, 아래첨자는 종종 생략되므로, σ(n)은 σ₁(n) (OEIS: A000203)과 같습니다.

n의 나눔 합(aliquot sum) s(n)은 적절한 약수(proper divisors, 즉, n 자체를 제외한 약수, OEIS: A001065)의 합이고, σ₁(n) − n과 같습니다; n의 나눔 수열(aliquot sequence)은 나눔 합 함수를 반복적으로 적용함으로써 형성됩니다.

Example

예를 들어, σ₀(12)는 12의 약수의 개수입니다:

${\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}$

반면 σ₁(12)는 모든 약수의 합입니다:

${\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}$

그리고 적절한 약수의 나눔 합 s(12)는 다음과 같습니다:

${\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}$

σ_-1(n)는 때때로 n의 풍요 인덱스(abundancy index)라고 불리고, 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}$

Table of values

경우 x = 2에서 5까지는 OEIS: A001157 − OEIS: A001160에서 목록화되고, x = 6에서 24까지는 OEIS: A013954 − OEIS: A013972에서 목록화됩니다.

n	factorization	𝜎0(n)	𝜎1(n)	𝜎2(n)	𝜎3(n)	𝜎4(n)
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	22	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2×3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	23	4	15	85	585	4369
9	32	3	13	91	757	6643
10	2×5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	22×3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2×7	4	24	250	3096	40834
15	3×5	4	24	260	3528	51332
16	24	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2×32	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	22×5	6	42	546	9198	170898
21	3×7	4	32	500	9632	196964
22	2×11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	23×3	8	60	850	16380	358258
25	52	3	31	651	15751	391251
26	2×13	4	42	850	19782	485554
27	33	4	40	820	20440	538084
28	22×7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2×3×5	8	72	1300	31752	872644
31	31	2	32	962	29792	923522
32	25	6	63	1365	37449	1118481
33	3×11	4	48	1220	37296	1200644
34	2×17	4	54	1450	44226	1419874
35	5×7	4	48	1300	43344	1503652
36	22×32	9	91	1911	55261	1813539
37	37	2	38	1370	50654	1874162
38	2×19	4	60	1810	61740	2215474
39	3×13	4	56	1700	61544	2342084
40	23×5	8	90	2210	73710	2734994
41	41	2	42	1682	68922	2825762
42	2×3×7	8	96	2500	86688	3348388
43	43	2	44	1850	79508	3418802
44	22×11	6	84	2562	97236	3997266
45	32×5	6	78	2366	95382	4158518
46	2×23	4	72	2650	109512	4757314
47	47	2	48	2210	103824	4879682
48	24×3	10	124	3410	131068	5732210
49	72	3	57	2451	117993	5767203
50	2×52	6	93	3255	141759	6651267

Properties

Formulas at prime powers

소수(prime number) p에 대해,

${\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}$

왜냐하면 정의에 의해, 소수의 인수는 1과 자신입니다. 역시, 여기서 p_n#은 프리모리얼(primorial)을 나타냅니다:

$\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}$

왜냐하면 n 소수 인수는 형성된 각 적절한 약수에 대해 n항에서 이항 선택 ($p_{i}$ 또는 1)의 수열을 허용합니다. 어쨌든, 이것들은 일반적으로 그것의 약수의 개수가 2의 거듭제곱인 가장 작은 숫자가 아닙니다; 대신, 가장 작은 그러한 숫자는 그것의 지수가 2의 거듭제곱인 처음 n 페르미-디랙 소수(Fermi–Dirac primes)를 함께 곱함으로써 얻을 수 있습니다.

분명하게, 모든 $n>2$에 대해 $1<\sigma _{0}(n)<n$이고, 모든 $n>1$, $x>0$에 대해 $\sigma _{x}(n)>n$입니다.

약수 함수는 곱셈적(multiplicative)이지만 (왜냐하면 $\gcd(m,n)=1$을 갖는 곱 mn의 각 약수 c는 m의 약수 a와 n의 약수 b에 분명히 대응하기 때문), 완전하게 곱셈적(completely multiplicative)은 아닙니다:

$\gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).$

이것의 결과는 우리가 다음을 쓰면:

$n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}$

여기서 r = ω(n)은 n의 구별되는 소수 인수의 개수(number of distinct prime factors), p_i는 i-번째 소수 인수이고, a_i는 n이 나눌-수-있는 p_i의 최대 거듭제곱이며, 다음을 가집니다:

$\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).$

이는, x ≠ 0일 때, 다음 유용한 공식과 동등합니다:

$\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.$

x = 0일 때, d(n)은 다음과 같습니다:

$\sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).$

이 결과는 $n$의 모든 약수가 $0\leq x_{i}\leq a_{i}$ (즉, 각 $x_{i}$에 대해 $a_{i}+1$개의 독립적인 선택)를 갖는 정수의 구별되는 튜플 $(x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})$에 의해 고유하게 결정된다는 사실에서 직접 추론될 수 있습니다.

예를 들어, 만약 $n$이 24이면 두 개의 소수 인수가 있습니다 (p₁는 2; p₂는 3). 24는 2³×3¹의 곱이고, a₁은 3이고 a₂는 1입니다. 따라서 다음과 같이 $\sigma _{0}(24)$를 계산할 수 있습니다:

$\sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.$

이 공식에 의해 계산되는 8개의 약수는 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 및 24입니다.

Other properties and identities

오일러(Euler)는 놀라운 재귀를 입증했습니다:

${\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (n-1)+\sigma (n-2)-\sigma (n-5)-\sigma (n-7)+\sigma (n-12)+\sigma (n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma \left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma \left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}$

여기서 그것이 발생하면 $\sigma (0)=n$이고 $x<0$에 대해 $\sigma (x)=0$이고, ${\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)$는 일반화된 오각형 숫자의 연속적인 쌍입니다(OEIS: A001318, 오프셋 1에서 시작). 실제로, 오일러는 그의 오각형 숫자 정리(Pentagonal number theorem)에서 그 항등식의 로그 미분에 의해 이것을 입증했습니다.

비-제곱 정수 n에 대해, n의 모든 각 약수 d는 n의 약수 n/d와 쌍을 이루고 $\sigma _{0}(n)$은 짝수입니다; 제곱 정수에 대해, 하나의 약수 (즉, ${\sqrt {n}}$)는 구별되는 약수와 쌍을 이루지 않고 $\sigma _{0}(n)$은 홀수입니다. 마찬가지로, 숫자 $\sigma _{1}(n)$은 홀수인 것과 n이 제곱이거나 제곱의 두 배인 것은 필요충분 조건입니다.

우리는 역시 s(n) = σ(n) − n에 주목합니다. 여기서 s(n)은 n의 적절한(proper) 약수의 합, 즉, n 자체를 제외한 n의 약수를 나타냅니다. 이 함수는 s(n) = n임을 만족하는 n인 완전 숫자(perfect numbers)를 인식하기 위해 사용됩니다. 만약 s(n) > n이면, n은 과잉 숫자(abundant number)이고, s(n) < n이면 n은 부족 숫자(deficient number)입니다.

만약 n이 2의 거듭제곱, $n=2^{k}$이면, then $\sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1$이고 $s(n)=n-1$이며, 이는 n 거의-완전(almost-perfect)을 만듭니다.

예제로, 두 소수 $p,q:p<q$에 대해, 다음이라고 놓습니다:

$n=p\,q$.

그런-다음

$\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),$

$\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),$

그리고

$n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,$

$p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,$

여기서 $\varphi (n)$는 오일러의 토션트 함수(Euler's totient function)입니다.

그런-다음, 다음의 근은

$(x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0$

n 또는 $p+q$의 지식을 요구하지 않는 오직 σ(n)과 φ(n)의 관점에서 p와 q를 다음과 같이 표현합니다:

$p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},$

$q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.$

역시, n과 $\sigma (n)$ 또는 $\varphi (n)$ 중 하나를 알거나, 대안적으로, $p+q$와 $\sigma (n)$ 또는 $\varphi (n)$ 중 하나를 아는 것은 p와 q의 쉬운 회복을 허용합니다.

1984년에, 로저 히스-브라운(Roger Heath-Brown)은 다음 상등이 n의 무한하게 많은 값에 대해 참임을 입증했습니다:

$\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)$

OEIS: A005237를 참조하십시오.

Series relations

약수 함수와 관련된 두 개의 디리클레 급수(Dirichlet series)는 다음과 같습니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,$

여기서 $\zeta$는 리만 제타 함수(Riemann zeta function)입니다. d(n) = σ₀(n)에 대해 급수는 다음을 제공합니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,$

그리고 라마누젠(Ramanujan) 항등식

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},$

이는 랭킨-셀베르그 합성곱(Rankin–Selberg convolution)의 특별한 경우입니다.

약수 함수와 관련된 램버트 급수(Lambert series)는 임의적인 복소수 |q| ≤ 1와 a에 대해 다음과 같습니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$

이 합은 아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수(Fourier series of the Eisenstein series)와 바이어슈트라스 타원 함수의 불변(invariants of the Weierstrass elliptic functions)으로도 나타납니다.

$k>0$에 대해, 다음과 같이 라마누젠 합(Ramanujan sums) $c_{m}(n)$을 갖는 명시적 급수 표현이 있습니다:

$\sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.$

$c_{m}(n)$의 첫 번째 항의 계산은 "평균 값" $\zeta (k+1)n^{k}$ 주위로 그것의 진동을 보여줍니다:

$\sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]$

Growth rate

작은-o 표기법(little-o notation)에서, 약수 함수는 다음 부등식을 만족시킵니다:

${\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).$

보다 정확하게, 세베린 위거트(Severin Wigert)는 다음임을 보였습니다:

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.$

다른 한편으로, 무한하게 많은 소수가 있기 때문에,

$\liminf _{n\to \infty }d(n)=2.$

큰-O 표기법(Big-O notation)에서, 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)는 약수 함수의 평균 차수(average order)가 다음 부등식을 만족시킴을 보였습니다:

${\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),$

여기서 $\gamma$는 오일러의 감마 상수(Euler's gamma constant)입니다. 공식에서 경계 $O({\sqrt {x}})$를 개선하는 것은 디리클레의 약수 문제(Dirichlet's divisor problem)로 알려져 있습니다.

시그마 함수의 행동은 불규칙합니다. 시그마 함수의 점근적 성장 률은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },$

여기서 lim sup은 극한 상부(limit superior)입니다. 이 결과는 1913년에 발표된 그뢴발의 정리(Grönwall's theorem) (Grönwall 1913)입니다. 그의 증명은 다음과 같이 말하는 메르텐스의 세 번째 정리(Mertens' 3rd theorem)를 사용합니다:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },$

여기서 p는 소수를 나타냅니다.

1915년에, 라마누젠은 리만 가설(Riemann hypothesis)의 가정 아래에서 다음 로빈(Robin)의 부등식이 충분하게 큰 모든 n에 대해 유지됨 (Ramanujan 1997)을 입증했습니다:

$\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$ (여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다)

부등식을 위반하는 가장 큰 알려진 값은 n=5040입니다. 1984년에, 가이 로빈(Guy Robin)은 그 부등식이 모든 n > 5040에 대해 참인 것과 리만 가설이 참인 필요충분 조건임을 증명했습니다 (Robin 1984). 이것이 로빈의 정리(Robin's theorem)이고 부등식은 그의 이후에 알려지게 되었습니다. 로빈은 나아가서 만약 리만 가설이 거짓이면 부등식을 위반하는 n의 값이 무한하게 많이 있다는 것을 보였고, n > 5040과 같은 가장 작은 값은 극단-과잉(superabundant)이어야 한다고 알려져 있습니다 (Akbary & Friggstad 2009). 그 부등식은 큰 홀수와 제곱-없는 정수에 대해 유지되고, 리만 가설은 단지 소수의 다섯 번째 거듭제곱으로 나눌 수 있는 n에 대한 부등식과 동등하다는 것이 나타났습니다 (Choie et al. 2007).

로빈은 역시 다음 부등식이 모든 n ≥ 3에 대해 유지됨을, 조건적으로, 입증했습니다:

$\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}$

관련된 경계가 2002년에 제프리 락아리아스(Jeffrey Lagarias)에 의해 제공되었으며, 그는 리만 가설이 모든 각 자연수 n > 1에 대해 다음과 같은 명제와 동등함을 입증했습니다:

$\sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})$

여기서 $H_{n}$는 n-번째 조화 숫자(harmonic number)입니다, (Lagarias 2002).

See also

• Divisor sum convolutions, lists a few identities involving the divisor functions
• Euler's totient function, Euler's phi function
• Refactorable number
• Table of divisors
• Unitary divisor

References

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis" (PDF), American Mathematical Monthly, 116 (3): 273–275, doi:10.4169/193009709X470128, archived from the original (PDF) on 2014-04-11.
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External links

• Weisstein, Eric W. "Divisor Function". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Robin's Theorem". MathWorld.
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary (i.e. not relying on the theory of modular forms) proofs of divisor sum convolutions, formulas for the number of ways of representing a number as a sum of triangular numbers, and related results.