Summation

Original article: w:Summation

This article is about sums of several elements. For more elementary aspects, see Addition. For infinite sums, see Series (mathematics). For other uses, see Summation (disambiguation).

수학(mathematics)에서, 합계(summation)는, 더해지는-숫자(addends) 또는 합해지는-숫자(summands)로 불리는, 숫자의 임의의 종류의 수열의 덧셈입니다; 그 결과는 그들의 합(sum) 또는 총합(total)입니다. 숫자 외에도, 값의 다른 유형: 함수, 벡터, 행렬, 다항식 및, 일반적으로 "+"로 표시된 연산이 정의되는 수학적 대상의 임의의 유형의 원소는 마찬가지로 합해질 수 있습니다.

무한 수열(infinite sequence)의 합은 급수(series)로 불립니다. 그들은 극한(limit)의 개념을 포함하고, 이 기사에서 고려하지 않습니다.

명시적 수열의 합은 덧셈의 연속으로 표시됩니다. 예를 들어, [1, 2, 4, 2]의 합은 1 + 2 + 4 + 2로 표시되고, 결과는 9, 즉, 1 + 2 + 4 + 2 = 9입니다. 덧셈은 결합적(associative)이고 교환적(commutative)이기 때문에, 괄호가 필요하지 않고, 그 결과는 더해지는-숫자의 순서에 의존하지 않습니다. 오직 한 원소의 수열의 합은 이 원소 자체가 됩니다. 빈 수열 (0개의 원소를 갖는 수열)은, 관례에 의해, 0이 됩니다.

매우 자주, 수열의 원소는, 규칙적인 패턴을 통해, 수열에서 그들의 위치의 함수(function)로, 정의됩니다. 간단한 패턴에 대해, 긴 수열의 합은 대부분의 합하는-숫자를 생략-부호(...)로 대체함으로써 표현될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 처음 100개의 자연수의 합은 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100으로 쓸 수 있을 것입니다. 그렇지 않으면, 합은 Σ 표기법(Σ notation)을 사용함으로써 표시되며, 여기서 $\textstyle \sum$은 확대된 대문자 그리스 문자(Greek letter) 시그마(sigma)입니다. 예를 들어, 첫 n개의 자연수의 합은 $\textstyle \sum _{i=1}^{n}i$으로 표시됩니다.

긴 합, 및 변하는 길이의 합에 대해 (생략-부호 또는 Σ 표기법과 함께 정의된), 그것은 결과에 대해 닫힌-형식 표현(closed-form expression)을 찾는 것이 공통적인 문제입니다. 예를 들어,

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

비록 그러한 공식이 항상 존재하지 않을지라도, 많은 합 공식이 발견되어 왔습니다. 가장 공통적이고 기초적인 것들 중 일부가 이 기사에서 나열됩니다.

Notation

Capital-sigma notation

The summation symbol

수학적 표기법은 많은 비슷한 항들의 합을 간결하게 나타내는 기호: 합계 기호, $\textstyle \sum$, 똑바른 대문자 그리스 문자 시그마(Sigma)의 확장된 형식을 사용합니다. 이것은 다음으로 정의됩니다:

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

여기서 i는 합계의 인덱스(index of summation)를 나타냅니다; a_i는 급수에서 각 연속적인 항을 나타내는 인덱스된 변수입니다; m은 합계의 낮은 경계(lower bound of summation)이고, n은 합계의 높은 경계(upper bound of summation)입니다. 합계 기호 아래의 "i = m"은 인덱스 i가 m과 같게 시작함을 의미합니다. 인덱스, i는 각 연속 항에 대해 1씩 증가하고, i = n일 때 중지합니다.

여기서 제곱의 합계를 보여주는 예제입니다:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

비공식적 서술은, 다음에서 처럼, 그들이 문맥에서 명확할 때, 인덱스의 정의와 합계의 경계를 때때로 생략합니다:

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.$

우리는 임의의 논리적 조건이 제공되는 이 표기법의 일반화를 종종 보고, 합은 조건을 만족시키는 모든 값에 걸쳐 취해지도록 의도됩니다. 여기서 일부 공통적인 예제입니다:

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$

은 지정된 범위에서 모든 (정수) $k$에 걸쳐 $f(k)$의 합입니다.

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$

은 집합 $S$에서 모든 원소 $x$에 걸쳐 $f(x)$의 합입니다. 그리고

$\sum _{d|n}\;\mu (d)$

은 $n$을 나누는 모든 양의 정수 $d$에 걸쳐 $\mu (d)$의 합입니다.

많은 시그마 기호의 사용을 일반화하는 방법이 역시 있습니다. 예를 들어,

$\sum _{i,j}$

은 다음과 같습니다:

$\sum _{i}\sum _{j}.$

비슷한 표기법은, 그것이 수열의 곱(product)을 나타낼 때, 적용되며, 이것은 그의 합계와 비슷하지만, 덧셈 대신에 곱셈 연산을 사용합니다 (그리고 빈 수열에 대해 0 대신에 1을 제공합니다). 같은 기본 구조가 $\textstyle \prod$와 함께 사용되며, $\textstyle \sum$ 대체하여, 그리스 대문자 Pi의 확장된 형식입니다.

Special cases

2개 미만의 숫자를 합하는 것이 가능합니다:

• 만약 합계가 하나의 더해지는 숫자 $x$를 가지면, 평가된 합은 $x$입니다.
• 만약 합계가 더해지는 숫자를 가지지 않으면, 평가된 합은 영(zero)인데, 왜냐하면 영은 덧셈에 대해 항등원(identity)이기 때문입니다. 이것은 빈 합(empty sum)으로 알려져 있습니다.

이들 퇴보된 경우는 보통 합계 표기법이 특별한 경우에서 퇴보한 결과를 제공할 때 오직 사용됩니다. 예를 들어, 만약 위의 정의에서 $n=m$이면, 합에서 오직 하나의 항이 있습니다; 만약 $n=m-1$이면, 항이 없습니다.

Formal definition

합계는 다음으로 재귀적으로 정의될 수 있습니다:

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0$ ${\displaystyle }$, b < a에 대해.

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)$, b ≥ a에 대해.

Measure theory notation

측정(measure)과 적분(integration) 이론의 표기법에서, 합은 한정 적분(definite integral)으로 표현될 수 있습니다:

$\sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu$

여기서 $[a,b]$는 $a$로부터 $b$까지 정수의 부분 집합이고, $\mu$는 셈 측정(counting measure)입니다.

Calculus of finite differences

구간(interval) [m, n]에서 정수에 걸쳐 정의된 함수 f가 주어지면, 우리는 다음을 가집니다:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$

이것은 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 유한 차이의 미적분학(calculus of finite differences)의 유사체이며, 이것은 다음을 말합니다:

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,$

여기서

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

은 f의 도함수(derivative)입니다.

위의 방정식의 응용의 예제는 다음입니다:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).$

이항 정리(binomial theorem)를 사용하면, 이것은 다음으로 다시-쓸 수 있을 것입니다:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}x^{j}\right).$

위의 공식은 다음에 의해 정의된 차이 연산자(difference operator) $\Delta$의 역함에 대해 보다 공통적으로 사용됩니다:

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),$

여기서 f는 비-음의 정수에 대해 정의된 함수입니다. 따라서, 그러한 함수 f가 주어지면, 문제는 f의 역차이(antidifference), 즉 $\Delta F=f,$, 즉, $F(n+1)-F(n)=f(n)$를 만족하는 함수 $F=\Delta ^{-1}f$를 계산하는 것입니다. 이 함수는 상수의 덧셈까지 정의되고, 다음으로 선택될 수 있을 것입니다:

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$

그러한 합에 대해 닫힌-형식 표현(closed-form expression)이 항상 있지는 않지만, 파울하버의 공식(Faulhaber’s formula)은 $f(n)=n^{k}$의 경우 및, n의 모든 각 다항 함수(polynomial function)에 대해 선형성(linearity)에 의해 닫힌 형식을 제공합니다.

Approximation by definite integrals

많은 그러한 근사는, 합과 적분(integral) 사이의 다음 연결에 의해 얻어질 수 있으며, 이것은 임의의 것에 대해 유지됩니다:

증가하는(increasing) 함수 f:

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.$

감소하는(decreasing) 함수 f:

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.$

보다 일반적인 근사에 대해, 오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)을 참조하십시오.

더해지는 숫자가 인덱스의 적분-가능한(integrable) 함수에 의해 주어지는 (또는 보간될-수 있는) 합계에 대해, 합계는 대응하는 명확한 적분의 정의에서 발생하는 리만 합(Riemann sum)으로 해석될 수 있습니다. 우리는 그러므로 다음과 같은 예제를 기대할 수 있습니다:

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,$

왜냐하면 오른쪽 변은 정의에 의해 왼쪽 변의 $n\to \infty$에 대한 극한이기 때문입니다. 어쨌든, 주어진 합에 대해 n은 고정되고, f에 대한 추가 가정없이 위의 근사에서 오차에 대해 거의 말할 수 없습니다: 넓게 진동하는 함수에 대해 리만 합은 리만 적분으로부터 임의로 멀리 떨어질 수 있는 것은 분명합니다.

Identities

아래 공식은 유한 합을 포함합니다; 삼각 함수(trigonometric function) 또는 다른 초월 함수(transcendental function)를 포함하는 표현의 무한 합계 또는 유한 합계에 대해, 수학적 급수의 목록(list of mathematical series)을 참조하십시오.

General identities

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (분배성(distributivity))

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad$ (교환성(commutativity) 및 결합성(associativity))

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad$ (인덱스 이동)

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad$ 유한 집합 A에서 유한 집합 B 위로의 전단사(bijection) σ에 대하여 (인덱스 변경); 이것은 이전 공식을 일반화합니다.

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad$ (결합성(associativity)을 사용하여, 합을 분리함)

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad$ (이전 공식의 변형)

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad$ (다시, 교환성 및 결합성)

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad$ (교환성 및 결합서의 또 다른 응용)

$\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)\quad$ (합을 홀수 및 짝수 부분으로 나누고, 인덱스를 변경함)

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad$ (분배성(distributivity))

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)\quad$ (분배성은 인수분해를 허용합니다)

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (곱의 로그(logarithm)는 인수의 로그의 합입니다)

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad$ (합의 지수(exponential)는 더해지는-숫자의 지수의 곱입니다)

Powers and logarithm of arithmetic progressions

$\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad$ i에 의존하지 않는 모든 각 c에 대해

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad$ (가장-간단한 산술 진행(arithmetic progression)의 합, n 처음 자연수(natural number)로 구성됩니다)

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad$ (처음 홀의 자연수의 합)

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad$ (처음 짝의 자연수의 합)

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad$ (로그(logarithm)의 합은 곱의 로그입니다)

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad$ (처음 제곱(squares)의 합, 제곱 피라미드 숫자(square pyramidal number)를 참조하십시오.)

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad$ (니코마코스의 정리(Nicomachus's theorem))

보다 일반적으로,

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1},$

여기서 $B_{k}$는 베르누이 숫자(Bernoulli number) (즉 파울하버 공식(Faulhaber's formula))를 나타냅니다.

Summation index in exponents

다음 합계에 대해, a는 1과 다른 값으로 가정됩니다.

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}\quad$ (기하 진행(geometric progression)의 합)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}\quad$ (a = 1/2에 대해 특별한 경우)

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\quad$ (기하 진행의 a에 관한 도함수의 a배)

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}$

(산술–기하 수열(arithmetico–geometric sequence)의 합)

Binomial coefficients and factorials

Main article: Binomial coefficient § Sums of the binomial coefficients

이항 계수를 포함하는 매우 많은 합계 항등식이 존재합니다 (구체적 수학(Concrete Mathematics)의 전체 챕터는 바로 기본 기법에 사용됩니다). 가장 기본적인 것들의 일부는 다음입니다.

Involving the binomial theorem

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},\quad$ 이항 정리(binomial theorem)

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}\quad ,$ a = b = 1인 특별한 경우

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1,\quad$ p = a = 1 – b인 특별한 경우, 이것은 $0\leq p\leq 1$에 대해 이항 분포(binomial distribution)의 합을 나타냅니다

$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),\quad$ 이항 정리의 a에 관한 도함수(derivative)의 a = b = 1에서 값

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},\quad$ 이항 정리의 a에 관한 역도함수(antiderivative)의 a = b = 1에서 값

Involving permutation numbers

다음 합계에서, ${}_{n}P_{k}$는 n의 k-순열의 숫자입니다.

$\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})\quad$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}\quad$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$이고, $\lfloor x\rfloor$는 바닥 함수(floor function)을 나타냅니다.

Others

$\sum _{k=0}^{m}\left({\begin{array}{c}n+k\\n\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n+m+1\\n+1\\\end{array}}\right)$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

Harmonic numbers

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad$ (이것은 n번째 조화 숫자(Harmonic number)입니다)

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad$ (이것은 일반화된 조화 숫자(Generalized harmonic number)입니다)

Growth rates

다음은 (세타 표기법(theta notation) 사용을 사용하여) 유용한 근사(approximation)입니다:

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})\quad$ −1보다 큰 실수 c에 대해

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)\quad$ (조화 숫자(Harmonic number)를 참조하십시오)

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})\quad$ 1보다 큰 실수 c에 대해

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})\quad$ 비-음의(non-negative) 실수 c에 대해

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})\quad$ 비-음의 실수 c, d에 대해

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})\quad$ 비-음의 실수 b > 1, c, d에 대해

See also

• Einstein notation
• Iverson bracket
• Iterated binary operation
• Kahan summation algorithm
• Products of sequences
• Product (mathematics)

External links

• Media related to Summation at Wikimedia Commons
• "Summation". PlanetMath.