Surface of revolution

A torus as a square revolved around an axis along the diagonal of the square.

회전의 표면(surface of revolution)은 곡선 (생성선)을 회전의 축(axis of rotation) 주위로 완전히 한 바퀴 회전시킴으로써 만든 유클리드 공간의 표면입니다.^[1]

직선에 의해 생성된 회전의 표면의 예제는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 표면과 원뿔형 표면입니다. 임의의 지름 주위로 회전되는 원은 구를 생성하며 그 다음에는 큰 원(great circle)이 되고, 만약 그 원이 원의 내부와 교차하지 않는 축을 중심으로 회전하면, 그것은 자체 교차하지 않는 토러스를 생성합니다 (고리 토러스).

Properties

축을 통과하는 평면에 의해 만들어진 회전의 표면의 단면은 자오선 단면(meridional sections)이라고 불립니다. 임의의 자오선 단면은 그것과 축에 의해 결정되는 평면의 생성선으로 고려될 수 있습니다.^[2]

축에 수직인 평면에 의해 만들어진 회전의 표면의 단면은 원입니다.

(한 판 또는 두 판의) 쌍곡면체(hyperboloids)와 타원형 포물면체(elliptic paraboloids)의 일부 특수한 경우는 회전의 표면입니다. 이것들은 축에 수직인 모든 그것들의 교차 단면(cross sections)은 원형인 그것들의 이차 표면으로 식별될 수 있습니다.

Area formula

만약 곡선이 매개변수(parametric) 함수 $x (t)$ , $y (t)$ 에 의해 설명되고, $t$ 가 일부 구간 $[a, b]$ 에 걸쳐 있고, 회전의 축이 $y$ -축이면, 넓이 $A y$ 는 다음과 같이 적분(integral)에 의해 제공됩니다:

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,

단, $x (t)$ 는 끝점 $a$ 와 $b$ 사이에서 결코 음수가 아닙니다. 이 공식은 파푸스의 도형중심 정리(Pappus's centroid theorem)와 동등한 미적분입니다.^[3] 다음 양은

{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}

피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에서 유래하고 호 길이(arc length) 공식에서와 같이 곡선 호의 작은 분할을 나타냅니다. 양 $2π x (t)$ 는 파푸스의 정리에서 요구하는 대로 이 작은 분할 (의 도형중심)의 경로입니다.

마찬가지로, 회전의 축이 $x$ -축이고 $y (t)$ 가 음수가 아니라는 조건일 때, 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:^[4]

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.

만약 연속 곡선이 함수 $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ 에 의해 설명되면, 적분은 $x$ -축 주위로 회전에 대해 다음과 같이 됩니다:

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx

그리고 $y$ -축 주위로 회전에 대해 다음과 같이 됩니다 ( $a \geq 0$ 조건 아래에서):

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx

이것들은 위의 공식에서 유래합니다.^[5]

예를 들어, $t$ 가 $[0,π]$ 에 걸쳐 범위를 가질 때, 곡선 $y (t) = sin(t)$ , $x (t) = cos(t)$ 에 의해 단위 반지름을 갖는 구형 표면(spherical surface)이 생성됩니다. 따라서, 그 넓이는

{\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}

반지름 $r$ , $x$ -축을 기준으로 회전된 $y(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ 을 갖는 구형 곡선의 경우에 대해,

{\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}

회전의 최소 표면(minimal surface of revolution)은 표면 넓이(surface area)를 최소화하는 주어진 두 점 사이의 곡선의 회전의 표면입니다.^[6] 변화의 미적분(calculus of variations)의 기본 문제는 이 회전의 최소 표면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것입니다.^[6]

오직 두 개의 회전의 최소 표면 (최소 표면이기도 한 회전의 표면)은 평면과 현수면(catenoid)입니다.^[7]

Coordinate expressions

$y=f(x)$ 에 의해 설명되는 곡선을 $x$ -축 주위로 회전시킴으로써 주어지는 회전의 표면은 $y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}$ 에 의해 가장 간단하게 설명될 수 있습니다. 이것은 $(x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))$ 와 같이 $x$ 와 $\theta$ 의 관점에서 매개변수화를 산출합니다. 만약 대신 우리가 $y$ -축을 중심으로 곡선을 회전시키면, 곡선은 $y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})$ 에 의해 표현되며, 매개변수 $x$ 와 $\theta$ 의 관점에서 표현 $(x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))$ 을 산출합니다.

만약 $x$ 와 $y$ 가 매개변수 $t$ 의 관점에서 정의되면, $t$ 와 $\theta$ 의 관점에서 매개변수화를 얻습니다. 만약 $x$ 와 $y$ 가 $t$ 의 함수이면, 곡선을 $x$ -축 주위로 회전시킴으로써 얻은 회전의 표면은 $(x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))$ 에 의해 설명되고, 곡선을 $y$ -축 주위로 회전시킴으로써 얻은 회전의 표면은 $(x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))$ 에 의해 설명됩니다.

Geodesics

자오선(Meridians)은 항상 회전의 표면의 측지선입니다. 다른 측지선은 클레로의 관계(Clairaut's relation)에 따라 결정됩니다.^[8]

Toroids

회전의 축이 표면과 교차하지 않는 구멍이 있는 회전의 표면은 토로이드라고 불립니다.^[9] 예를 들어, 직사각형이 그것의 가장자리 중 하나와 평행한 축을 중심으로 회전되면, 속이 빈 정사각형-단면 고리가 생성됩니다. 만약 회전된 도형이 원이면, 대상은 토러스(torus)라고 불립니다.

Applications

회전의 표면의 사용은 물리학과 공학의 많은 분야에서 필수적입니다. 특정 물체가 디지털 방식으로 설계될 때, 이들 같은 회전은 설계 중인 물체의 길이와 반지름을 측정하는 것의 사용 없이 표면 넓이를 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.

References

^ Middlemiss; Marks; Smart. "15-4. Surfaces of Revolution". Analytic Geometry (3rd ed.). p. 378. LCCN 68015472.
^ Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (Revised ed.), D.C. Heath and Co., p. 227
^ Thomas, George B. "6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus". Calculus (3rd ed.). pp. 206–209, 217–219. LCCN 69016407.
^ Singh, R.R. (1993). Engineering Mathematics (6 ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
^ Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Minimal Surface of Revolution". MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. "Catenoid". MathWorld.
^ Pressley, Andrew. “Chapter 9 - Geodesics.” Elementary Differential Geometry, 2nd ed., Springer, London, 2012, pp. 227–230.
^ Weisstein, Eric W. "Toroid". MathWorld.

External links

Weisstein, Eric W. "Surface of Revolution". MathWorld.
"Surface de révolution". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French).

[1] Middlemiss; Marks; Smart. "15-4. Surfaces of Revolution". Analytic Geometry (3rd ed.). p. 378. LCCN 68015472.

[2] Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (Revised ed.), D.C. Heath and Co., p. 227

[3] Thomas, George B. "6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus". Calculus (3rd ed.). pp. 206–209, 217–219. LCCN 69016407.

[4] Singh, R.R. (1993). Engineering Mathematics (6 ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.

[5] Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7

[Mathworld:_Minimal_Surface_of_Revolution-6] Weisstein, Eric W. "Minimal Surface of Revolution". MathWorld.

[7] Weisstein, Eric W. "Catenoid". MathWorld.

[8] Pressley, Andrew. “Chapter 9 - Geodesics.” Elementary Differential Geometry, 2nd ed., Springer, London, 2012, pp. 227–230.

[9] Weisstein, Eric W. "Toroid". MathWorld.

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