수학(mathematics) 에서, 매니폴드(manifold) 의 접 공간 (tangent space )은 삼차원에서 표면에 접하는 평면의 개념과 이차원에서 곡선에 대한 접선의 개념을 더 높은 차원으로 일반화합니다. 물리학의 문맥에서 한 점에서 매니폴드에 대한 접하는 공간은 매니폴드에서 움직이는 입자의 가능한 속도의 공간으로 보일 수 있습니다.
Informal description A pictorial representation of the tangent space of a single point
x
{\displaystyle x}
sphere . A vector in this tangent space represents a possible velocity at
x
{\displaystyle x}
미분 기하학(differential geometry) 에서, 우리는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) 의 모든 각 점
x
{\displaystyle x}
접 공간 을 연결할 수 있습니다–이것은
x
{\displaystyle x}
벡터 공간(vector space) 입니다.
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
접 벡터 (tangent vector )유클리드 공간(Euclidean space) 에서 주어진 초기점을 기반으로 하는 벡터(vector) 의 개념의 일반화입니다. 연결된(connected) 매니폴드의 모든 각 점에서 접 공간의 차원(dimension) 은 매니폴드(manifold) 자체의 차원과 같습니다.
예를 들어, 만약 주어진 매니폴드가
2
{\displaystyle 2}
구(sphere) 이면, 우리는 한 점에서 접하는 공간을 해당 점에서 구와 접촉하고 그 점을 통해 구의 반지름에 수직(perpendicular) 인 평면으로 그릴 수 있습니다. 보다 일반적으로, 만약 주어진 매니폴드가 유클리드 공간(Euclidean space) 의 삽입된(embedded) 부분매니폴드(submanifold) 로 생각되면, 우리는 접선 공간을 이 문자 그대로 그릴 수 있습니다. 이것은 병렬 전송(parallel transport) 을 정의하는 것을 향한 전통적인 접근 방식이었습니다. 미분 기하학(differential geometry) 과 일반 상대성(general relativity) 에서 많은 저자들이 이것을 사용합니다.[1] [2]
대수 기하학(algebraic geometry) 에서, 대조적으로, 적어도
V
{\displaystyle V}
대수적 다양체(algebraic variety)
V
{\displaystyle V}
한 점에서 접 공간 의 본질적인 정의가 있습니다. 접선 공간의 차원이 정확하게
V
{\displaystyle V}
p
{\displaystyle p}
비-특이 점이라고 불립니다; 나머지는 특이 점이라고 불립니다. 예를 들어, 자체 교차하는 곡선은 해당 점에서 고유한 접선을 가지지 않습니다.
V
{\displaystyle V}
자르스키 접 공간(Zariski tangent space) 을 참조하십시오.
일단 매니폴드의 접 공간이 도입되면, 우리는 공간에서 움직이는 입자의 속도 필드의 추상화인 벡터 필드(vector field) 를 정의할 수 있습니다. 벡터 필드는 매니폴드의 모든 각 점에 매끄러운 방식에서 해당 점에서 접 공간으로부터 벡터를 연결합니다. 그러한 벡터 필드는 매니폴드에서 일반화된 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation) 을 정의하는 역할을 합니다: 그러한 미분 방정식에 대한 해는 임의의 점에서 도함수가 벡터 필드에 의해 해당 점에 연결된 접 벡터와 같은 매니폴드 위의 미분-가능 곡선(curve) 입니다.
매니폴드의 모든 접 공간은 매니폴드의 접 다발 (tangent bundle )
Formal definitions 위의 비공식적인 설명은 접 벡터가 매니폴드에서 주변 공간으로 "튀어나올" 수 있도록 주변 벡터 공간
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
[3]
매니폴드의 접 공간을 정의하는 등가 방법은 다양합니다. 곡선의 속도를 통한 정의는 직관적으로 가장 간단하지만, 그것이 역시 작업하기 가장 번거롭습니다. 보다 우아하고 추상적인 접근 방식이 아래에 설명되어 있습니다.
Definition via tangent curves 삽입된-매니폴드 그림에서, 점
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
곡선(curve) 의 속도 로 생각됩니다. 우리는 따라서 접 벡터를
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
매끄러움(smoothness)
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
C
k
{\displaystyle C^{k}}
미분-갸능 매니폴드(differentiable manifold) 이고
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
좌표 차트(coordinate chart)
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
열린 부분집합(open subset) 입니다. 나아가서
γ
1
(
0
)
=
x
=
γ
2
(
0
)
{\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}
γ
1
,
γ
2
:
(
−
1
,
1
)
→
M
{\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}
φ
∘
γ
1
,
φ
∘
γ
2
:
(
−
1
,
1
)
→
R
n
{\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}
x
{\displaystyle x}
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
0
{\displaystyle 0}
동등한 것이라고 말해지는 것과
0
{\displaystyle 0}
φ
∘
γ
1
{\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}
φ
∘
γ
2
{\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}
x
{\displaystyle x}
동치 관계(equivalence relation) 를 정의하고, 그러한 곡선의 동치 클래스(equivalence class) 는
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
접 벡터 로 알려져 있습니다. 임의의 그러한 곡선
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma '(0)}
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
접 공간 은 그때에
x
{\displaystyle x}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
The tangent space
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
v
∈
T
x
M
{\displaystyle v\in T_{x}M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
d
φ
x
(
γ
′
(
0
)
)
=
df
d
d
t
[
(
φ
∘
γ
)
(
t
)
]
|
t
=
0
{\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0}\,}
맵(map)
d
φ
x
:
T
x
M
→
R
n
{\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
∈
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
{\displaystyle \gamma }
맵
d
φ
x
{\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}
전단사(bijective) 인 것으로 밝혀졌고
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
n
{\displaystyle n}
Definition via derivations 이제
M
{\displaystyle M}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
f
:
M
→
R
{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {C^{\infty }}(M)}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
f
∘
φ
−
1
:
φ
[
U
]
⊆
R
n
→
R
{\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {C^{\infty }}(M)}
점별 곱(pointwise product) 과 함수의 합과 스칼라 곱셈에 관한 실수 결합 대수(associative algebra) 임을 주목하십시오.
점
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
x
{\displaystyle x}
도함수화 (derivation )선형 맵(linear map)
D
:
C
∞
(
M
)
→
R
{\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }
∀
f
,
g
∈
C
∞
(
M
)
:
D
(
f
g
)
=
D
(
f
)
⋅
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
D
(
g
)
,
{\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}
이것은 미적분의 곱 규칙(product rule) 을 모델로 한 것입니다.
(모든 각 동일하게 상수 함수
f
=
const
{\displaystyle f={\text{const}}}
D
(
f
)
=
0
{\displaystyle D(f)=0}
만약 우리가 다음에 의한
x
{\displaystyle x}
(
D
1
+
D
2
)
(
f
)
=
df
D
1
(
f
)
+
D
2
(
f
)
{\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} {D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}
(
λ
⋅
D
)
(
f
)
=
df
λ
⋅
D
(
f
)
{\displaystyle (\lambda \cdot D)(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \lambda \cdot D(f)}
우리는 실수 벡터 공간을 획득하며, 우리는 이것을
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
Generalizations 이 정의의 일반화는, 예를 들어, 복소 매니폴드(complex manifold) 와 대수적 다양체(algebraic varieties) 로 가능합니다. 어쨌든, 함수의 전체 대수로부터 도함수화
D
{\displaystyle D}
싹(germs) 수준에서 연구해야 합니다. 그 이유는 구조 뭉치(structure sheaf) 가 그러한 구조에 적합(fine) 하지 않을 수 있기 때문입니다. 예를 들어,
X
{\displaystyle X}
구조 뭉치(structure sheaf)
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
p
∈
X
{\displaystyle p\in X}
자르스키 접 공간(Zariski tangent space) 은 모든
k
{\displaystyle \mathbb {k} }
D
:
O
X
,
p
→
k
{\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }
k
{\displaystyle \mathbb {k} }
바닥 필드(ground field) 이고
O
X
,
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}
p
{\displaystyle p}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
줄기(stalk) 입니다.
Equivalence of the definitions
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
γ
(
0
)
=
x
{\displaystyle \gamma (0)=x}
γ
:
(
−
1
,
1
)
→
M
{\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}
D
γ
(
f
)
=
df
(
f
∘
γ
)
′
(
0
)
{\displaystyle {D_{\gamma }}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (f\circ \gamma )'(0)}
f
∘
γ
{\displaystyle f\circ \gamma }
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
D
γ
(
f
)
{\displaystyle D_{\gamma }(f)}
x
{\displaystyle x}
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma '(0)}
D
γ
′
(
0
)
(
f
)
=
df
(
f
∘
γ
)
′
(
0
)
{\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (f\circ \gamma )'(0)}
γ
∈
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}
γ
′
(
0
)
↦
D
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}
γ
′
(
0
)
{\displaystyle \gamma '(0)}
x
{\displaystyle x}
Definition via cotangent spaces 다시, 우리는
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
M
{\displaystyle M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
f
{\displaystyle f}
C
∞
(
M
)
{\displaystyle C^{\infty }(M)}
아이디얼(ideal)
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
I
2
{\displaystyle I^{2}}
몫 공간(quotient space)
I
/
I
2
{\displaystyle I/I^{2}}
테일러의 정리(Taylor's theorem) 의 사용을 통해 공동-접 공간(cotangent space)
T
x
∗
M
{\displaystyle T_{x}^{*}M}
동형적(isomorphic) 이 됨을 보일 수 있습니다. 접 공간
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
I
/
I
2
{\displaystyle I/I^{2}}
이중 공간(dual space) 으로 정의될 수 있습니다.
이 정의가 가장 추상적이지만, 다른 설정, 예를 들어 대수 기하학(algebraic geometry) 에서 고려되는 다양체(varieties) 로 가장 쉽게 이전될 수 있는 정의이기도 합니다.
만약
D
{\displaystyle D}
x
{\displaystyle x}
f
∈
I
2
{\displaystyle f\in I^{2}}
D
(
f
)
=
0
{\displaystyle D(f)=0}
D
{\displaystyle D}
I
/
I
2
→
R
{\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }
r
:
I
/
I
2
→
R
{\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }
D
(
f
)
=
df
r
(
(
f
−
f
(
x
)
)
+
I
2
)
{\displaystyle D(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}
x
{\displaystyle x}
Properties 만약
M
{\displaystyle M}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
M
{\displaystyle M}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
항등 맵(identity maps) 으로 취하여) 자연스러운 방식에서
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Tangent vectors as directional derivatives 접 벡터에 대해 생각하는 또 다른 방법은 방향 도함수(directional derivative) 입니다.
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
v
{\displaystyle v}
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
∀
f
∈
C
∞
(
R
n
)
:
(
D
v
f
)
(
x
)
=
df
d
d
t
[
f
(
x
+
t
v
)
]
|
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
f
∂
x
i
(
x
)
.
{\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}
이 맵은 자연스럽게
x
{\displaystyle x}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
한 점에서 일반적인 매니폴드에 대한 접 벡터는 해당 점에서 도함수화로 정의될 수 있기 때문에, 그것들을 방향 도함수로 생각하는 것이 당연합니다. 구체적으로, 만약
v
{\displaystyle v}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
v
{\displaystyle v}
D
v
{\displaystyle D_{v}}
∀
f
∈
C
∞
(
M
)
:
D
v
(
f
)
=
df
v
(
f
)
.
{\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} v(f).}
만약 우리가
v
{\displaystyle v}
x
{\displaystyle x}
γ
{\displaystyle \gamma }
v
=
γ
′
(
0
)
{\displaystyle v=\gamma '(0)}
D
v
{\displaystyle D_{v}}
∀
f
∈
C
∞
(
M
)
:
D
v
(
f
)
=
df
(
f
∘
γ
)
′
(
0
)
.
{\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (f\circ \gamma )'(0).}
Basis of the tangent space at a point
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
M
{\displaystyle M}
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}
p
∈
U
{\displaystyle p\in U}
T
p
M
{\displaystyle T_{p}M}
{
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
}
{\textstyle \left\{\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)_{p},\dots ,\left({\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)_{p}\right\}}
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
∀
f
∈
C
∞
(
M
)
:
(
∂
∂
x
i
)
p
(
f
)
=
df
(
∂
∂
x
i
(
f
∘
φ
−
1
)
)
(
φ
(
p
)
)
.
{\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}}(f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}
그런-다음 모든 각 접 벡터
v
∈
T
p
M
{\displaystyle v\in T_{p}M}
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
⋅
(
∂
∂
x
i
)
p
.
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}.}
이 공식은 따라서
v
{\displaystyle v}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
(
∂
∂
x
i
)
p
∈
T
p
M
{\textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}\in T_{p}M}
[4]
The derivative of a map 매끄러운 (또는 미분-가능) 매니폴드 사이의 모든 각 매끄러운 (또는 미분-가능) 맵
φ
:
M
→
N
{\displaystyle \varphi :M\to N}
선형 맵(linear map) 을 유도합니다:
d
φ
x
:
T
x
M
→
T
φ
(
x
)
N
.
{\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}
만약 그 접 공간이 미분-가능 곡선을 통해 정의되면, 이 맵은 다음에 의해 정의됩니다:
d
φ
x
(
γ
′
(
0
)
)
=
df
(
φ
∘
γ
)
′
(
0
)
.
{\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} (\varphi \circ \gamma )'(0).}
만약, 대신, 그 접 공간이 도함수화를 통해 정의되면, 이 맵은 다음에 의해 정의됩니다:
[
d
φ
x
(
D
)
]
(
f
)
=
df
D
(
f
∘
φ
)
.
{\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} D(f\circ \varphi ).}
선형 맵
d
φ
x
{\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}
x
{\displaystyle x}
φ
{\displaystyle \varphi }
도함수 , 전체 도함수 , 미분 , 또는 밂 이라고 불립니다. 그것은 자주 다른 다양한 표기법을 사용하여 표현됩니다:
D
φ
x
,
(
φ
∗
)
x
,
φ
′
(
x
)
.
{\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}
한 의미에서, 도함수는
x
{\displaystyle x}
φ
{\displaystyle \varphi }
N
=
R
{\displaystyle N=\mathbb {R} }
d
φ
x
:
T
x
M
→
R
{\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }
φ
{\displaystyle \varphi }
미분(differential) 의 보통의 개념과 일치함을 주목하십시오. 지역 좌표(local coordinates) 에서,
φ
{\displaystyle \varphi }
야코비(Jacobian) 에 의해 제공됩니다.
도함수 맵과 관련된 중요한 결과는 다음과 같습니다:
이것은 매니폴드 사이의 매핑에 대한 역 함수 정리(inverse function theorem) 의 일반화입니다.
See also Notes References Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics , vol. 107, Providence: American Mathematical Society Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus ISBN 978-0-8053-9021-6 External links
![{\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0}\,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc2b9f3d4ee8af0630f9409c4fa6f3c7ccbe0a1)
![{\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aeb6f9eb7559fb915f3645b06bf2d1da494d814)
![{\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x)\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa2cf51f8174a30313c8181f37e9a298515cc73)
\mathrel {\stackrel {\text{df}}{=}} D(f\circ \varphi ).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253edb90df61ab6d1ead82d27bcd26518734e627)
