Map (mathematics)

수학(mathematics)에서, 맵은 종종 함수(function)의 동의어로 사용되지만,^[1] 역시 일부 일반화를 참조할 수 있습니다. 원래, 이것은 매핑의 약자였으며, 종종 도메인(domain)의 원소에 함수를 적용하는 행동을 참조합니다. 이 용어는 완전히 고정된 것은 아닌데, 왜냐하면 이들 용어는 일반적으로 공식적으로 정의되지 않고, 특수 용어(jargon)로 고려될 수 있기 때문입니다.^[2]^[3] 이들 용어는 지구 표면을 종이의 용지에 매핑하는 것으로 구성되는 지리적 지도(geographical map)를 만드는 과정의 일반화로 시작되었을 수 있습니다.^[4]

맵은 비록 그 용어가 일부 겹치는 부분을 공유하지만 함수(function) 또는 사상(morphism)일 수 있습니다.^[4] 용어 맵은 준동형(homomorphism)과 같은 일부 특수 유형의 함수를 구별하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 선형 맵(linear map)은 벡터 공간(vector space)의 준동형이고, 반면에 용어 선형 함수(linear function)는 이 의미와 마찬가지로 또 다른 의미를 가질 수 있습니다.^[5]^[6] 카테고리 이론(category theory)에서, 맵은 함수의 아이디어의 일반화인 사상을 참조할 수 있습니다. 어떤 상황에서, 용어 변환(transformation)이 역시 교환-가능하게 사용될 수 있습니다.^[4] 논리(logic) 및 그래프 이론(graph theory)에서 역시 덜 공통적인 사용이 있습니다.

Maps as functions

수학의 많은 가지에서, 용어 맵은 함수(function)를 의미하기 위해,^[7]^[3]^[8] 때때로 해당 가지에 특히 중요한 특정 속성을 의미하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, "맵"은 토폴로지(topology)에서 "연속 함수(continuous function)", 선형 대수(linear algebra)에서 "선형 변한(linear transformation)", 등입니다.

서지 랭(Serge Lang)과 같은 일부 저자는 "함수"를 오직 코도메인(codomain)이 숫자의 집합 (즉, R 또는 C의 부분집합)인 맵을 참조하기 위해 사용하고, 보다 일반적인 함수에 대해 용어 매핑을 남겨둡니다.^[9]

특정 종류의 맵은 많은 중요한 이론의 주제입니다. 이것들은 추상 대수(abstract algebra)에서 준동형(homomorphisms), 기하학(geometry)에서 등거리-변환(isometries), 해석학(analysis)에서 연산자(operators) 및 그룹 이론(group theory)에서 표시(representations)를 포함합니다.^[4]

동역학적 시스템(dynamical system)의 이론에서, 냅은 이산 동역학적 시스템(discrete dynamical systems)을 생성하기 위해 사용된 진화 함수(evolution function)를 나타냅니다.

부분 맵은 부분 함수입니다. 도메인(domain), 코도메인(codomain), 단사(injective), 및 연속(continuous)과 같은 관련된 용어는 같은 의미와 함께 맵과 함수에 동일하게 적용될 수 있습니다. 모든 이들 사용법은 일반 함수로 또는 특수 속성을 갖는 함수로 "맵"에 적용할 수 있습니다.

As morphisms

카테고리 이론에서, "맵"은 종종 "사상" 또는 "화살"에 대한 동의어로 사용되고, 따라서 "함수"보다 더 일반적입니다.^[10] 예를 들어, 구체적 카테고리(concrete category)에서 사상 $f:\,X\to Y$ (즉, 함수로 보일 수 있는 사상)은 도메인 (사상의 원천 $X$ )와 코도메인 (대상 $Y$ )의 정보를 함께 전달합니다. 함수 $f:X\to Y$ 의 광범위하게 사용된 정의에서, $f$ 는 $x\in X$ 에 대해 모든 쌍 $(x,f(x))$ 를 구성하는 $X\times Y$ 의 부분집합입니다. 이 의미에서, 그 함수는 집합 $Y$ 가 코도메인으로 사용되는 정보를 포획하지 않습니다; 오직 치역 $f(X)$ 가 함수에 의해 결정됩니다.

Other uses

In logic

형식적 논리(formal logic)에서, 용어 맵은 때때로 함수형 술어(functional predicate)에 사용되고, 반면에 함수는 집합 이론(set theory)에서 그러한 술어(predicate)의 모델(model)입니다.

In graph theory

그래프 이론(graph theory)에서, 맵은 겹치는 가장자리 (삽입(embedding))없이 표면 위에 그래프(graph)의 그림입니다. 만약 그 표면이 평면(plane)이면, 맵은 정치적 맵(political map)와 유사한 평면 그래프(planar graph)입니다.^[11]

In computer science

함수를 첫 번째-클래스 시민(first-class citizen)으로 취급하는 프로그래밍 언어(programming language)를 둘러싼 커뮤니티에서, 맵(map)은 종종 함수 f와 목록(list) [v₀, v₁, ..., v_n]을 인수(arguments)로 취하고 [f(v₀), f(v₁), ..., f(v_n)] (여기서 n ≥ 0)를 반환하는 이항(binary) 고차 함수(higher-order function)를 참조합니다.

References

^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970, p. 30. Some authors use the term map with a more general meaning than function, which may be restricted to apply to numbers only.
^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mapping". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-06.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Map". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-06.
^ ^a ^b ^c ^d "Mapping | mathematics". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-06.
^ Apostol, T. M. (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 35. ISBN 0-201-00288-4.
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^ Lang, Serge (1971). Linear Algebra (2nd ed.). Addison-Wesley. p. 83. ISBN 0-201-04211-8.
^ Simmons, H. (2011). An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press. p. 2. ISBN 978-1-139-50332-7.
^ Gross, Jonathan; Yellen, Jay (1998). Graph Theory and its applications. CRC Press. p. 294. ISBN 0-8493-3982-0.

External links

[1] The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970, p. 30. Some authors use the term map with a more general meaning than function, which may be restricted to apply to numbers only.

[2] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mapping". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-06.

[:0-3] Weisstein, Eric W. "Map". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-06.

[:1-4] "Mapping | mathematics". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-06.

[5] Apostol, T. M. (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 35. ISBN 0-201-00288-4.

[6] Stacho, Juraj (October 31, 2007). "Function, one-to-one, onto" (PDF). cs.toronto.edu. Retrieved 2019-12-06.

[7] "Functions or Mapping | Learning Mapping | Function as a Special Kind of Relation". Math Only Math. Retrieved 2019-12-06.

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[9] Lang, Serge (1971). Linear Algebra (2nd ed.). Addison-Wesley. p. 83. ISBN 0-201-04211-8.

[10] Simmons, H. (2011). An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press. p. 2. ISBN 978-1-139-50332-7.

[11] Gross, Jonathan; Yellen, Jay (1998). Graph Theory and its applications. CRC Press. p. 294. ISBN 0-8493-3982-0.

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