Torque

Original article: w:Torque

For other uses, see Torque (disambiguation).

Torque
Relationship between force F, torque τ, linear momentum p, and angular momentum L in a system which has rotation constrained to only one plane (forces and moments due to gravity and friction not considered).
Common symbols	$\tau$, M
SI unit	N⋅m
Other units	pound-force-feet, lbf⋅inch, ozf⋅in
In SI base units	kg⋅m2⋅s−2
Dimension	M L2T−2

물리학(physics)과 역학(mechanics)에서, 토크(torque)는 선형 힘(force)의 회전적 아날로그입니다. 그것은 역시 힘의 모멘트(moment of force)라고 참조됩니다 (역시 모멘트(moment)라고 축약됩니다). 그것은 고립된 물체에 전달되는 각 운동량의 변화의 율을 나타냅니다. 그 개념은 지렛대 사용에 대한 아르키메데스에 의한 연구에서 비롯되었으며, 이는 그의 유명한 인용문에 반영되어 있습니다: "나에게 지렛대와 서 있을 곳을 주시면 나는 지구를 움직일 것입니다". 선형 힘이 물체에 가해져 밀거나 당기는 것과 마찬가지로, 토크는 선택한 지점에 관해 물체에 가해지는 비틀림으로 생각될 수 있습니다. 토크는 힘의 수직 성분의 크기와 토크가 결정되는 지점에서 힘의 작용의 선(line of action)의 거리의 곱으로 정의됩니다. 에너지 보존(conservation of energy)의 법칙은 토크를 이해하는 데에도 사용될 수 있습니다. 토크에 대한 기호는 전형적으로 그리스 소문자 타우(tau), ${\boldsymbol {\tau }}$입니다. 힘의 모멘트(moment)로 참조될 때, 그것은 공통적으로 M으로 표시합니다.

삼 차원에서, 토크는 유사벡터(pseudovector)입니다; 점 입자(point particles)에 대해, 그것은 변위 벡터(displacement vector)와 힘 벡터의 교차 곱(cross product)으로 제공됩니다. 강체에 가해지는 토크의 크기는 가해지는 힘, 토크가 측정되는 지점과 힘이 가해지는 지점을 연결하는 지렛대 팔 벡터(lever arm vector), 및 힘과 지렛대 팔 벡터 사이의 각도의 세 가지 양에 따라 달라집니다. 기호에서:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

$\tau =rF\sin \theta ,$

여기서

• ${\boldsymbol {\tau }}$는 토크 벡터이고 $\tau$는 토크의 크기입니다,
• $\mathbf {r}$은 위치 벡터 (토크가 측정되는 지점에서 힘이 가해지는 지점까지의 벡터)이고, r은 위치 벡터의 크기입니다,
• $\mathbf {F}$는 힘 벡터이고, F는 힘 벡터의 크기입니다,
• $\times$는 교차 곱(cross product)을 나타내며, 이는 오른손 법칙에 따라 r과 F 모두에 수직인 벡터를 생성합니다,
• $\theta$는 힘 벡터와 지렛대 팔 벡터 사이의 각도입니다.

토크에 대한 SI 단위는 뉴턴-미터 (N⋅m)입니다. 토크 단위에 대한 자세한 내용에 대해, § Units를 참조하십시오.

History

See also: Couple (mechanics)

용어 torque (라틴어 torquēre "to twist"에서 유래)는 제임스 톰슨(James Thomson)에 의해 제안되어 왔던 것으로 알려져 있고 1884년 4월 인쇄본에 나타났습니다. 용도는 같은 해 Dynamo-Electric Machinery의 초판에서 실바누스 P. 톰슨(Silvanus P. Thompson)에 의해 증명되었습니다. 톰슨은 다음과 같이 용어에 동기를 부여합니다:

"힘"에 대한 뉴턴의 정의가 (선을 따라) 움직임을 생성하거나 생성하는 경향이 있는 것과 마찬가지로, "토크"는 (축 주위로) 비틀림(torsion)을 생성하거나 생성하는 경향이 있는 것으로 정의될 수 있습니다. 더 복잡한 아이디어를 제안하는 "커플(couple)" 및 "모멘트(moment)"와 같은 용어를 사용하는 것보다 이러한 동작을 단일 명확한 실제로 취급하는 용어를 사용하는 것이 좋습니다. 축을 돌리기 위해 적용되는 비틀림이라는 단일 개념은 특정 지렛대와 함께 선형 힘 (또는 한 쌍의 힘)을 적용하는 보다 복잡한 개념보다 낫습니다.

오늘날, 토크는 지리적 위치와 연구 분야에 따라 다른 용어를 사용하여 언급됩니다. 이 기사는 torgue라는 단어의 사용에 있어 미국 물리학에서 사용되는 정의를 따릅니다.

영국과 미국의 기계 공학(mechanical engineering)에서, 토크는 힘의 모멘트(moment of force)(moment of force)라고 참조되며, 보통 모멘트(moment)로 축약됩니다. 이 용어는 Siméon Denis Poisson의 Traité de mécanique에서 적어도 1811년으로 거슬러 올라갑니다. 1842년에는 푸아송의 연구를 영어로 번역했습니다.

Definition and relation to angular momentum

A particle is located at position r relative to its axis of rotation. When a force F is applied to the particle, only the perpendicular component F_⊥ produces a torque. This torque τ = r × F has magnitude τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sin θ and is directed outward from the page.

지렛대에 수직으로 가해지는 힘에 지렛대의 받침점(lever's fulcrum)에서 거리 (지렛대 팔의 길이)를 곱한 것이 그것의 토크입니다. 예를 들어, 받침점에서 2미터 떨어진 곳에 3뉴턴의 힘을 가하면 받침점에서 6미터 떨어진 곳에 1뉴턴의 힘을 가한 것과 같은 토크가 발생합니다. 토크의 방향은 오른손 쥐는 규칙(right hand grip rule)을 사용함으로써 결정될 수 있습니다: 오른손 손가락이 지렛대 팔 방향에서 힘의 방향으로 말리면, 엄지 손가락이 토크 방향을 가리킵니다.

보다 일반적으로, 점 입자 (일부 참조 프레임에서 위치 r을 가짐)에 대한 토크는 교차 곱(cross product)으로 정의될 수 있습니다:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$

여기서 F는 입자에 작용하는 힘입니다. 토크의 크기 τ는 다음에 의해 제공됩니다:

$\tau =rF\sin \theta ,$

여기서 F는 적용된 힘의 크기이고, θ는 위치 벡터와 힘 벡터 사이의 각도입니다. 대안적으로,

$\tau =rF_{\perp },$

여기서 F_⊥는 입자의 위치에 수직으로 향하는 힘의 총양입니다. 입자의 위치 벡터에 평행으로 향하는 임의의 힘은 토크를 생성하지 않습니다.

토크 벡터가 위치 벡터와 힘 벡터 모두에 수직이라는 것은 교차 곱의 속성에서 따릅니다. 반대로, 토크 벡터는 위치 벡터와 힘 벡터가 놓이는 평면을 정의합니다. 결과적인 토크 벡터 방향은 오른손 법칙에 의해 결정됩니다.

물체의 알짜 토크는 물체의 각 운동량(angular momentum)의 변화율을 결정합니다,

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$

여기서 L은 각 운동량 벡터이고 t는 시간입니다.

점 입자의 운동에 대해,

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

여기서 $I$는 관성 모멘트(moment of inertia)이고 ${\boldsymbol {\omega }}$는 궤도 각속도(angular velocity) 유사벡터입니다. 다음임이 따라옵니다:

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {\mathrm {d} (mr^{2})}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},$

여기서 ${\boldsymbol {\alpha }}$는 입자의 각가속도(angular acceleration)이고 p_||은 그것의 선형 운동량(linear momentum)의 방사형 성분입니다. 이 방정식은 점 입자에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's second law)의 회전적 아날로그이고, 임의의 유형의 궤적에 대해 유효합니다. 비록 힘과 가속도가 항상 평행하고 직접 비례하지만, 토크 ${\boldsymbol {\tau }}$는 각가속도 ${\boldsymbol {\alpha }}$와 평행하거나 직접 비례할 필요가 없음에 주목하십시오. 이것은 질량은 항상 보존되지만 일반적으로 관성 모멘트는 그렇지 않다는 사실에서 발생합니다.

회전하는 디스크와 같은 일부 간단한 경우에서, 관성 모멘트는 일정하고, 회전적 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음이 될 수 있습니다.

$${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}$$여기서 ${\textstyle I=mr^{2}}$이고 ${\boldsymbol {\alpha }}={d{\boldsymbol {\omega }} \over dt}$입니다.

Proof of the equivalence of definitions

단일 점 입자에 대한 각 운동량의 정의는 다음과 같습니다: $$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$ 여기서 $\mathbf {p}$는 입자의 선형 운동량(linear momentum)이고 $\mathbf {r}$은 원점으로부터의 위치 벡터입니다. 이것의 시간-도함수는 다음과 같습니다: $${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} .$$

이 결과는 벡터를 성분으로 분할하고 곱 규칙(product rule)을 적용함으로써 쉽게 증명할 수 있습니다. 이제 힘의 정의 ${\textstyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ (질량이 일정한지 여부)와 속도 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} }$의 정의를 사용합니다: $${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} .$$

속도와 운동량이 평행하기 때문에 운동량 $\mathbf {p}$와 그것의 결합된 속도 $\mathbf {v}$의 교차 곱은 영이므로, 두 번째 항은 사라집니다.

정의에 의해, 토크 ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$입니다. 그러므로, 입자의 토크는 시간에 관한 각 운동량의 일차 도함수(first derivative)와 같습니다.

만약 여러 힘이 가해지면, 뉴턴의 두 번째 법칙은 대신 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$를 읽고, 다음을 따릅니다.$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.$$

이것은 점 입자에 대한 일반적인 증명입니다.

증명은 위의 증명을 각각의 점 입자에 적용하고 그런-다음 모든 점 입자를 합함으로써 점 입자 시스템으로 일반화될 수 있습니다. 마찬가지로, 증명은 위의 증명을 질량 내의 각 점에 적용하고 그런-다음 전체 질량에 대해 적분함으로써 증명을 연속 질량으로 일반화될 수 있습니다.

Units

토크는 힘과 거리(distance)의 차원을 가지며, 기호적으로 T⁻²L²M입니다. 그것들 토대 차원은 에너지 또는 일(work)에 대한 차원과 같지만, 공식 SI 문헌은 뉴턴-미터 (N⋅m) 단위를 사용하고 절대 줄(joule)을 사용하지 말 것을 제안합니다. 뉴턴-미터 단위는 N⋅m으로 적절하게 표시됩니다.

토크에 대한 전통적인 영국식 및 미국 관습 단위는 파운드 피트 (lbf-ft), 또는 작은 값에 대해 파운드 인치 (lbf-in)입니다. 미국에서, 토크는 가장 공통적으로 풋-파운드(foot-pound, lb-ft 또는 ft-lb로 표시) 및 인치-파운드(inch-pound, in-lb로 표시)라고 참조됩니다. 실무자는 약어에서 하이픈과 문맥에 의존하여 이것이 에너지나 질량 모멘트 (ft-lb가 적절하게 암시하는 것처럼)가 아니라 토크를 나타냄을 알 수 있습니다.

Special cases and other facts

Moment arm formula

Moment arm diagram

물리학 이외의 분야에서 종종 토크의 정의로 주어지는 매우 유용한 특별한 경우는 다음과 같습니다:

$\tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).$

"모멘트 팔"의 구성은 위에서 언급한 벡터 $\mathbf {r}$과 $\mathbf {F}$와 함께 오른쪽 그림에 표시됩니다. 이 정의의 문제점은 토크의 방향을 제공하지 않고 크기만 제공하고, 따라서 삼-차원 경우에 사용하기 어렵다는 것입니다. 만약 힘이 변위 벡터 $\mathbf {r}$에 수직이면, 모멘트 팔은 중심까지의 거리와 같을 것이고, 토크는 주어진 힘에 대해 최대가 될 것입니다. 수직 힘에서 발생하는 토크의 크기에 대한 방정식은 다음과 같습니다:

$\tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).$

예를 들어, 만약 사람이 길이가 0.5 m인 렌치의 끝단에 10 N의 힘 (또는 임의의 길이의 렌치의 꼬인 지점에서 0.5 m에 작용하는 10 N의 힘)을 가하면, 토크는 5 N⋅m입니다 – 사람이 이동 평면에서 렌치에 수직으로 힘을 가함으로써 렌치를 움직인다고 가정합니다.

The torque caused by the two opposing forces F_g and −F_g causes a change in the angular momentum L in the direction of that torque. This causes the top to precess.

Static equilibrium

물체가 정적 평형 상태(static equilibrium)에 있으려면, 힘의 합이 영이어야 할 뿐만 아니라, 임의의 지점에 대한 토크 (모멘트)의 합도 영이어야 합니다. 수평 힘과 수직 힘을 갖는 이-차원 상황에 대해, 힘 요구 사항의 합은 두 방정식: ΣH = 0 및 ΣV = 0이고, 토크는 세 번째 방정식: Στ = 0입니다. 즉, 정적으로 결정된 평형 문제를 풀기 위해 이-차원에서, 세 개의 방정식이 사용됩니다.

Net force versus torque

시스템의 알짜 힘이 영일 때, 공간에서 임의의 지점에서 측정된 토크는 같습니다. 예를 들어, 균등한 자기장에서 전류가 흐르는 루프의 토크는 참조의 점에 관계없이 같습니다. 만약 알짜 힘 $\mathbf {F}$가 영이 아니고, ${\boldsymbol {\tau }}_{1}$이 $\mathbf {r} _{1}$에서 측정된 토크이면, $\mathbf {r} _{2}$에서 측정된 토크는 다음과 같습니다: $${\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F}$$

Machine torque

Torque curve of a motorcycle ("BMW K 1200 R 2005"). The horizontal axis shows the speed (in rpm) that the crankshaft is turning, and the vertical axis is the torque (in newton-metres) that the engine is capable of providing at that speed.

토크는 엔진의 기본 사양의 일부를 형성합니다: 엔진의 일률(power) 출력은 토크에 구동 축의 각속력을 곱한 값으로 표현됩니다. 내부-연소 엔진은 제한된 범위의 회전 속력 (전형적으로 소형차에 대해 약 1,000~6,000rpm)에서만 유용한 토크를 생성합니다. 동력계(dynamometer)를 사용하여 해당 범위에서 다양한 토크 출력을 측정하고 토크 곡선으로 표시할 수 있습니다.

증기 엔진(steam engines)과 전기 모터(electric motors)는 영 rpm에 가까운 최대 토크를 생성하는 경향이 있으며, 회전 속력이 증가함에 따라 토크가 (마찰과 기타 제약 증가로 인해) 감소합니다. 왕복 증기-엔진과 전기 모터는 클러치 없이 영 rpm에서 무거운 부하를 시작할 수 있습니다.

Relationship between torque, power, and energy

만약 힘(force)이 먼 거리를 통해 작용하도록 허용되면, 그것은 기계적인 일(mechanical work)을 하는 것입니다. 마찬가지로, 만약 토크가 각도 변위를 통해 작용하도록 허용되면, 그것은 일을 수행하는 것입니다. 수학적으로, 질량의 중심(center of mass)을 통과하는 고정된 축에 대한 회전에 대해, 일 W는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,$

여기서 τ는 토크이고, θ₁와 θ₂는 (각각) 물체의 초기 각 위치(angular positions)와 마지막 각 위치를 나타냅니다.

Proof

유한 선형 변위 $s$에 작용하는 변하는 힘에 의해 행한 일은 원소 선형 변위 $\mathrm {d} \mathbf {s}$에 관한 힘을 적분함으로써 제공됩니다:

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$

어쨌든, 무한소 선형 변위 $\mathrm {d} \mathbf {s}$는 다음과 같이 해당하는 각도 변위 $\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$와 반지름 벡터 $\mathbf {r}$과 관련이 있습니다:

$\mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$

일에 대한 위 식의 치환은 다음을 제공합니다:

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$

표현 $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$은 $\left[\mathbf {F} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\,\mathbf {r} \right]$로 주어진 스칼라 삼중 곱(scalar triple product)입니다. 같은 스칼라 삼중 곱에 대한 대안적인 표현은 다음과 같습니다:

$\left[\mathbf {F} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\,\mathbf {r} \right]=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$

그러나 토크의 정의에 의해,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

일의 표현에서 해당하는 치환은 다음을 제공합니다:

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$

적분의 매개변수가 선형 변위에서 각도 변위로 변경되었으므로, 적분의 극한도 그에 따라 변경되므로, 다음을 제공합니다:

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$

만약 토크와 각도 변위가 같은 방향에 있으면, 스칼라 곱은 크기의 곱으로 줄어듭니다. 즉, ${\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\left|{\boldsymbol {\tau }}\right|\left|\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\right|\cos 0=\tau \,\mathrm {d} \theta$이며 다음을 제공합니다:

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta$

일-에너지 원리(work–energy principle)에 따르면 W는 역시 다음에 의해 제공된 물체의 회전 운동 에너지(rotational kinetic energy) $E_{\mathrm {r} }$의 변화를 나타낸다는 것에 따릅니다:

$E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},$

여기서 $I$는 물체의 관성 모멘트(moment of inertia)이고 $\omega$는 그것의 각속력(angular speed)입니다.

일률(Power)은 다음에 의해 제공된 단위 시간당 일입니다:

$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},$

여기서 P는 일률, τ는 토크, ω는 각 속도(angular velocity)이고, $\cdot$ 는 스칼라 곱(scalar product)을 나타냅니다.

대수적으로, 방정식은 주어진 각속력과 일률 출력에 대한 토크를 계산하기 위해 다시 정렬될 수 있습니다. 토크에 의해 주입된 일률은 토크가 적용되는 동안 각속력이 증가, 감소, 또는 일정하게 유지되는지 여부가 아닌 순간 각속력에만 의존한다는 점에 유의하십시오(이것은 힘에 의해 주입된 일률이 결과 가속도가 아니라 순간 속력에만 의존하는 선형 경우와 동등합니다).

실제로, 이 관계는 자전거에서 관찰될 수 있습니다: 자전거는 전형적으로 두 개의 로드 휠, 체인과 맞물리는 전방 기어와 후방 기어 (스프로킷이라고 참조됨), 및 자전거의 전동 시스템이 모두가 프레임에 부착되어 여러 기어비를 사용되도록 허용하면 (즉, 다중-속력 자전거) 변속기 메커니즘으로 구성됩니다. 자전거를 타는 사람인 사이클리스트는 페달을 돌려 앞 스프로킷 (공통적으로 체인링이라고 참조됨)을 크랭킹함으로써 입력 동력을 제공합니다. 사이클리스트에 의해 제공된 입력 일률은 각속력 (즉, 분당 페달 회전 수 x 2π)과 자전거 크랭크셋 스핀들에 토크의 곱과 같습니다. 자전거의 구동계(drivetrain)는 입력된 일률을 로드 휠에 전달하고. 이는 차례로 받은 일률을 자전거의 출력 일률로 도로에 전달합니다. 자전거의 기어비에 따라, (토크, 각속력)_입력 쌍이 (토크, 각속력)_출력 쌍으로 변환됩니다. 더 큰 후방 기어를 사용하거나, 여러-속력 자전거에서 더 낮은 기어로 전환하면, 로드 휠의 각속력은 감소하고 토크는 증가하며, 그 결과 (즉, 일률)는 변하지 않습니다.

SI 단위에 대해, 일률의 단위는 와트이고, 토크의 단위는 뉴턴-미터이고, 각속력의 단위는 초당 라디안입니다 (rpm 및 초당 회전수가 아닙니다).

뉴턴-미터 단위는 에너지 단위인 줄(joule)과 차원적으로 동등합니다. 토크의 경우에서, 단위는 벡터(vector)에 할당되지만, 에너지에 대해, 단위는 스칼라(scalar)에 할당됩니다. 이것은 뉴턴-미터와 줄의 차원적 동등성이 전자에 적용될 수 있지만, 후자의 경우에는 적용되지 않음을 의미합니다. 이 문제는 라디안을 무차원 단위가 아닌 기본 단위로 취급하는 방향성 분석(orientational analysis)에서 해결됩니다.

Conversion to other units

변환 인수는 동력이나 토크의 다른 단위를 사용할 때 필요할 수 있습니다. 예를 들어, 만약 각속력 (단위: 초당 라디안) 대신에 회전 속력 (단위: 분당 회전수 또는 초당 회전수)를 사용한다면, 회전당 2π 라디안을 곱해야 합니다. 다음 공식에서, P는 일률, τ는 토크, 및 ν (그리스 문자 nu)는 회전 속력입니다:

$P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu$

단위를 표시하면:

$P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/s}}$

분당 60초로 나누면 다음을 제공합니다:

$P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{\rm {60~s/min}}}$

여기서 회전 속력은 분당 회전수 (rpm, rev/min)입니다.

일부 사람들 (예를 들어, 미국 자동차 공학자)은 일률에 대해 마력 (기계적)을, 토크에 대해 풋-파운드 (lbf⋅ft)를, 및 회전 속력에 대해 rpm을 사용합니다. 그 결과 수식이 다음과 같이 변경됩니다:

$P_{\rm {hp}}={\frac {\tau _{\rm {lbf{\cdot }ft}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{33,000}}.$

아래 상수 (분당 풋-파운드 단위)는 마력의 정의에 따라 변경됩니다; 예를 들어, 메트릭 마력을 사용하면, 그것은 근사적으로 32,550이 됩니다.

다른 단위 (예를 들어, 일률에 대해 시간당 BTU)를 사용하려면 다른 사용자-지정 변환 인수가 필요합니다.

Derivation

회전하는 물체에 대해, 회전의 둘레(circumference)에서 다루는 선형 거리는 반지름과 다루는 각도를 곱한 것입니다. 즉: 선형 거리 = 반지름 × 각 거리입니다. 그리고 정의에 의해, 선형 거리 = 선형 속력 × 시간 = 반지름 × 각 속력 × 시간입니다.

토크의 정의에 의해: 토크 = 반지름 × 힘입니다. 이것을 재정렬하여 힘 = 토크 ÷ 반지름을 결정할 수 있습니다. 이들 두 값은 일률(power)의 정의로 대체될 수 있습니다:

${\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}$

반지름 r과 시간 t는 방정식에서 버려졌습니다. 그러나, 유도 시작 부분에서 선형 속력과 각속력 사이의 가정된 직접적인 관계에 의해, 각속력은 단위 시간당 라디안이어야 합니다. 만약 회전 속력이 단위 시간당 회전수로 측정되면, 선형 속력과 거리는 위의 유도에서 비례적으로 2π 증가하여 다음을 제공합니다:

${\text{power}}={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}.\,$

만약 토크가 뉴턴-미터 단위이고 회전 속력이 초당 회전수 단위이면, 위의 방정식은 초당 뉴턴-미터 또는 와트 단위로 일률을 제공합니다. 만약 영국식 단위가 사용되고, 토크가 파운드-힘 피트이고 회전 속력이 분당 회전수이면, 위의 방정식은 일률을 분당 풋 파운드-힘으로 나타냅니다. 그런-다음 방정식의 마력 형식은 마력당 변환 인수 33,000 ft⋅lbf/min을 적용함으로써 도출됩니다:

${\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}\cdot {\frac {{\text{ft}}{\cdot }{\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{horsepower}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\[6pt]&\approx {\frac {{\text{torque}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aligned}}$

왜냐하면 $5252.113122\approx {\frac {33,000}{2\pi }}.\,$

Principle of moments

바리논의 정리(Varignon's theorem) (같은 이름의 기하학적 정리와 혼동하지 말 것)라고도 알려져 있는 모멘트의 원리는 한 지점에 적용된 여러 힘으로 인한 결과 토크가 기여하는 토크의 합과 같다고 말합니다:

$\tau =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.$

이로부터 물체의 피벗 주위에 작용하는 두 가지 힘으로 인한 토크는 다음과 같은 경우에 균형을 이룹니다:

$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {0} .$

Torque multiplier

Main article: Torque multiplier

토크는 세 가지 방법을 통해 곱해질 수 있습니다: 지레의 길이가 늘어나도록 받침점을 배치함으로써; 더 긴 지렛대를 사용함으로써, 또는 속력-감소 기어세트 또는 기어-박스를 사용함으로써 곱해질 수 있습니다. 그러한 메커니즘은 회전 율이 감소함에 따라 토크에 곱해집니다.

See also

• Moment
• Conversion of units
• Friction torque
• Mechanical equilibrium
• Rigid body dynamics
• Statics
• Torque converter
• Torque limiter
• Torque screwdriver
• Torque tester
• Torque wrench
• Torsion (mechanics)

External links

• "Horsepower and Torque" Archived 2007-03-28 at the Wayback Machine An article showing how power, torque, and gearing affect a vehicle's performance.
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.
• An interactive simulation of torque
• Torque Unit Converter
• A feel for torque An order-of-magnitude interactive.