Euclidean vector

Original article: mw:Euclidean vector

This article is about the vectors mainly used in physics and engineering to represent directed quantities. For mathematical vectors in general, see Vector (mathematics and physics). For other uses, see Vector (disambiguation).

A vector pointing from A to B

수학(mathematics), 물리학(physics), 및 공학(engineering)에서, (때때로 기하학적(geometric) 또는 공간 벡터(spatial vector) 또는—여기에서 처럼—단순히 벡터(vector)라고 불리는) 유클리드 벡터(Euclidean vector)는 크기(magnitude)(또는 길이(length))와 방향(direction)을 가진 기하학적 대상입니다. 벡터는 벡터 대수(vector algebra)에 따라 다른 벡터에 더해질 수 있습니다. 유클리드 벡터는 명확한 방향을 가진 선분으로 자주 표현, 또는 시작 점 A와 끝 점 B를 연결하는, 화살로 그래픽적 표현, 및 ${\overrightarrow {AB}}$로 나타냅니다.

벡터는 점 A를 점 B로 "옮기기" 위해서 필요한 것입니다; 라틴어 단어 벡터(vector)는 "운반인(carrier)"을 의미합니다. 그것은 태양 주위를 도는 행성을 조사하는 18세기의 천문학자들에 의해 처음으로 사용되었습니다. 벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이고 방향은 A에서 B로의 변위의 방향을 나타냅니다. 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication) 및 부정(negation:Additive inverse)과 같은, 실수(real number)에 대한 많은 대수적 연산(algebraic operation)은 벡터, 교환성(commutativity), 결합성(associativity) 및 분배성(distributivity)의 익숙한 대수적 법칙을 준수하는 연산에 대해 밀접한 유사점을 가집니다. 이들 연산과 관련된 법칙은 유클리드(Euclidean) 벡터를 단순히 벡터 공간(vector space)의 원소로써 정의된 벡터의 보다 일반화된 개념의 예제로써 자격을 얻습니다.

벡터는 물리학(physics)에서 중요한 역할을 합니다: 움직이는 물체의 속도(velocity)와 가속도(acceleration) 및 그것에 작용하는 힘(force)은 모두 벡터로 묘사될 수 있습니다. 많은 다른 물리량은 벡터로써 생각하는 것이 유용할 수 있습니다. 비록 그들의 대부분이 거리로 표현되지 않을지라도 (예를 들어, 위치(position) 또는 변위(displacement) 제외), 그들의 크기와 방향은 화살표의 길이와 방향으로 여전히 표현될 수 있습니다. 물리적 벡터의 수학적 표현은 이를 묘사하기 위해 사용된 좌표 시스템(coordinate system)에 의존합니다. 좌표 시스템의 변화 아래에서 비슷한 방식으로 물리적 양과 변환을 묘사하는 다른 벡터와-비슷한 대상들은 유사-벡터(pseudovectors) 및 텐서(tensor)를 포함합니다.

History

오늘날 우리가 알고 있는, 벡터의 개념은 200년이 넘는 기간에 걸쳐 점진적으로 진화했습니다. 약 12명이 큰 공헌을 했습니다.

주스토 벨라비티스(Giusto Bellavitis)는 1835년에 등평성(equipollence)의 개념을 확립했을 때 기본 아이디어를 추상화했습니다. 유클리드 평면에서 연구할 때, 그는 같은 길이와 같은 방향의 선분의 임의의 등가의 쌍을 만들었습니다. 본질적으로 그는 평면에서 점들의 쌍에 대한 동치 관계(equivalence relation)를 실현하고 따라서 평면에서 벡터의 첫 번째 공간을 세웠습니다.

용어 벡터는, (스칼라라고 역시 부르는) 실수(Real number) s와 3-차원 벡터의 합 q = s + v인, 쿼터니언(quaternion)의 일부로 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 도입되었습니다. 벨라비데스(Bellavitis)와 마찬가지로, 해밀턴은 벡터를 등가의 방향 선분의 클래스(classes)를 나타내는 것으로 여겼습니다. 복소수(complex number)가 실수 직선(real line:수직선)을 보완하기 위해 허수 단위(imaginary unit)를 사용함에 따라, 해밀턴은 벡터 v를 쿼터니언의 허수 부분으로 여겼습니다:

일반적으로, 각각 결정된 쿼터니언에 대해, 공간에서 결정된 길이와 결정된 방향을 갖는 직선 또는 반지름 벡터로 기하학적으로 구성된 대수적 허수 부분은 벡터 부분, 또는 단순히 쿼터니언의 벡터라고 불릴 것입니다.

어귀스탱 코시(Augustin Cauchy), 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann), 아우구스트 뫼비우스(August Möbius), Comte de Saint-Venant, 및 매튜 오브라이언(Matthew O'Brien)을 포함하는, 다른 수학자들은 19세기 중반에서 벡터와 유사한 시스템을 개발했습니다. 그라스만의 1840년 연구 Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow)는 오늘날의 시스템과 유사한 공간 분석의 첫 번째 시스템이었고 교차 곱, 스칼라 곱 및 벡터 미분에 해당하는 아이디어를 가지고 있었습니다. 그라스만의 연구는 1870년대까지 크게 무시되었습니다.

피터 거스리 테이트(Peter Guthrie Tait)는 해밀턴 이후 쿼터니언 표준을 수행했습니다. 그의 1867년 Elementary Treatise of Quaternions는 나블라 또는 델 연산자(del operator) ∇의 광범위한 논법을 포함했습니다.

1878년 Elements of Dynamic는 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford)에 의해 출판되었습니다. 클리퍼드는 완전한 쿼터니언 곱으로부터 두 벡터의 점 곱(dot product)과 교차 곱(cross product)을 분리함으로써 쿼터니언 연구를 단순화했습니다. 이 접근법은 벡터 계산을 삼-차원에서 작업하는 엔지니어와 다른 사람들에게 유용하게 만들었고 네-번째 차원의 대해 회의적으로 만들었습니다.

제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)의 Treatise on Electricity and Magnetism을 통해 쿼터니언에 노출되었던, 조사이어 윌러드 깁스(Josiah Willard Gibbs)는 독립적인 취급법을 위해 벡터 부분을 분리했습니다. 1881년에 출판된 깁스의 Elements of Vector Analysis의 전반부는 벡터 해석학의 현대 시스템이 무엇인지를 보여줍니다. 1901년 에드윈 비드웰 윌슨(Edwin Bidwell Wilson)은 깁스의 강의를 각색하여 Vector Analysis을 출판했으며, 이로 인해 벡터 미적분학의 개발에서 쿼터니언에 대한 언급이 사라졌습니다.

Overview

물리학(physics)과 공학(engineering)에서, 벡터는 전형적으로 크기(magnitude)와 방향에 의해 특성화되는 기하학적 엔터디로 여겨집니다. 그것은 유클리드 공간(Euclidean space)에서 방향화된 선분(line segment) 또는 화살표로 공식적으로 정의됩니다. 순수 수학(pure mathematics)에서, 벡터는 벡터 공간(vector space)의 임의의 원소로 보다 일반적으로 정의됩니다. 이와 관련하여, 벡터는 크기 및 방향에 의해 특성화될 수 있거나, 또는 특성화되지 않을 수도 있는 추상 엔터디입니다. 이 일반화된 정의는 위에서 언급한 기하학적 엔터디가 벡터의 특수한 종류임을 의미하는데, 왜냐하면 그들은 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 불리는 특수한 벡터 공간의 원소이기 때문입니다.

이 기사는 유클리드 공간에서 화살표로 엄격하게 정의된 벡터에 관한 것입니다. 순수 수학에서 정의된 벡터로부터 이들 특수한 벡터를 구별할 필요가 있을 때, 그들은 때때로 기하학적, 공간, 또는 유클리드 벡터라고 언급할 것입니다.

화살표를 갖는, 유클리드 벡터는 명확한 시작 점과 끝 점을 가집니다. 고정된 시작 및 끝 점을 가진 벡터는 경계 벡터(bound vector)라고 부릅니다. 오직 벡터의 크기와 방향이 중요할 때, 그들은 특정 시작 점이 중요하지 않은, 벡터는 자유 벡터(free vector)라고 부릅니다. 따라서 공간의 두 화살표 ${\overrightarrow {AB}}$와 ${\overrightarrow {A'B'}}$는, 만약 그들이 크기와 방향이 같으면, 같은 자유 벡터를 나타냅니다: 즉, 만약 사변형 ABB′A′가 평행사변형(parallelogram)이면 그들은 등가(equipollent)입니다. 만약 유클리드 공간이 원점(origin)의 선택을 부여되면, 자유 벡터는 시작 점이 원점인 같은 크기와 방향의 경계 벡터와 동등합니다.

용어 벡터는 역시 더 넓은 응용 분야에서 보다 높은 차원과 보다 공식적인 접근 방식으로 일반화를 가집니다.

Examples in one dimension

물리학자의 힘(force)의 개념은 방향과 크기를 가지기 때문에, 그것은 벡터로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 15 뉴턴(newtons)의 오른쪽-방향 힘 F를 생각해 보십시오. 만약 양의 축(axis)이 역시 오른쪽-방향으로 향하면, F는 벡터 15 N으로 표시되고, 만약 양의 점이 왼쪽-방향이면 F에 대한 벡터는 –15 N입니다. 두 경우 모두에서, 벡터의 크기는 15 N입니다. 마찬가지로, 4 미터(meters)의 변위 Δs의 벡터 표현은 방향에 따라 4 m 또는 –4 m가 될 것이고, 그의 크기는 방향과 상관없이 4 m일 것입니다.

In physics and engineering

벡터는 물리 과학에서 기본입니다. 그것들은 크기가 있고 방향을 가지며, 벡터 덧셈 규칙을 준수하는 임의의 양을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 하나의 예는 속도(velocity)이며, 그 크기는 속력(speed)입니다. 예를 들어, 속도 위쪽 방향의 초당 5 미터는 벡터 (양의 y-축이 '위쪽'인 2차원에서) (0, 5)로 표시될 수 있습니다. 벡터에 의해 나타내어지는 또 다른 양은 힘(force)인데, 왜냐하면 그것은 크기와 방향을 가지고 벡터 덧셈 규칙을 따르기 때문입니다. 벡터는 선형 변위, 변위(displacement), 선형 가속도, 각 가속도(angular acceleration), 선형 운동량(linear momentum) 및 각 운동량(angular momentum)과 같은 다른 많은 물리량을 역시 묘사합니다. 전기장(electric field) 및 자기장(magnetic field)과 같은 다른 물리적 벡터는 물리적 공간의 각 지점에서 벡터 시스템; 즉, 벡터 필드(vector field)로 표현됩니다. 크기와 방향을 가지지만 벡터 덧셈 규칙을 따르지 않는 양의 예제는 각 변위와 전류입니다. 결과적으로, 이들은 벡터가 아닙니다.

In Cartesian space

데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서, 경계 벡터는 시작 점과 끝 점의 좌표를 식별함으로써 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 공간에서 점 A = (1, 0, 0)와 B = (0, 1, 0)는 x-축 위의 점 x = 1에서 y-축 위의 점 y = 1로 향하는 경계 벡터 ${\overrightarrow {AB}}$를 결정합니다.

데카르트 좌표에서, 자유 벡터는 대응하는 경계 벡터의 관점에서 생각될 수 있는데, 이런 의미에서, 시작 점은 원점 O = (0, 0, 0)의 좌표를 가집니다. 그것은 그런 다음 해당 경계 벡터의 끝 점의 좌표에 의해 결정됩니다. 따라서 (1, 0, 0)에 의해 표시되는 자유 벡터는 양의 x-축 방향을 향하는 단위 길이의 벡터입니다.

자유 벡터의 이러한 좌표 표현은 그들의 대수 특징이 편리한 수치 방식으로 표현되는 것을 허용합니다. 예를 들어, 두 (자유) 벡터 (1, 2, 3)와 (–2, 0, 4)의 합은 다음과 같은 (자유) 벡터입니다:

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1 − 2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).

Euclidean and affine vectors

기하학적 및 물리적 설정에서, 때때로 그것은 길이 또는 크기와 방향을, 자연스럽게, 벡터에 연결할 수 있습니다. 게다가, 방향의 개념은 두 벡터 사이의 각도의 개념과 엄격하게 관련됩니다. 만약 두 벡터의 점 곱(dot product)이 정의되면—두 벡터의 스칼라-값 곱—그런 다음 길이를 역시 정의할 수 있습니다; 점 곱은 각도 (임의의 두 비-영 벡터 사이의 점 곱의 함수)와 길이 (벡터 그 자체의 점 곱의 제곱근) 둘 다의 편리한 대수적 특성을 제공합니다. 삼-차원에서, 나아가서 (평행사변형의 변으로 사용되는) 두 개의 벡터에 의해 정의된 평행사변형(parallelogram)의 공간에서 넓이(area)와 방향(orientation)의 대수적 특성을 제공하는, 교차 곱(cross product)을 정의하는 것이 가능합니다. 임의의 차원 (그리고, 특히, 더 높은 차원)에서, n 개의 벡터에 의해 정의된 n-차원 평행면체(parallelotope)의 공간에서 넓이 및 방향의 대수적 특성을 제공하는, 외부 곱(exterior product)을 정의하는 것이 가능합니다.

어쨌든, 자연스러운 방법으로 벡터의 길이를 정의하는 것이 항상 가능하거나 바람직한 것은 아닙니다. 이러한 보다 일반적인 유형의 공간 벡터는 (자유 벡터에 대해) 벡터 공간(vector space) 및 (각각은 "점"의 순서화 쌍에 의해 표시되는, 경계 벡터에 대해) 아핀 공간(affine space)의 주제입니다. 중요한 예제는 특수 상대성 이론(special relativity)을 이해하는 데 중요한 민코프스키 공간(Minkowski space)입니다. 여기서 비-영 벡터의 길이가 0 길이를 허용하는 길이의 일반화가 있습니다. 다른 물리적 예제는 열역학(thermodynamics)에서 비롯되는데, 여기서 많은 관심 수량은 길이나 각도의 개념이 없는 공간에서 벡터로 여길 수 있습니다.

Generalizations

물리학, 마찬가지로 수학에서, 벡터는 기저 벡터(basis vector) 집합에 대해 스칼라 계수로 작용하는, 구성 성분의 튜플(tuple), 또는 숫자 목록으로 종종 식별됩니다. 기저가 예를 들어 회전 또는 확장에 의해 변환될 때, 해당 기저의 관점에서임의의 벡터의 구성 성분도 반대 의미로 변환됩니다. 벡터 자체는 변경되지 않았지만, 기저는 변경되었으므로, 벡터의 구성 성분은 보정하기 위해서 반드시 변경되어야 합니다. 벡터의 구성 성분의 변환이 기저의 변환과 어떻게 관련되어 있는지에 따라 벡터를 공변(covariant) 또는 반변(contravariant)이라고 부릅니다. 일반적으로, 반변 벡터는 (변위와 같은) 거리의 단위 또는 (속도 또는 가속도와 같은) 일부 다른 단위와 곱한 거리를 갖는 "일반 벡터"("regular vectors")입니다; 다른 한편으로, 공변 벡터는 그래디언트(gradient)와 같은 거리 분의 일의 단위를 가집니다. 만약 (기저를 변경하는 특별한 경우) 단위를 미터로부터 밀리미터로 변경하면, 1/1000의 스케일 인수에 의해, 1 m의 변위는 1000 mm로 됩니다—반변은 수치 값을 바꿉니다. 대조적으로, 1 K/m의 그래디언트는 0.001 K/mm가 됩니다—공변은 값을 바꿉니다. 벡터의 공변량과 반변량(covariance and contravariance of vectors)을 참조하십시오. 텐서(Tensor)는 이러한 방식으로 작동하는 다른 유형의 수량입니다; 벡터는 텐서의 한 유형입니다.

순수 수학(mathematics)에서, 벡터는 일부 필드(field) 위의 벡터 공간(vector space)의 임의의 원소이고 종종 좌표 벡터(coordinate vector)로 표시됩니다. 이 기사에서 설명된 벡터는 이 일반적인 정의의 매우 특별한 경우인데 왜냐하면 그것들은 주변 공간에 대해 반변이기 때문입니다. 반변량은 벡터는 "크기와 방향"을 가진다는 아이디어를 넘어 물리적 직관을 포착합니다.

Representations

Vector arrow pointing from A to B

벡터는 보통 소문자(lowercase) 굵은 글씨 a 또는 소문자 이탤릭 굵은 글씨, a로 표시됩니다. (대문자(Uppercase)는 전형적으로 행렬(matrices)을 나타내기 위해서 사용됩니다.) 다른 관례는 특히 손글씨에서 ${\vec {a}}$ 또는 a를 포함합니다. 대안적으로, 일부는 기호 아래에 물결표(tilde) (~) 또는 물결 모양 밑줄, 예를 들어, ${\underset {^{\sim }}{a}}$을 사용하는데, 이것은 굵은 글씨 유형을 나타내는 것에 대한 관례입니다. 만약 벡터는 방향화된 거리(distance) 또는 점 A에서 점 B로의 변위(displacement)를 나타내면 (그림을 참조하십시오), ${\stackrel {\longrightarrow }{AB}}$ 또는 AB로 역시 표시될 수 있습니다. 특히 독일어(German)로 된 문헌에서 작은 프락투어(fraktur) 문자 ${\mathfrak {a}}$를 갖는 벡터로 나타내는 것이 공통적이었습니다.

벡터는, 그림에서 표현된 것처럼, 그래프 또는 다른 다이어그램에 보통 화살표 (방향화된 선분(line segment))으로 표시됩니다. 여기서 점 A는 원점, 꼬리, 기준 또는 시작 점이라고 불립니다; 점 B는 머리, 팁, 끝점, 종료 점 또는 최종 점이라고 불립니다. 화살표의 길이는 벡터의 크기(magnitude)에 비례하는 반면, 화살표가 가리키는 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.

이-차원 다이어그램에서, 때때로 다이어그램의 평면(plane)에 수직(perpendicular)인 벡터가 필요합니다. 이들 벡터는 공통적으로 작은 원으로 표시됩니다. 그의 중앙에 점을 갖는 원 (Unicode U+2299 ⊙)은 다이어그램의 앞으로 나오는, 바라보는 사람을 향하는 벡터를 나타냅니다. 원 안에 십자형을 새겨진 원 (Unicode U+2297 ⊗)은 다이어그램을 뚫고 들어가는 방향의 벡터를 나타냅니다. 이것들은 화살(arrow) 촉의 끝을 앞에서 보고 것 그리고 뒤에서 화살이 날라가는 것을 보는 것으로 생각할 수 있습니다.

A vector in the Cartesian plane, showing the position of a point A with coordinates (2, 3).

벡터로 계산하기 위해, 그래픽 표현이 너무 번거로울 수 있습니다. n-차원 유클리드 공간의 벡터는 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system:직교 좌표계)에서 좌표 벡터(coordinate vector)로 표현될 수 있습니다. 벡터의 끝점은 n 개의 실수 (n-튜플(tuple))의 순서화된 목록으로 식별될 수 있습니다. 이들 숫자는, 주어진 직교 좌표계에 관해서, 벡터의 끝점의 좌표(coordinates)이고, 전형적으로 좌표계의 축 위의 벡터의 스칼라 성분(scalar component) (또는 스칼라 투영(scalar projections))이라고 불립니다.

이-차원의 예제 (그림 참조)에서, 원점 O = (0, 0)에서 점 A = (2, 3)까지의 벡터는 간단히 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {a} =(2,3).$

벡터의 꼬리가 원점과 일치한다는 개념은 내재적이고 쉽게 이해될 수 있습니다. 따라서, 보다 명확한 표기법 ${\overrightarrow {OA}}$은 보통 필요하지 않은 것으로 생각되고 거의 사용되지 않습니다.

삼-차원 유클리드 공간 (또는 R³)에서, 벡터는 다음과 같은 스칼라 구성성분으로 식별될 수 있습니다:

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).$

역시 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).$

이것은 n-차원 유클리드 공간 (또는 Rⁿ)에 대해 일반화될 수 있습니다.

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).$

이들 숫자는, 특히 행렬(matrices)을 다룰 때, 다음과 같이 열 벡터(column vector) 또는 행 벡터(row vector)에 종종 정렬될 수 있습니다:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}].$

n-차원에서 벡터를 표현하기 위한 또 다른 방법은 표준 기저(standard basis) 벡터를 도입하는 것입니다. 예를 들어, 삼차원에서, 그들은 다음의 3개입니다:

${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).$

이들은, 각각, 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 x-, y-, 및 z-축을 각각 가리키는 단위 길이의 벡터로 직관적인 해석을 가집니다. 이들의 관점에서, R³의 임의의 벡터 a는 다음의 형태로 표현될 수 있습니다:

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\$

또는

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},$

여기서 a₁, a₂, a₃는 기저 벡터 또는, 동등하게, 해당하는 데카르트 축 x, y, 및 z에 대한 벡터 구성성분(vector component) (또는 벡터 투영(vector projections))이라고 불리고 (그림을 참조하십시오), 반면에 a₁, a₂, a₃는 각각 스칼라 구성성분(scalar component) (또는 스칼라 사용)이라고 불립니다.

입문 물리학 교재에서, 표준 기저 벡터는 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ (또는 $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$)로 종종 대신 표시되는데, 여기서 모자 기호(hat symbol) ^는 전형적으로 기저 벡터(unit vector)를 나타냅니다. 이 경우에서, 스칼라와 벡터 구성성분은 각각 a_x, a_y, a_z, 그리고 a_x, a_y, a_z로 표시됩니다 (차이는 굵은 글씨에 있습니다). 따라서,

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.$

표기법 e_i는 높은 수준의 수학, 물리학, 및 공학에서 공통적으로 사용되는 인덱스 표기법(index notation) 및 합계 관례(summation convention)와 호환됩니다.

Decomposition or resolution

Further information: Basis (linear algebra)

위에서 설명한 바와 같이, 벡터는 주어진 벡터를 형성하기 위해 더해지는 벡터 구성성분의 집합에 의해 종종 설명됩니다. 전형적으로, 이들 구성성분은 서로 수직인 기준 축 (기저 벡터)의 집합에 대한 벡터 투영(projections)입니다. 벡터는 그 집합에 관해서 분해된다고 말합니다.

Illustration of tangential and normal components of a vector to a surface.

벡터를 구성성분으로 분해하는 것은 고유하지 않은데, 왜냐하면 그것은 그 벡터가 투영되는 축의 선택에 의존하지 때문입니다.

게다가, 벡터를 나타내는 기저(basis)로서 $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$와 같은 데카르트 단위 벡터의 사용은 의무화되지 않습니다. 벡터는 원통형 좌표 시스템(cylindrical coordinate system) (${\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}}$) 또는 구형 좌표 시스템(spherical coordinate system) ($\mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$)의 단위 벡터를 포함하여, 임의의 기저의 관점에서 역시 표현될 수 있습니다. 후자의 두 가지 선택은 각각 원통형 또는 구형 대칭을 갖는 문제를 해결하기 위해 더 편리합니다.

기저의 선택은 벡터의 속성 또는 변환 아래에서 동작에 영향을 미치지 않습니다.

벡터는 시간 또는 공간의 함수로서 방향(orientation)을 변경하는 "고정되지-않은" 기저 벡터와 관련하여 분할될 수 있습니다. 예를 들어, 삼-차원 공간의 벡터는 각각 표현에 수직, 그리고 접하는 두 개의 축에 관하여 분해될 수 있습니다 (그림을 참조하십시오). 게다가, 벡터의 방사형(radial) 및 접선 성분(tangential component)은 대상의 회전(radius)의 반지름(radius)과 관련이 있습니다. 전자는 반지름과 평행(parallel)하고 후자는 반지름과 직교(orthogonal)합니다.

이들 경우에서, 각각의 구성성분은 고정된 좌표 시스템 또는 기저 집합 (예를 들어, 글로벌(global) 좌표 시스템 또는 관성 기준 프레임(inertial reference frame))에 관하여 차례로 분해될 수 있습니다.

Basic properties

이 섹션에서는 다음 기저 벡터를 갖는 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)을 사용합니다:

${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)$

그리고 모든 벡터가 공통 시작 점으로 원점을 가짐을 가정합니다. 벡터 a는 다음으로 쓸 수 있습니다:

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Equality

두 벡터는 만약 그들이 같은 크기와 방향을 가지면 서로 같다고 말합니다. 마찬가지로 만약 그들의 좌표가 같으면 서로 같을 것입니다. 그래서 두 벡터

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

그리고

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

는 다음과 같으면 서로 같습니다:

$a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,$

Opposite, parallel, and antiparallel vectors

두 벡터는 만약 그들이 같은 크기지만 반대 방향이면 역입니다. 그래서 두 벡터

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

그리고

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

이 다음과 같으면 서로 역입니다:

$a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,$

두 벡터가 만약 그들이 같은 방향이지만 같은 크기가 아니면 평행이거나, 만약 그들이 역 방향이지만 같은 크기가 아니면 역평행입니다.

Addition and subtraction

Further information: Vector space

이제 a와 b가 반드시 같은 벡터일 필요는 없지만, 그들이 다른 크기와 방향을 가질 수 있다고 가정합니다. 벡터 a와 b의 합은

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.$

덧셈은 화살표 a의 머리에 화살표 b의 꼬리를 놓은 다음, a의 꼬리에서 b의 머리까지 화살표를 그림으로써 그래픽적으로 표현될 수 있습니다. 그려진 새로운 화살표는, 아래 그림과 같이, 벡터 a + b를 나타냅니다:

The addition of two vectors a and b

이 덧셈 방법은 때때로 평행사변형 규칙(parallelogram rule)으로 불리는데 왜냐하면 a와 b는 평행사변형(parallelogram)의 변을 형성하고 a + b는 대각선 중의 하나입니다. 만약 a와 b는 경계 벡터이고 같은 출발 점을 가지면, 이 점은 역시 a + b의 출발 점일 될 것입니다. 우리는 a + b = b + a 및 (a + b) + c = a + (b + c)이 되는 것을 그래픽적으로 확인 가능합니다.

벡터 a와 b의 차이는

$\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.$

두 벡터의 뺄셈은 다음으로 그래픽적으로 표현될 수 있습니다: a로부터 b를 빼기 위해서, 같은 점에 a와 b의 꼬리를 위치시킨 다음, b의 머로로부터 a의 머리까지 화살표를 그립니다. 이 새로운 화살표는 벡터 (-b) + a를 나타내고, 여기서 (-b)는 b의 역입니다 (그림을 참조하십시오). 그리고 (-b) + a = a − b.

The subtraction of two vectors a and b

Scalar multiplication

Main article: Scalar multiplication

Scalar multiplication of a vector by a factor of 3 stretches the vector out.

벡터는 실수(real number) r에 의해 곱하거나, 재-스케일될 수 있습니다. 전통적인 벡터 대수(conventional vector algebra)의 문맥에서, 이들 실수는 벡터와 구별하기 위해 종종 (스케일로부터) 스칼라로 불립니다. 벡터에 스칼라를 곱하는 연산은 스칼라 곱셈이라고 불립니다. 결과로 생기는 벡터는

$r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.$

직관적으로, 스칼라 r에 의한 곱셈은 벡터 r의 인수에 의해 늘어납니다. 기하학적으로, 이것은 하나의 벡터의 끝점이 다음 벡터의 시작 점인 직선에 벡터의 r 사본을 놓는 것으로 (적어도 이 경우에서 r이 정수일 때) 시각화될 수 있습니다.

만약 r이 음수이면, 벡터는 방향을 바꿉니다: 벡터는 180°의 각도로 뒤집어집니다. 두 가지 예제 (r = −1 및 r = 2)는 아래와 같습니다:

The scalar multiplications −a and 2a of a vector a

스칼라 곱셈은 다음 의미에서 벡터 덧셈에 걸친 분배(distributive)입니다: 모든 벡터 a와 b 그리고 모든 스칼라 r에 대해 r(a + b) = ra + rb. 우리는 a − b = a + (−1)b임을 역시 보일 수 있습니다.

Length

벡터 a의 길이(length) 또는 크기(magnitude) 또는 놈(norm)은 ‖a‖ 또는, 덜 공통적으로 |a|에 의해 나타내어지며, 절댓값(absolute value) (스칼라 "놈")과 혼동해서는 안됩니다.

벡터 a의 길이는 다음의 유클리드 놈(Euclidean norm)으로 계산될 수 있습니다:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$

이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 결과인데 왜냐하면 기저 벡터 e₁, e₂, e₃는 직교 단위 벡터이기 때문입니다.

이것은, 아래에 설명된, 벡터와 그 자체의 점 곱(dot product)의 제곱근과 같아집니다:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.$

단위 벡터

The normalization of a vector a into a unit vector â

Main article: Unit vector

단위 벡터는 일의 길이를 갖는 임의의 벡터입니다; 표준적으로 단위 벡터는 단순히 방향을 나타내기 위해 사용됩니다. 임의의 길이의 벡터는 그의 길이로 나눔으로써 단위 벡터를 만들어질 수 있습니다. 이것은 정규화한 벡터로 알려져 있습니다. 단위 벡터는 종종 모자를 가진 â로 표시됩니다.

벡터 a = (a₁, a₂, a₃)를 정규화하기 위해, 벡터를 그의 길이 ‖a‖의 역에 의해 스케일합니다. 즉:

$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}$

영 벡터

Main article: Zero vector

영 벡터는 길이 영을 갖는 벡터입니다. 좌표로 작성된, 벡터는 (0, 0, 0)이고, 그것은 공통적으로 ${\vec {0}}$, 0, 또는 간단히 0으로 표시됩니다. 임의의 다른 벡터와 달리, 그것은 임의의 또는 불확실한 방향을 가지고, 정규화될 수 없습니다 (즉, 영 벡터의 배수인 단위 벡터는 없습니다). 임의의 벡터 a를 갖는 영 벡터의 합은 a (즉, 0 + a = a)입니다.

Dot product

Main article: Dot product

두 벡터 a와 b의 점 곱 (때때로 안의 곱(inner product), 또는 왜냐하면 결과가 스칼라이기 때문에 스칼라 곱(scalar product)이라고 불리는)은 a ∙ b로 표시되고 다음과 같이 정의됩니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도(angle)의 측정입니다 (코사인의 표현에 대해 삼각함수(trigonometric function)를 참조하십시오). 기하학적으로, 이것은 a와 b가 공통 시작점으로 그려진 다음 a의 길이는 a와 같은 방향을 가리키는 b의 성분의 길이를 곱한 것을 의미합니다.

점 곱은 다음과 같이 각 벡터의 성분의 곱의 합으로 역시 정의될 수 있습니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.$

Cross product

Main article: Cross product

교차 곱 (역시 벡터 곱 또는 외부 곱이라고 불림)은 삼차원 또는 칠차원에서 오직 의미가 있습니다. 두 벡터의 교차 곱의 결과가 벡터라는 점에서 교차 곱은 주로 점 곱과 다릅니다. a × b로 표시되는, 교차 곱은 a와 b 둘 다에 수직인 벡터이고 다음과 같이 정의됩니다:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n}$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도의 측정이고, n은 오른-손(right-handed) 시스템을 완성시키는 a와 b 둘 다에 수직(perpendicular)인 단위 벡터입니다. 오른-손 제약-조건은 필요한데 왜냐하면 a와 b 둘 다에 수직인 두 단위 벡터, 즉, n 및 (–n)이 존재하기 때문입니다.

An illustration of the cross product

교차 곱 a × b는 a, b, 및 a × b가 역시 오른-손 시스템이 되도록 정의됩니다 (a and b는 수직(orthogonal)일 필요는 없습니다). 이것이 오른-손 규칙(right-hand rule)입니다.

a × b의 길이는 a와 b를 변으로 가지는 평행사변형의 넓이로 이해될 수 있습니다.

교차 곱은 다음으로 쓸 수 있습니다:

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.$

공간 방향의 임의 선택 (즉, 오른-손 좌표 시스템과 마찬가지로 왼-손 허용을 허용함)에 대해, 두 벡터의 교차 곱은 벡터 대신에 유사-벡터(pseudovector)입니다 (아래를 참조하십시오).

Scalar triple product

Main article: Scalar triple product

스칼라 트리플 곱 (역시 상자 곱(box product) 또는 혼합된 트리플 곱이라고 불림)은 실제로 새로운 연산자가 아니지만, 다른 두 곱셈 연산자를 세 벡터에 적용하는 방법입니다. 스칼라 트리플 곱은 때때로 (a b c)로 표시되고 다음과 같이 정의됩니다:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

그것은 세 가지 주요 사용을 가집니다. 첫째, 상자 곱의 절댓값은 세 벡터에 의해 정의된 가장자리를 가지는 평행-육면체(parallelepiped)의 부피입니다. 둘째, 스칼라 트리플 곱이 영인 것과 세 벡터가 선형적으로 종속(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건이며, 이것은 세 벡터에 대해 부피를 만들지 않기 위해, 그들은 모두 같은 평면에 놓여야 한다는 것을 고려함으로써 쉽게 입증될 수 있습니다. 셋째, 상자 곱이 양수인 것과 세 벡터 a, b 및 c가 오른-손 규칙인 것은 필요충분 조건입니다.

(오른-손 직교-정규 기저에 관한) 성분에서, 만약 세 벡터가 행으로 생각되면 (또는 열, 그러나 같은 순서에서), 스칼라 트리플 곱은 세 벡터를 행으로 가지는 3-×-3 행렬(matrix)의 단순히 행렬식(determinant)입니다:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{pmatrix}}\right|$

스칼라 트리플 곱은 모든 세 엔트리에서 선형이고 다음 의미에서 반-대칭입니다:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).$

Conversion between multiple Cartesian bases

지금까지의 모든 예제는 같은 기저, 즉 e 기저 {e₁, e₂, e₃}의 관점에서 표현된 벡터를 다루었습니다. 어쨌든, 벡터는 반드시 서로 정렬될 필요는 없고, 여전히 같은 벡터를 유지하는 임의의 숫자의 다른 기저의 관점에서 표현될 수 있습니다. e 기저에서, 벡터 a는, 정의에 의해, 다음과 같이 표현됩니다:

$\mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}$.

e 기저에서 스칼라 성분은, 정의에 의해, 다음입니다,

$p=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}$,

$q=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2}$,

$r=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}$.

반드시 e와 정렬될 필요는 없는 또 다른 직교-정규 기저 n = {n₁, n₂, n₃}에서, 벡터 a는 다음처럼 표현됩니다:

$\mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}$

그리고 n 기저에서 스칼라 성분은, 정의에 의해, 다음입니다,

$u=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1}$,

$v=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2}$,

$w=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}$.

p, q, r, 및 u, v, w의 값은 결과 벡터 합계가 둘 다 경우에서 정확히 같은 물리 벡터 a인 그러한 방법에서 단위 벡터와 관련됩니다. 다른 기저 (예를 들어, 지구에 고정된 하나의 기저와 이동하는 차량에 고정된 하나의 기저)의 관점에서 알려진 벡터를 만나는 것이 공통적입니다. 그러한 경우에서, 덧셈과 뺄셈과 같은 기본 벡터 연산을 수행할 수 있도록 기저 사이를 변환하기 위한 방법을 개발해야 합니다. p, q, r의 관점에서 u, v, w를 표현하는 한 가지 방법은 두 기저와 관련된 정보를 포함하는 방향 코사인 행렬(direction cosine matrix)과 함께 열 행렬을 사용하는 것입니다. 그러한 표현은 위의 방정식을 다음을 형성하기 위해 대체함으로써 형성될 수 있습니다:

$u=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1}$,

$v=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2}$,

$w=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}$.

점-곱셈을 분배하면 다음을 제공합니다:

$u=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1}$,

$v=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2}$,

$w=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}$.

각 점 곱을 고유한 스칼라로 대체하면 다음을 제공합니다:

$u=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r$,

$v=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r$,

$w=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r$,

그리고 이들 방정식은 단일 행렬 방정식으로 표현될 수 있습니다:

${\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}$.

이 행렬 방정식은 n 기저에서 a의 스칼라 성분 (u,v, 및 w)을 e 기저에서 스칼라 성분 (p, q, 및 r)과 관련시킵니다. 각 행렬 원소 c_jk는 n_j을 e_k로 관련시키는 방향 코사인(direction cosine)입니다. 용어 방향 코사인은 두 단위 벡터 사이의 각도의 코사인(cosine)을 참조하며, 이것은 그들의 점 곱(dot product)과 역시 같습니다. 그러므로,

$c_{11}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{12}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{13}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}$

$c_{21}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{22}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{23}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}$

$c_{31}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{32}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{33}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}$

e 기저로 e₁, e₂, e₃, n 기저로 n₁, n₂, n₃을 집합적으로 참조함으로써, 모든 c_jk를 포함하는 행렬은 "e에서 n으로의 변환 행렬(transformation matrix)" 또는 "e에서 n으로의 회전 행렬(rotation matrix)" (왜냐하면 그것은 한 기저에서 또 다른 기저로의 벡터의 "회전"으로 상상될 수 있기 때문), 또는 "e에서 n으로의 방향 코사인 행렬" (왜냐하면 그것은 방향 코사인을 포함하기 때문)로 알려져 있습니다. 회전 행렬(rotation matrix)의 속성은 그 역(inverse)이 그것의 전치(transpose)와 같은 것을 만족하는 것입니다. 이것은 "e에서 n으로의 회전 행렬"이 "n에서 e로의 회전 행렬"의 전치임을 의미합니다.

방향 코사인 행렬, C의 속성은 다음입니다::

• 행렬식은 단위입니다, |C| = 1
• 역은 전치와 같습니다,
• 행과 열은 직교 단위 벡터이며, 따라서 그들의 점 곱은 영입니다.

이 방법의 장점은 방향 코사인 행렬이 보통 오일러 각도(Euler angles) 또는 쿼터니언(quaternion)을 사용하여 두 벡터 기저를 관련시켜 독립적으로 획득될 수 있으므로, 기저 변환은 위에서 설명한 모든 점 곱을 계산하지 않고도 직접적으로 수행될 수 있다는 것입니다.

여러 행렬 곱셈을 연속으로 적용함으로써, 일련의 방향 코사인이 연속 기저와 관련하여 알려져 있는 한, 임의의 벡터가 임의의 기초로 표현될 수 있습니다.

Other dimensions

교차 및 트리플 곱을 제외한, 위의 공식은 이차원과 고차원으로 일반화됩니다. 예를 들어, 덧셈은 다음과 같이 이차원으로 일반화됩니다:

$(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}$

그리고 사차원에서 다음으로 일반화됩니다:

${\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}$

교차 곱은 비록 그것의 결과는 이중벡터(bivector)인 외부 곱(exterior product)과 밀접하게 관련될지라도, 쉽게 다른 차원으로 일반화되지 않습니다. 이차원에서, 이것은 단순히 유사-스칼라(pseudoscalar)입니다:

$(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.$

칠-차원 교차 곱(seven-dimensional cross product)은 그것의 결과가 두 인수에 직교하는 벡터라는 점에서 교차 곱과 유사합니다; 어쨌든 가능한 그러한 곱 중 하나를 선택하는 자연스러운 방법은 없습니다.

Physics

벡터는 물리학 및 다른 과학에서 많이 사용됩니다.

Length and units

추상적 벡터 공간에서, 화살표의 길이는 차원없는(dimensionless) 스케일(scale)에 따라 다릅니다. 만약, 그것이, 예를 들어, 힘을 나타내면, "스케일"은 물리적 차원(physical dimension) 길이/힘입니다. 따라서 전형적으로 같은 차원의 수량 사의 스케일에서 일관성은 있지만, 그렇지 않으면 스케일 비율은 변할 수 있습니다; 예를 들어, 만약 "1 뉴턴" 및 "5 m"는 모두 2 cm의 화살표로 표시되면, 스케일은 각각 1 m:50 N 및 1:250입니다. 다른 차원의 벡터의 길이는, 만약 그림을 나타내는 시스템에서 고유의 어떤 비례 상수(proportionality constant)가 있지 않은 한, 특정한 의미를 가지지 않습니다. 역시 단위 벡터의 길이 (길이/힘, 등이 아닌, 차원 길이)는 좌표-시스템-불변 의미를 갖지 않습니다.

Vector-valued functions

Main article: Vector-valued function

종종 물리학과 수학의 분야에서, 벡터는 시간에서 점진적으로 변하며, 그것이 시간 매개 변수 t에 따라 달라짐을 의미합니다. 예를 들어, 만약 r이 입자의 위치 벡터를 나타내면, r(t)는 입자의 궤도의 매개변수적(parametric) 표현을 제공합니다. 벡터-값 함수는 벡터의 성분을 미분화하거나 적분화함으로써 미분화되고 적분화될 수 있고, 미적분학(calculus)에 익숙한 많은 규칙이 벡터-값 함수의 도함수와 적분에 대해 계속 유지됩니다.

Position, velocity and acceleration

삼-차원 공간에서 점 x = (x₁, x₂, x₃)의 위치는 그의 출발점이 원점인 위치 벡터(position vector)로 표현될 수 있습니다:

${\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

위치 벡터는 길이(length)의 차원을 가집니다.

두 점 x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃)이 주어지면, 그들의 변위(displacement)는 다음 벡터입니다:

${\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.$

이것은 x에 관한 y의 위치를 지정합니다. 이 벡터의 길이는 x에서 y로의 직선 거리를 제공합니다. 변위는 길이의 차원을 가집니다.

점 또는 입자의 속도(velocity) v는 벡터이며, 그것의 길이는 속력(speed)을 제공합니다. 일정한 속도에 대해, 시간 t에서 위치는 다음일 것입니다:

${\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},$

여기서 x₀는 시간 t = 0에서 위치입니다. 속도는 위치의 시간 도함수(time derivative)입니다. 그것의 차원은 길이/시간입니다.

점의 가속도(Acceleration) a는 벡터이고 속도의 시간 도함수(time derivative)입니다. 그것의 차원은 길이/시간²입니다.

Force, energy, work

힘(Force)은 질량×길이/시간²의 차원을 갖는 벡터이고 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's second law)은 스칼라 곱셈입니다:

${\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }$

일은 힘(force)과 변위(displacement)의 점 곱입니다:

$E={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).$

Vectors as directional derivatives

벡터는 방향 도함수(directional derivative)로 역시 정의될 수 있습니다: 함수(function) $f(x^{\alpha })$ 및 곡선 $x^{\alpha }(\tau )$을 생각해 보십시오. 그런-다음 $f$의 방향 도함수는 다음으로 정의된 스칼라입니다:

${\frac {df}{d\tau }}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}.$

여기서 인덱스 $\alpha$는 차원의 적절한 숫자에 걸쳐 합해집니다 (예를 들어, 삼-차원 유클리드 공간에서 1에서 3으로, 사-차원 시간-공간에서 0에서 3으로, 등). 그런-다음 $x^{\alpha }(\tau )$에 접하는 벡터를 생각해 보십시오:

$t^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}.$

방향 도함수는 다음처럼 (주어진 함수 $f$없이) 미분 형식으로 다시-쓸 수 있습니다:

${\frac {d}{d\tau }}=\sum _{\alpha }t^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.$

그러므로, 임의의 방향 도함수는 대응하는 벡터로 식별될 수 있고, 임의의 벡터는 대응하는 방향 도함수로 식별될 수 있습니다. 벡터는 따라서 다음으로 정확하게 정의될 수 있습니다:

$\mathbf {a} \equiv a^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.$

Vectors, pseudovectors, and transformations

특히 물리학에서, 유클리드 벡터의 대안적인 특성화는 좌표 변환(coordinate transformation) 아래에서 특정 방법으로 동작하는 수량의 목록으로 설명합니다. 반-변형 벡터(contravariant vector)는 기저(basis)의 변화 아래에서 "기저와 반대로 변형하는" 성분을 갖도록 요구됩니다. 벡터 자체는 기저가 변환될 때 변하지 않습니다; 대신에, 벡터의 성분은 기저에서 변경을 취소하는 변경을 만듭니다. 다시 말해, 만약 기준 축 (및 그로부터 파생된 기저)이 한 방향으로 회전되면, 벡터의 성분 표현은 같은 최종 벡터르 생성하기 위해 반대 방법으로 회전합니다. 비슷하게, 만약 기준 축이 한 방향으로 늘어나면, 벡터의 성분은 정확하게 보정되는 방법으로 줄어듭니다. 수학적으로, 만약 기저가 좌표 벡터 x가 x′ = Mx로 변환되도록 역-가능(invertible matrix) 행렬 M에 의해 묘사된 변환을 겪으면, 반-변형 벡터 v는 v′ = M$^{-1}$v를 통해 비슷하게 변환되어야 합니다. 이 중요한 요구-사항은 물리적으로 의미있는 양의 임의의 다른 트리플과 반-변형 벡터를 구별하는 것입니다. 예를 들어, 만약 v가 속도(velocity)의 x, y 및 z 성분으로 구성되면, v는 반-변형 벡터입니다: 만약 공간의 좌표가 늘려지거나 회전되거나, 비틀려지면, 속도의 성분은 같은 방법으로 변환됩니다. 다른 한편으로, 예를 들어, 사각형 상자의 길이, 너비 및 높이로 구성된 트리플은 추상 벡터(vector)의 세 성분을 구성할 수 있지만, 이 벡터는 반-변형이 아닌데, 왜냐하면 상자를 회전해도 상자의 길이, 너비 및 높이가 변하지 않기 때문입니다. 반-변형 벡터의 예제는 변위(displacement), 속도(velocity), 전기 필드(electric field), 운동량(momentum), 힘(force), 및 가속도(acceleration)를 포함합니다.

미분 기하학(differential geometry)의 언어에서, 좌표 변화의 같은 행렬에 따른 벡터 변환의 성분은 반-불형 벡터를 반-변형(contravariant) 랭크 일의 텐서(tensor)로 정의하는 것과 동등한 것이라는 요구 사항이 있습니다. 대안적으로, 반-변형 벡터는 접 벡터(tangent vector)로 정의되고, 반-변형 벡터를 변환하기 위한 규칙은 체인 규칙(chain rule)으로부터 따릅니다.

벡터가 거울을 통해 반사될 때, 그들은 튀기고 빼기 부호를 얻는다는 점을 제외하고, 일부 벡터는 반 변형 벡터처럼 변형됩니다. 거울처럼 오른-손을 왼-손으로 또는 그 반대로 전환하는 변환은 공간의 방향(orientation)을 바꾸는 것으로 알려져 있습니다. 공간의 방향이 변할 때 빼기 부호를 얻는 벡터는 유사-벡터(pseudovector) 또는 축 벡터(axial vector)라고 불립니다. 보통의 벡터는 유사-벡터와 구별하기 위해 참 벡터(true vectors) 또는 극 벡터(polar vectors)라고 때때로 불립니다. 유사-벡터는 두 개의 보통 벡터의 교차 곱(cross product)으로 가장 자주 발생합니다.

유사-벡터의 한 예제는 각속도(angular velocity)입니다. 차(car)를 운전하고, 앞을 바라보면, 각 바퀴(wheel)는 왼쪽을 가리키는 각속도 벡터를 가집니다. 만약 세계가 자동차의 왼쪽과 오른쪽을 전환하는 거울에 반사되면, 이 각속도 벡터의 반사는 오른쪽을 가리키지만, 바퀴의 실제 각속도 벡터는 여전히 왼쪽을 가리키며, 빼기 부호에 해당합니다. 유사-벡터의 다른 예제는 자기 필드(magnetic field), 토크(torque), 또는, 보다 일반적으로 두 (참) 벡터의 임의의 교차 곱을 포함합니다.

벡터와 유사-벡터 사이의 이러한 차이는 종종 무시되지만, 그것은 대칭(symmetry) 속성을 연구하는 데 중요합니다. 패리티(parity (physics))를 참조하십시오.

See also

• Affine space, which distinguishes between vectors and points
• Array data structure or Vector (Computer Science)
• Banach space
• Clifford algebra
• Complex number
• Coordinate system
• Covariance and contravariance of vectors
• Four-vector, a non-Euclidean vector in Minkowski space (i.e. four-dimensional spacetime), important in relativity
• Function space
• Grassmann's Ausdehnungslehre
• Hilbert space
• Normal vector
• Null vector
• Pseudovector
• Quaternion
• Tangential and normal components (of a vector)
• Tensor
• Unit vector
• Vector bundle
• Vector calculus
• Vector notation
• Vector-valued function

References

Mathematical treatments

• Apostol, Tom (1967). Calculus. Vol. Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. {{cite book}}: |volume= has extra text (help); Invalid |ref=harv (help)
• Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5. {{cite book}}: |volume= has extra text (help); Invalid |ref=harv (help)
• Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Vector, geometric", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dynamics Online, Sunnyvale, California: OnLine Dynamics.
• Lang, Serge (1986). Introduction to Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96205-0. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)

Physical treatments

• Aris, R. (1990). Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-66110-0. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Feynman, Richard; Leighton, R.; Sands, M. (2005). "Chapter 11". The Feynman Lectures on Physics. Vol. Vol. I (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9. {{cite book}}: |volume= has extra text (help); Invalid |ref=harv (help)

External links

• "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Online vector identities (PDF)
• Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)