The function f (x ) (in blue) is approximated by a linear function (in red). 수학(mathematics) , 특히 수치 해석학(numerical analysis) 에서, 사다리꼴 규칙 (trapezoidal rule )은 한정 적분(definite integral) 을 근사화하는 기법이며, 역시 trapezoid rule 또는 trapezium rule 으로 알려져 있습니다; 용어에 대한 자세한 정보에 대해 사다리꼴(Trapezoid) 을 참조하십시오:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
사다리꼴 규칙은 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
사다리꼴(trapezoid) 로 근사화하고 그것의 넓이를 계산함으로써 작동합니다. 그것은 다음임을 따릅니다:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
(
b
−
a
)
⋅
1
2
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}
An animation that shows what the trapezoidal rule is and how the error in approximation decreases as the step size decreases 사다리꼴 규칙은 왼쪽(left) 과 오른쪽(right) 리만 합(Riemann sum) 을 평균함으로써 얻어진 결과로 보일 수 있고, 때때로 이 방법으로 정의됩니다. 그 적분은 적분 구간을 분할 하고, 각 부분구간에 사다리꼴 규칙을 적용하고, 그런-다음 결과를 합함으로써 훨씬 더 잘 근사화될 수 있습니다. 실제로, 이 "연쇄된" (또는 "합성") 사다리꼴 규칙은 보통 "사다리꼴 규칙을 갖는 적분"에 의해 의미되는 것입니다.
{
x
k
}
{\displaystyle \{x_{k}\}}
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
N
−
1
<
x
N
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Δ
x
k
{\displaystyle \Delta x_{k}}
k
{\displaystyle k}
Δ
x
k
=
x
k
−
x
k
−
1
{\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
1
N
f
(
x
k
−
1
)
+
f
(
x
k
)
2
Δ
x
k
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}
분할이 규칙적인 간격을 가질 때, 종종 그렇듯이, 즉, 모든
Δ
x
k
{\displaystyle \Delta x_{k}}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
Δ
x
2
(
f
(
x
0
)
+
2
f
(
x
1
)
+
2
f
(
x
2
)
+
2
f
(
x
3
)
+
2
f
(
x
4
)
+
⋯
+
2
f
(
x
N
−
1
)
+
f
(
x
N
)
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}
근사는 분할의 분해-정도가 증가함에 따라 더 정확하게 됩니다 (즉, 더 큰
N
{\displaystyle N}
Δ
x
k
{\displaystyle \Delta x_{k}}
아래에서 논의되는 바와 같이, 사다리꼴 규칙을 사용하여 추정된 한정 적분 값의 정확도에 대한 오차 경계를 두는 것도 가능합니다.
Illustration of "chained trapezoidal rule" used on an irregularly-spaced partition of
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
History 2016년 논문은 사다리꼴 규칙이 황도(ecliptic) 를 따라 목성(Jupiter) 의 속도를 적분화하는 데 기원전 50년 이전에 바빌로니아(Babylon) 에서 사용되었다고 언급합니다.[1]
Numerical implementation Non-uniform grid 격자 간격이 비-균등할 때, 우리는 다음 공식을 사용할 수 있습니다:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
1
N
f
(
x
k
−
1
)
+
f
(
x
k
)
2
Δ
x
k
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}}
Uniform grid
N
{\displaystyle N}
Δ
x
k
=
Δ
x
=
b
−
a
N
{\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}
적분에 대한 근사는 다음이 됩니다:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
Δ
x
2
∑
k
=
1
N
(
f
(
x
k
−
1
)
+
f
(
x
k
)
)
=
Δ
x
2
(
f
(
x
0
)
+
2
f
(
x
1
)
+
2
f
(
x
2
)
+
2
f
(
x
3
)
+
⋯
+
2
f
(
x
N
−
1
)
+
f
(
x
N
)
)
=
Δ
x
(
∑
k
=
1
N
−
1
f
(
x
k
)
+
f
(
x
N
)
+
f
(
x
0
)
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[6pt]&={\frac {\Delta x}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}))\\[6pt]&=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}\right).\end{aligned}}}
Error analysis An animation showing how the trapezoidal rule approximation improves with more strips for an interval with
a
=
2
{\displaystyle a=2}
b
=
8
{\displaystyle b=8}
N
{\displaystyle N}
합성 사다리꼴 규칙의 오차는 적분 값과 수치적 결과 사이의 차이입니다:
E
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
b
−
a
N
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
+
∑
k
=
1
N
−
1
f
(
a
+
k
b
−
a
N
)
]
{\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}
다음을 만족하는 a 와 b 사이의 숫자 ξ 가 존재합니다:[2]
E
=
−
(
b
−
a
)
3
12
N
2
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}
만약 피적분이 위로 오목(concave up) 이면 (및 따라서 양의 이차 도함수를 가지면), 그 오차는 음수이고 사다리꼴 규칙은 실제 값을 과대평가함을 따릅니다. 이것은 역시 기하학적 그림에서 보일 수 있습니다: 사다리꼴은 곡선 아래의 모든 넓이를 포함하고 곡선 위로 확장합니다. 유사하게, 아래로-오목(concave-down) 함수는 넓이가 곡선 아래에서 설명되지 않지만, 어떤 것도 위에 계산되지 않기 때문에 과소평가를 산출합니다. 만약 근사되는 적분의 구간이 변곡점을 포함하면, 그 오차는 식별하기가 더 어렵습니다.
N → ∞에 대해 점근적 오차 추정은 다음에 의해 제공됩니다:
E
=
−
(
b
−
a
)
2
12
N
2
[
f
′
(
b
)
−
f
′
(
a
)
]
+
O
(
N
−
3
)
.
{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}
이 오차 추정의 추가적인 항은 오일러–맥클로린 합계 공식에 의해 제공됩니다.
몇 가지 기법이 오차를 분석하기 위해 사용될 수 있으며, 다음을 포함합니다:[3]
푸리에 급수(Fourier series) 잔여 미적분(Residue calculus) 오일러–맥클로린 합계 공식(Euler–Maclaurin summation formula) [4] [5] 다항식 보간(Polynomial interpolation) [6] [7]
Proof 먼저
h
=
b
−
a
N
{\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}
a
k
=
a
+
(
k
−
1
)
h
{\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}
g
k
(
t
)
=
1
2
t
[
f
(
a
k
)
+
f
(
a
k
+
t
)
]
−
∫
a
k
a
k
+
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)dx}
|
g
k
(
h
)
|
{\displaystyle |g_{k}(h)|}
[
a
k
,
a
k
+
h
]
{\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}
d
g
k
d
t
=
1
2
[
f
(
a
k
)
+
f
(
a
k
+
t
)
]
+
1
2
t
⋅
f
′
(
a
k
+
t
)
−
f
(
a
k
+
t
)
,
{\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}
및
d
2
g
k
d
t
2
=
1
2
t
⋅
f
″
(
a
k
+
t
)
.
{\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}
이제
|
f
″
(
x
)
|
≤
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle \left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi )}
f
{\displaystyle f}
|
f
″
(
a
k
+
t
)
|
≤
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle \left\vert f''(a_{k}+t)\right\vert \leq f''(\xi )}
이것은 다음과 동등합니다:
−
f
″
(
ξ
)
≤
f
″
(
a
k
+
t
)
≤
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}
−
f
″
(
ξ
)
t
2
≤
g
k
″
(
t
)
≤
f
″
(
ξ
)
t
2
.
{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}
g
k
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle g_{k}'(0)=0}
g
k
(
0
)
=
0
{\displaystyle g_{k}(0)=0}
∫
0
t
g
k
″
(
x
)
d
x
=
g
k
′
(
t
)
{\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}
∫
0
t
g
k
′
(
x
)
d
x
=
g
k
(
t
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}
이들 결과를 사용하여, 우리는 다음을 찾습니다:
−
f
″
(
ξ
)
t
2
4
≤
g
k
′
(
t
)
≤
f
″
(
ξ
)
t
2
4
{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}
및
−
f
″
(
ξ
)
t
3
12
≤
g
k
(
t
)
≤
f
″
(
ξ
)
t
3
12
{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}
t
=
h
{\displaystyle t=h}
−
f
″
(
ξ
)
h
3
12
≤
g
k
(
h
)
≤
f
″
(
ξ
)
h
3
12
.
{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}
모든 지역 오차 항을 합하면 다음을 찾습니다:
∑
k
=
1
N
g
k
(
h
)
=
b
−
a
N
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
+
∑
k
=
1
N
−
1
f
(
a
+
k
b
−
a
N
)
]
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}
그러나 다음이 되도록
−
f
″
(
ξ
)
h
3
N
12
≤
b
−
a
N
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
+
∑
k
=
1
N
−
1
f
(
a
+
k
b
−
a
N
)
]
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
f
″
(
ξ
)
h
3
N
12
{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}}
우리는 역시 다음을 가집니다:
−
∑
k
=
1
N
f
″
(
ξ
)
h
3
12
≤
∑
k
=
1
N
g
k
(
h
)
≤
∑
k
=
1
N
f
″
(
ξ
)
h
3
12
{\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}
및
∑
k
=
1
N
f
″
(
ξ
)
h
3
12
=
f
″
(
ξ
)
h
3
N
12
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}
그러므로 전체 오차는 다음에 의해 경계집니다:
error
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
b
−
a
N
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
+
∑
k
=
1
N
−
1
f
(
a
+
k
b
−
a
N
)
]
=
f
″
(
ξ
)
h
3
N
12
=
f
″
(
ξ
)
(
b
−
a
)
3
12
N
2
.
{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}
Periodic and peak functions 사다리꼴 규칙은 주기적 함수에 대해 빠르게 수렴합니다. 이것은 오일러-맥클로린 합계 공식(Euler-Maclaurin summation formula) 의 쉬운 결과로, 만약
f
{\displaystyle f}
T
{\displaystyle T}
p
{\displaystyle p}
∑
k
=
0
N
−
1
f
(
k
h
)
h
=
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
+
∑
k
=
1
⌊
p
/
2
⌋
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
T
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
0
)
)
−
(
−
1
)
p
h
p
∫
0
T
B
~
p
(
x
/
T
)
f
(
p
)
(
x
)
d
x
{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,\mathrm {d} x}
여기서
h
:=
T
/
N
{\displaystyle h:=T/N}
B
~
p
{\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}
p
{\displaystyle p}
[8]
O
(
h
p
)
{\displaystyle O(h^{p})}
비슷한 효과는 가우스(Gaussian) , 지수적으로 수정된 가우스(Exponentially modified Gaussian) , 및 무시될 수 있는 적분 극한에서 도함수를 갖는 다른 함수와 같은 돌출부-계열 함수에 대해 사용할 수 있습니다.[9] [10] 심슨의 규칙(Simpson's rule) 은 같은 정확도를 달성하기 위해 1.8배 더 많은 점을 요구합니다.[10] [11]
비록 오일러-맥클로린 합계 공식을 더 높은 차원으로 확장하기 위해 약간의 노력이 있었지만,[12]
f
{\displaystyle f}
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
O
(
h
p
/
d
)
{\displaystyle O(h^{p/d})}
몽크홀스트-팩 적분 (Monkhorst-Pack integration )으로 알려진 계산적 고체 상태 물리학에서 활용됩니다.[13]
"Rough" functions C 2
O
(
N
−
2
)
{\displaystyle O(N^{-2})}
N
{\displaystyle N}
심슨의 규칙(Simpson's rule) 보다 더 날카로운 경계를 가집니다.[14]
Applicability and alternatives 사다리꼴 규칙은 뉴턴–코츠 공식(Newton–Cotes formulas) 이라고 불리는 수치적 적분(numerical integration) 에 대해 공식 중의 가족 중 하나로, 이것의 중간점 규칙(midpoint rule) 은 사다리꼴 규칙과 유사합니다. 심슨의 규칙(Simpson's rule) 은 같은 가족의 또 다른 구성원이고, 일반적으로 비록 모든 특정 경우에서 그렇지 않지만 두 번 연속적으로 미분가능인 함수에 대해 사다리꼴 규칙보다 더 빠른 수렴을 가집니다. 어쨌든, 더 거친 함수 (더 약한 매끄러움 조건을 갖는 함수)의 다양한 클래스에 대해, 사다리꼴 규칙은 일반적으로 심슨의 규칙보다 더 빠른 수렴을 가집니다.[14]
게다가, 사다리꼴 규칙은 주기 함수(periodic function) 가 다양한 방법으로 분석 될 수 있는 해당 주기에 걸쳐 적분될 때 극단적으로 정확하게 되는 경향이 있습니다.[7] [11] [10] [11]
비-주기적 함수에 대해, 어쨌든 가우스 구적법(Gaussian quadrature) 과 클렌쇼–커티스 구적법(Clenshaw–Curtis quadrature) 과 같이 같지 않은 간격된 점을 갖는 방법은 일반적으로 훨씬 더 정확합니다; 클렌쇼–커티스 구적법은 사다리꼴 규칙이 정확하게 적용될 수 있는 점에서 주기적 적분의 관점에서 임의적분 적분을 표현하기 위한 변수의 변경으로 보일 수 있습니다.
See also Notes
^ Ossendrijver, Mathieu (Jan 29, 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph" . Science . 351 (6272): 482–484. doi :10.1126/science.aad8085 . PMID 26823423 . S2CID 206644971 . ^ Atkinson (1989 , equation (5.1.7))^ (Weideman 2002 , p. 23, section 2)
^ Atkinson (1989 , equation (5.1.9))^ Atkinson (1989 , p. 285)^ Burden & Faires (2011 , p. 194) harvtxt error: no target: CITEREFBurdenFaires2011 (help ) ^ a b (Rahman & Schmeisser 1990 )
^ Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis, volume 181 of Graduate Texts in Mathematics . Springer-Verlag. ^ Goodwin, E. T. (1949). "The evaluation of integrals of the form". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 45 (2): 241–245. doi :10.1017/S0305004100024786 . ISSN 1469-8064 . ^ a b c Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems . 179 : 22–30. doi :10.1016/j.chemolab.2018.06.001 . ISSN 0169-7439 . ^ a b c (Weideman 2002 )
^ "Euler-Maclaurin Summation Formula for Multiple Sums" . math.stackexchange.com .^ Thompson, Nick. "Numerical Integration over Brillouin Zones" . bandgap.io . Retrieved 19 December 2017 . ^ a b (Cruz-Uribe & Neugebauer 2002 )
References
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![{\displaystyle [a,b]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[6pt]&={\frac {\Delta x}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}))\\[6pt]&=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}\right).\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ad013823b913567f808ab2dfc4bb80a85d676f)
![{\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bbf6fd3feca24e5b54d2648875a66b554edce8)
![{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd5ac77d42c690b44c7f4e0046485375e36abae)
![{\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)dx}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ee2c1a6e60c5c3e4f0abcefee8df43cfc4be80)
![{\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4278d1e363fde482a2cf9e04b012205776c5a9a3)
![{\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0340ea2941deffa7beed8c8595a4aaf897d797bd)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99801ff97304978cf8907920a96c7c8e777d9b84)
![{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cbe85462ce4d50b9fcf4bc6b7e4c1ff11b49a5)
![{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c7d21cd4bf876a3ed5e13073b9ac5c54ffe9d5)
