Velocity

Original article: w:Velocity

This article is about velocity in physics. For other uses, see Velocity (disambiguation).

Velocity
As a change of direction occurs while the racing cars turn on the curved track, their velocity is not constant.
Common symbols	v, v, v→
Other units	mph, ft/s
In SI base units	m/s
Dimension	L T−1

대상의 속도(velocity)는 참조 프레임(frame of reference)에 관한 그의 위치(position)의 변화율(rate of change)이고, 시간의 함수입니다. 속도는 (예를 들어, 북쪽으로 60 km/h) 대상의 속력(speed)과 운동(motion)의 방향의 명세서와 동등합니다. 속도는 운동학(kinematics), 몸체의 운동을 설명하는 고전 역학(classical mechanics)의 가지에서 기본 개념입니다.

속도는 물리적 벡터(vector) 양(quantity)입니다; 크기와 방향 둘 다는 그것을 정의하가 위해 요구됩니다. 속도의 스칼라(scalar) 절댓값(absolute value) (크기(magnitude))은 속력(speed)으로 불리며, 그 양은 초당 미터(metres per second) (m/s) 또는 (m⋅s⁻¹)의 SI 기본 단위로써 SI (메트릭 시스템(metric system))에서 측정되는 일관된 유도된 단위가 있습니다. 예를 들어, "초당 5 미터"는 스칼라이지만, "초당 동쪽으로 5 미터"는 벡터입니다. 만약 속력, 방향 또는 둘 다에 변화가 있으면, 대상은 변화하는 속도를 가지고 가속도(accelertion)를 받는다고 말합니다.

Constant velocity vs acceleration

일정한 속도를 가지기 위해, 대상은 일정한 방향으로 일정한 속력을 가져야 합니다. 일정한 방향은 대상을 직선 경로로 움직이도록 구속하므로, 일정한 속도는 일정한 속력에서 직선으로 움직임을 의미합니다.

예를 들어, 원형 경로에서 시간당 20km로 일정하게 움직이는 자동차는 일정한 속력을 가지지만, 일정한 속도를 가지지는 않는데 왜냐하면 그것의 방향이 변하기 때문입니다. 그러므로, 자동차는 가속을 겪고-있는 것으로 여겨집니다.

Difference between speed and velocity

Main article: Speed

Kinematic quantities of a classical particle: mass m, position r, velocity v, acceleration a.

속력, 속도 벡터의 스칼라(scalar) 크기는 대상이 얼마나 빠르게 움직이는지를 오직 나타냅니다.

Equation of motion

Main article: Equation of motion

Average velocity

속도는 시간에 관한 위치의 변화율로 정의되며, 평균 속도와의 구별을 강조하기 위해 순간 속도로 역시 참조될 수 있습니다. 일부 응용에서, 대상의 "평균 속도"는, 말하자면, 일정 시간 구간 Δt에 걸쳐, 같은 시간 구간에서 변하는 속도, v(t)로 같은 결과 변위를 제공하는 일정한 속도가 필요할 수 있습니다. 평균 속도는 다음으로 계산될 수 있습니다:

${\boldsymbol {\bar {v}}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta {\mathit {t}}}}.$

평균 속도는 항상 대상의 평균 속력보다 작거나 같습니다. 이것은 거리가 항상 엄격하게 증가하지만, 변위는 방향이 변할뿐만 아니라 크기에서 증가 또는 감소할 수 있음을 인식함으로써 보일 수 있습니다.

변위-시간 (x 대. t) 그래프의 관점에서, 순간 속도 (또는, 간단히, 속도)는 임의의 점에서 곡선에 대한 접선의 기울기, 및 평균 속도에 대해 시간 구간의 경계와 같은 t 좌표를 갖는 두 점 사이의 가름 선(secant line)의 기울기로 평균 속도로 생각될 수 있습니다.

평균 속도는 시간에 걸쳐 평균화된 속도 – 말하자면, 그것의 시간–가중된 평균 속도와 같으며, 이것은 속도의 시간 적분으로 계산될 수 있습니다:

${\boldsymbol {\bar {v}}}={1 \over t_{1}-t_{0}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt,$

여기서 우리는 다음을 식별할 수 있습니다:

$\Delta {\boldsymbol {x}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt$

및

$\Delta t=t_{1}-t_{0}.$

Instantaneous velocity

Example of a velocity vs. time graph, and the relationship between velocity v on the y-axis, acceleration a (the three green tangent lines represent the values for acceleration at different points along the curve) and displacement s (the yellow area under the curve.)

만약 우리가 v를 속도로, x를 변위 (위치에서 변화) 벡터로 여기면, 우리는 임의의 특정 시간 t에서 입자 또는 대상의 (순간) 속도를 시간에 관한 위치의 도함수(derivative)로 표현할 수 있습니다:

${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.$

이 도함수 방정식에서, 일-차원 경우에서, 속도 대. 시간 (v 대. t 그래프) 아래의 넓이가 변위, x임을 알 수 있습니다. 미적분 용어에서, 속도 함수 v(t)의 적분(integral)은 변위 함수 x(t)입니다. 그림에서, 이것은 s라고 이름-붙인 곡선 아래의 노란색 넓이에 해당합니다 (s는 변위에 대해 대안적인 표기법입니다).

${\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.$

시간에 관한 위치의 도함수는 위치에서 변화 (미터(meter)에서)를 시간의 변화 (초(second)에서)로 나눈 것을 제공하며, 속도는 초당 미터 (m/s)로 측정됩니다. 비록 순간 속도의 개념은 처음에는 반-직관적인 것처럼 보일 수 있지만, 대상이 만약 그 순간에 가속을 멈추면 계속 진행할 속도라고 생각될 수 있습니다.

Relationship to acceleration

비록 속도는 위치의 변화율로 정의될지라도, 종종 대상의 가속도(acceleration)에 대해 표현으로 시작하는 것이 공통적입니다. 그림에서 세 녹색 접선으로 볼 수 있듯이, 시간에서 특정 점에서 대상의 순간 가속도는 해당 점에서 v(t) 그래프의 곡선에 접하는 직선(line tangent)의 기울기(slope)입니다. 다시 말해, 가속도는 시간에 관한 속도의 도함수로 정의됩니다:

${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{d{\mathit {t}}}}.$

그곳으로부터, 우리는 a(t) 가속도 대. 시간 그래프 아래의 넓이로 속도에 대해 표현을 얻을 수 있습니다. 위와 같이, 이것은 적분의 개념을 사용하여 행해집니다:

${\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ d{\mathit {t}}.$

Constant acceleration

일정한 가속도의 특별한 경우에서, 속도는 suvat 방정식을 사용하여 연구될 수 있습니다. a를 어떤 임의의 상수 벡터와 같은 것으로 고려함으로써, 다음임을 보이는 것은 자명합니다:

${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t$

여기서 v는 시간 t에서 속도이고 u는 시간 t = 0에서 속도입니다. 이 방정식을 suvat 방정식 x = ut + at²/2과 결합함으로써, 변위와 평균 속도를 다음에 의해 관련시키는 것이 가능합니다:

${\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}{\mathit {t}}={\boldsymbol {\bar {v}}}{\mathit {t}}$.

토리첼리 방정식(Torricelli equation)으로 알려진, 시간과 독립인 속도에 대한 표현을 다음과 같이 유도하는 것이 역시 가능합니다:

$v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}$

$(2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}$

$\therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})$

여기서 v = |v| 등입니다.

위의 방정식은 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)과 특수 상대성(special relativity) 둘 다에 대해 유효합니다. 뉴턴 역학과 특수 상대성이 다른 곳은 다른 관찰자들이 같은 상황을 묘사하는 방식에 있습니다. 특히, 뉴턴 역학에서 모든 관찰자는 t의 값에 동의하고 위치에 대해 변환 규칙은 모든 비-가속 관찰자가 같은 값을 가진 대상의 가속도를 설명하는 상황을 만듭니다. 어느 쪽도 특수 상대성에 대해 참이 아닙니다. 달리 말해서, 오직 상대 속도가 계산될 수 있습니다.

Quantities that are dependent on velocity

움직이는 대상의 운동 에너지(kinetic energy)는 속도에 따라 달라지고 특수 상대성(special relativity)을 무사히고 다음 방정식에 의해 제공됩니다:

$E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

여기서 E_k는 운동 에너지이고 m은 질량입니다. 운동 에너지는 속도의 제곱에 의존하는 스칼라 양이며, 어쨌든 관련된 양, 운동량(momentum)은 벡터이고 다음에 의해 정의됩니다:

${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$

특수 상대성(special relativity)에서, 차원이-없는 로런츠 인수(Lorentz factor)는 자주 나타나고, 다음에 의해 제공됩니다:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

여기서 γ는 로렌츠 인수이고 c는 빛의 속력입니다.

탈출 속도(Escape velocity)는 지구와 같은 거대한 물체에서 탈출하기 위해 필요한 탄도 물체의 최소 속력입니다. 그것은 물체의 중력 위치 에너지에 더해질 때, (이것은 항상 음수임) 영과 같은 것인 운동 에너지를 나타냅니다. 질량 M을 가진 행성의 중심으로부터 거리 r에서 물체의 탈출 속도에 대해 일반적인 공식은 다음입니다:

$v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},$

여기서 G는 중력 상수(Gravitational constant)이고 g는 중력 가속도(Gravitational acceleration)입니다. 지구의 표면으로부터 탈출 속도는 약 11 200 m/s이고, 물체의 방향에 관계가 없습니다. 이것은 "탈출 속도"를 약간 잘못된 것으로 만드는데, 왜냐하면 보다 정확한 용어는 "탈출 속력"이 될 것입니다: 대기와 상관없이, 그 크기의 속도를 달성하는 물체는 그것의 경로에서 어떤 것과 교차하지 않은 한 기본 몸체의 부근을 떠날 것입니다.

Relative velocity

Main article: Relative velocity

상대 속도는 단일 좌표 시스템에서 결정된 것으로 두 물체 사이의 속도의 측정입니다. 상대 속도는 고전 물리학과 현대 물리학 둘 다에서 기본인데, 왜냐하면 물리학에서 많은 시스템은 둘 이상의 입자의 상대 운동을 다루기 때문입니다. 뉴턴 역학에서, 상대 속도는 선택된 관성 기준 프레임과 독립입니다. 이것은 속도가 기준 프레임의 선택에 의존하는 것에서 특수 상대성(special relativity)에서는 더 이상 그렇지 않습니다.

만약 물체 A가 속도 벡터(vector) v로 움직이고 물체 B가 속도 벡터 w로 움직이면, 물체 B에 관한 물체 A의 속도는 두 속도 벡터의 차이로 정의됩니다:

${\boldsymbol {v}}_{A{\text{ relative to }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}$

비슷하게, 속도 v로 움직이는 물체 A에 관한, 속도 w로 움직이는 물체 B의 상대 속도는 다음입니다:

${\boldsymbol {v}}_{B{\text{ relative to }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}$

보통, 선택된 관성 프레임은 언급된 두 물체 중 후자가 중지 중인 프레임입니다.

Scalar velocities

일-차원 경우에서, 속도는 스칼라이고 방정식은 둘 중 하나입니다:

만약 두 물체가 반대 방향에서 움직이면, $\,v_{rel}=v-(-w)$, 또는:

만약 두 물체가 같은 방향에서 움직이면, $\,v_{rel}=v-(+w)$.

Polar coordinates

극 좌표(polar coordinates)에서, 이-차원 속도는 방사형 속도(radial velocity)로 묘사되며, 원점에서 멀어-지거나 향하는 속도의 성분 및 각속도(angular velocity), 원점에 대한 회전율로 정의됩니다 (오른-손 좌표 시스템에서, 양의 양은 시계-반대-방향 회전을 나타내고 음의 양은 시계-방향 회전을 나타냅니다).

방사형 및 각속도는 속도 벡터를 방사형 및 횡-방향 성분으로 분해함으로써 데카르트 속도 및 변위 벡터로부터 유도될 수 있습니다. 횡단(transverse) 속도는 원점을 중심으로 한 원을 따라 속도의 성분입니다.

${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}$

여기서

${\boldsymbol {v}}_{T}$는 횡단 속도이며,

${\boldsymbol {v}}_{R}$은 방사형 속도입니다.

방사형 속도의 크기는 변위의 방향에서 속도 벡터와 단위 벡터의 점 곱(dot product)입니다.

$v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}$

여기서

${\boldsymbol {r}}$는 변위입니다.

횡단 속도의 크기는 변위 방향에서 단위 벡터와 속도 벡터의 교차 곱(cross product)의 크기입니다. 그것은 역시 각속력(angular speed) $\omega$와 변위 크기의 곱입니다:

$v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|$

여기서 다음을 만족합니다:

$\omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.$

스칼라 형식에서 각 운동량(angular momentum)은 질량 곱하기 원점까지의 거리 곱하기 횡단 속도이며, 또는 동등하게, 질량 곱하기 제곱된 거리 곱하기 각속력를 곱한 것입니다. 각 운동량에 대해 부호 규칙은 각 속도에 대해 부호 규칙과 같습니다.

$L=mrv_{T}=mr^{2}\omega \,$

여기서

$m\,$은 질량이고,

$r=\|{\boldsymbol {r}}\|.$

표현 $mr^{2}$은 관성의 모멘트(moment of inertia)로 알려져 있습니다. 만약 중력의 궤도(orbit)의 경우에서 처럼, 힘이 역 제곱 의존을 갖는 방사형 방향에 있으면, 각 운동량은 상수이고, 횡단 속도는 거리에 반비례하고, 각 속력은 제곱된 거리에 반비례하고, 쓸어-내려진 넓이에서 율은 상수입니다. 이들 관계는 행성 운동의 케플러의 법칙(Kepler's laws of planetary motion)으로 알려져 있습니다.

See also

• Four-velocity (relativistic version of velocity for Minkowski spacetime)
• Group velocity
• Hypervelocity
• Phase velocity
• Proper velocity (in relativity, using traveler time instead of observer time)
• Rapidity (a version of velocity additive at relativistic speeds)
• Terminal velocity
• Velocity vs. time graph

References

• Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (June 16, 2004). ISBN 0-471-23231-9.

External links

• physicsabout.com, Speed and Velocity
• Velocity and Acceleration
• Introduction to Mechanisms (Carnegie Mellon University)