Scalar (mathematics)

스칼라(scalar)는 벡터 공간(vector space)을 정의하기 위해 사용되는 필드(field)의 원소입니다. 방향과 크기를 모두 갖는 것과 같은 여러 스칼라에 의해 기술된 양은 벡터(vector)라고 불립니다. ^[1]

선형 대수(linear algebra)에서, 실수 또는 필드의 일반적인 원소는 스칼라라고 불리고, 한 벡터가 또 다른 벡터를 생성하기 위해 정의된 방법에서 스칼라에 의해 곱해질 수 있는, (벡터 공간에서 정의된) 스칼라 곱셈(scalar multiplication)의 연산을 통해 결합된 벡터 공간에서 벡터들과 관련됩니다.^[2]^[3]^[4] 일반적으로 말하자면, 벡터 공간은 복소수(complex number)와 같은 실수 대신에 임의의 필드를 사용함으로써 정의될 수 있습니다. 그런-다음 해당 벡터 공간의 스칼라가 (복소수와 같은) 결합된 필드의 원소가 될 것입니다.

스칼라 곱(scalar product) 연산 – 스칼라 곱셈과 혼동해서는 안됨 – 은 벡터 공간 위에 정의될 수 있으며, 두 벡터를 스칼라를 생성하기 위한 정의된 방법에서 곱해지게 되는 것을 허용합니다. 스칼라 곱을 구비한 벡터 공간은 안의 곱 공간(inner product space)이라고 불립니다.

쿼터니언(quaternion:사원수)의 실수 성분은 역시 스칼라 부분(scalar part)이라고 불립니다.

그 용어는, 벡터, 행렬(matrix), 텐서(tensor), 또는, 실제적으로 단일 성분으로 축소되는 다른, 보통, "복합" 값을 의미하기 위해 때때로 비공식적으로 사용됩니다. 따라서, 예를 들어, 1 × n 행렬과 n × 1 matrix 행렬의 곱은, 공식적으로 1×1 행렬이며, 종종 스칼라(scalar)라고 말합니다.

그 용어 스칼라 행렬(scalar matrix)은 형식 kI의 행렬을 나타내기 위해 사용되며 여기서 k는 스칼라이고 I는 항등 행렬(identity matrix)입니다.

Etymology

단어 scalar는 라틴(Latin) 단어 scalaris, scala ("ladder"에 대한 라틴어)의 형용사 형식에서 파생하며, 영어 단어 scale은 역시 그것에서 파생합니다. 수학에서 단어 "scalar"의 처음 기록된 사용처는 프랑수아 비에트(François Viète)의 Analytic Art (In artem analyticem isagoge) (1591)에서 발생합니다:^[5]^{[page needed]}^[6]

한 종류에서 또 다른 종류로의 그것드의 본성을 유지하는 것에서 비례적으로 오르거나 내리는 크기는 스칼라 항이라고 부를 수 있습니다.

(라틴: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares.)

옥스포드 영어 사전(Oxford English Dictionary)의 인용에 따르면, 영어에서 용어 "scalar"의 처음 기록된 사용처는 1846년 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)과 함께 오며, 쿼터니언의 실수 부분을 참조합니다:

대수적으로 실수 부분은 발생하는 질문에 따라 음의 무한대에서 양의 무한대로 진행하는 숫자의 한 스케일에 포함된 모든 값을 받을 수 있습니다; 우리는 따라서 그것을 스칼라 부분이라고 불려야 합니다.

Definitions and properties

Scalars of vector spaces

벡터 공간(vector space)은 벡터의 집합 (덧셈의 아벨 그룹(abelian group)), 스칼라의 집합 (필드(field)), 및 스칼라 k와 벡터 v를 또 다른 벡터 kv로 취하는 스칼라 곱셈 연산으로 정의됩니다. 예를 들어, 좌표 공간(coordinate space)에서, 스칼라 곱셈 $k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ 은 $(kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})$ 를 산출합니다. (선형) 함수 공간(function space)에서, kƒ는 함수 x ↦ k(ƒ(x))입니다.

스칼라는 유리수(rational), 대수적(algebraic) 숫자, 실수, 복소수와 마찬가지로 유한 필드(finite field)를 포함한 임의의 필드에서 취할 수 있습니다.

Scalars as vector components

선형 대수의 기본 정리에 따르면, 모든 각 벡터 공간은 기저(basis)를 가집니다. 그것은 필드 K에 걸쳐 모든 각 벡터 공간이 각 좌표가 K의 원소 (예를 들어, 좌표 (a₁, a₂, ..., a_n), 여기서 a_i ∈ K이고 n은 좌표에서 벡터 공간의 차원)로 구성된 해당 좌표 벡터 공간(coordinate vector space)과 동형적(isomorphic)입니다. 예를 들어, 차원(dimension) n의 모든 각 실수 벡터 공간은 n-차원 실수 공간 Rⁿ과 동형입니다.

Scalars in normed vector spaces

대안적으로, 벡터 공간 V는 V에서 모든 각 벡터 v에 스칼라 ||v||를 할당하는 노름(norm) 함수가 장착될 수 있습니다. 정의에 의해, v에 스칼라 k를 곱하면 역시 노름에 |k|를 곱합니다. 만약 ||v||가 v의 길이로 해석되면, 이 연산은 v의 길이를 k로 스케일링하는 것으로 설명될 수 있습니다. 노름을 갖춘 벡터 공간은 노름 벡터 공간(normed vector space) (또는 노름 선형 공간)이라고 불립니다.

노름은 보통 V'의 스칼라 필드 K의 원소로 정의되며, 이는 후자를 부호의 개념을 지원하는 필드로 제한합니다. 게다가, 만약 V가 2 이상의 차원을 가지면, K는 제곱근과 마찬가지로 넷의 산술 연산 아래에서 닫혀야 합니다; 따라서 유리수 Q는 제외되지만, 서드 필드(surd field)는 수용-가능합니다. 이러한 이유로, 모든 각 스칼라 곱 공간이 노름 벡터 공간인 것은 아닙니다.

Scalars in modules

스칼라의 집합이 필드를 형성해야 하는 요구 사항이 그것이 오직 링(ring)을 형성하도록 (예를 들어 스칼라의 나눗셈이 정의될 필요가 없거나, 스칼라가 교환적(commutative)일 필요가 없도록) 완화되면, 결과의 보다 일반적인 대수적 구조는 모듈(module)이라고 불립니다.

이 경우에서, "스칼라"는 복잡한 대상일 수 있습니다. 예를 들어, 만약 R이 링이면, 곱 공간 Rⁿ의 벡터는 R의 엔트리를 스칼라로 갖는 n×n 행렬을 갖는 모듈로 만들어질 수 있습니다. 또 다른 예제는 접 다발(tangent bundle)의 섹션(sections)의 공간이 매니폴드 위에 실수 함수의 대수(algebra)에 걸쳐 모듈을 형성하는 매니폴드 이론(manifold theory)에서 비롯됩니다.

Scaling transformation

벡터 공간과 모듈의 스칼라 곱은 스케일링(scaling), 일종의 선형 변환(linear transformation)의 특수한 경우입니다.

Scalar operations (computer science)

한 번에 단일 값에 적용하는 연산입니다.

스칼라 프로세서 대. 벡터 프로세서 또는 초스칼라 프로세서
변수(variable)는 때때로 역시 "스칼라"로 참조됩니다.

References

^ Mathwords.com – Scalar
^ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
^ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
^ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
^ Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (in Latin). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Retrieved 2015-06-24.
^ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete

External links

"Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Scalar". MathWorld.
Mathwords.com – Scalar

[1] Mathwords.com – Scalar

[2] Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.

[3] Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.

[4] Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.

[5] Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (in Latin). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Retrieved 2015-06-24.

[6] ttp://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete

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