Weak derivative

Original article: w:Weak derivative

수학(mathematics)에서, 약한 도함수(weak derivative)는 미분-가능이 아닌 것으로 가정되지만, 오직 적분-가능인, 즉, L^p 공간 $L^{1}([a,b])$에 놓이는 함수에 대한 함수(functions)의 도함수 (강한 도함수)의 개념을 일반화한 것입니다.

부분에 의한 적분(integration by parts)의 방법은 미분-가능 함수 $u$와 $\varphi$에 대해 우리가 다음을 갖는다는 것을 유지합니다:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}$

u의 약한 도함수인 함수 u'은 본질적으로 이 방정식이 경계 점에서 사라지는 ($\varphi (a)=\varphi (b)=0$) 모든 무한하게 미분-가능 함수 φ에 대해 유지되어야 한다는 요구 사항에 의해 정의됩니다.

Definition

$u$를 르베그 공간(Lebesgue space) $L^{1}([a,b])$에서 함수라고 놓습니다. 우리는 $L^{1}([a,b])$에서 $v$가 $\varphi (a)=\varphi (b)=0$을 갖는 모든 무한하게 미분-가능 함수(differentiable functions)에 대해 다음이면 $u$의 약한 도함수(weak derivative)입니다:

$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt$

$n$-차원으로 일반화하면, 만약 $u$와 $v$가 일부 열린 집합 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$에 대해 지역적 적분-가능 함수(locally integrable functions)의 공간 $L_{\text{loc}}^{1}(U)$에 있고, $\alpha$가 다중-인덱스(multi-index)이면, 우리는 $v$가 모든 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$에 대해, 즉, $U$에서 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 모든 무한하게 미분-가능 함수 $\varphi$에 대해 다음이면 $u$의 $\alpha ^{\text{th}}$-약한 도함수입니다:

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

여기서 $D^{\alpha }\varphi$는 다음으로 정의됩니다: $$D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$$

만약 $u$가 약한 도함수를 가지면, 그것은 종종 $D^{\alpha }u$로 쓰는데, 왜냐하면 약한 도함수는 고유하기 때문입니다 (적어도, 측정 영(measure zero)의 집합까지, 아래 참조).

Examples

• 절댓값(absolute value) 함수 $u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|$는, 이는 $t=0$에서 미분-가능이 아니며, 부호 함수(sign function)로 알려진 약한 도함수 $v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$를 가지고, 다음에 의해 제공됩니다: $$v(t)={\begin{cases}1&{\text{if }}t>0;\\[6pt]0&{\text{if }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{cases}}$$ 이것은 u에 대한 유일한 약한 도함수가 아닙니다: 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 v와 같은 임의의 w는 u에 대해 약한 도함수이기도 합니다. (특히, 위의 v(0)의 정의는 불필요하고 임의의 원하는 실수 r로 대체될 수 있습니다.) 보통, 이것은 문제가 되지 않는데, 왜냐하면 L^p 공간과 소볼레프 공간(Sobolev space)에서, 거의 모든 곳에서 같은 함수가 식별되기 때문입니다.
• 유리수 $1_{\mathbb {Q} }$의 특성 함수(characteristic function)는 어디에서도 미분-가능이 아니지만 약한 도함수를 가집니다. 유리수의 르베그 측정(Lebesgue measure)이 0이기 때문에,$$\int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.$$ 따라서 $v(t)=0$은 $1_{\mathbb {Q} }$의 약한 도함수입니다. 이것은 L^p 공간의 구성원으로 고려될 때, $1_{\mathbb {Q} }$가 영 함수로 식별되기 때문에 우리의 직관과 일치함을 주목하십시오.
• 칸토어 함수(Cantor function) c는 거의 모든 곳에서 미분 가능함에도 불구하고 약한 도함수를 갖지 않습니다. 이는 c의 약한 도함수는 거의 모든 곳에서 0인 c의 고전 도함수와 거의 모든 곳에서 같아야 하기 때문입니다. 그러나 영 함수는 적절한 테스트 함수 φ와 비교하여 알 수 있는 것처럼 c의 약한 도함수가 아닙니다. 보다 이론적으로, c는 그것의 분포적 도함수(distributional derivative), 즉 칸토어 분포(Cantor distribution)가 특이 측정(singular measure)이고 따라서 함수에 의해 나타낼 수 없기 때문에 약한 도함수를 가지지 않습니다.

Properties

만약 두 함수가 같은 함수의 약한 도함수이면, 르베그 측정(Lebesgue measure) 영을 갖는 집합을 제외하고는 동일합니다. 즉, 그것들은 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 같습니다. 만약 두 함수가 거의 모든 곳에서 같으면 그것들이 동등함을 만족하는 함수의 동치 클래스(equivalence classes)를 고려하면, 약한 도함수는 고유합니다.

역시, 만약 u가 전통적 의미에서 미분-가능이면, 그것의 약한 도함수는 그것의 전통적 (강한) 도함수와 (위에서 주어진 의미에서) 같습니다. 따라서 약한 도함수는 강한 도함수의 일반화입니다. 게다가, 합의 도함수와 함수의 곱에 대해 고전적 규칙은 역시 약한 도함수에 대해 유지됩니다.

Extensions

이 개념은 소볼레프 공간(Sobolev space)에서 미분 방정식(differential equations)의 문제와 함수형 해석학(functional analysis)에 유용한 약한 해(weak solutions)의 정의를 제공합니다.

See also

• Subderivative
• Weyl's lemma (Laplace equation)

References

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. p. 53. ISBN 0-387-95449-X.