Without loss of generality

Original article: w:Without loss of generality

"WLOG" redirects here. For the radio station, see WLOG (FM).

일반성의 손실 없이(Without loss of generality, 종종 WOLOG, WLOG, 또는 w.l.o.g.로 약칭됨; 덜 공통적인 문구 without any loss of generality 또는 with no loss of generality)은 수학에서 자주 사용되는 표현입니다. 그 용어는 따라오는 가정이 임의적으로 선택되어 전제를 특정 사례로 좁히지만, 일반적으로 증명(proof)의 유효성에는 영향을 미치지 않음을 나타내는 데 사용됩니다. 다른 경우는 제시된 것과 충분하게 유사하여 본질적으로 같은 논리를 따른다는 것을 입증합니다. 결과적으로, 한번 특정 사례에 대한 증명이 제공되면, 모든 다른 사례에서 결론을 입증하기 위해 그것을 적용하는 것은 자명한(trivial) 일입니다.

많은 시나리오에서, "일반성의 손실 없이"라는 표현은 대칭(symmetry)의 존재에 의해 가능하게 만듭니다. 예를 들어, 만약 실수의 일부 속성 P(x,y)가 x와 y에서 대칭인 것으로 알려져 있으면, 즉 P(x,y)가 P(y,x)와 동등하면, P(x,y)가 모든 각 x와 y에 대해 유지됨을 입증하는 것에서, x ≤ y인 "일반성의 손실 없이"를 가정할 수 있습니다. 이 가정에서 일반성의 손실은 없는데, 왜냐하면 한번 x ≤ y ⇒ P(x,y)의 경우가 입증되면, 다른 경우는 x와 y를 교환함으로써 따르고, P의 대칭에 의해, 이것은 P(x,y)를 의미하므로 P(x,y)가 모든 경우에 대해 유지됨을 보여주기 때문입니다.

다른 한편으로, 만약 그러한 대칭도 없고 또 다른 형식의 동등성이 확립될 수 않으면, "일반성의 손실 없이"의 사용은 올바르지 않고 예제에 의한 증명(proof by example)의 사례에 해당할 수 있습니다 – 예제에 의한 증명은 비-대표적인 예시를 입증함으로써 주장을 입증하는 논리적 오류(logical fallacy)입니다.

Example

다음 정리 (비둘기집 원리(pigeonhole principle))를 생각해 보십시오:

만약 세 개의 물체가 각각 빨간색 또는 파란색으로 칠해지면, 같은 색상의 적어도 두 개의 물체가 있어야 합니다.

하나의 증명:

일반성의 손실 없이, 첫 번째 물체가 빨간색이라고 가정합니다. 만약 다른 두 물체 중 하나가 빨간색이면, 완료된 것입니다; 그렇지 않으면, 다른 두 물체는 모두 파란색이어야 하고 여전히 완료된 것입니다.

위의 논증은 대안적인 가정, 즉, 첫 번째 물체가 파란색이다가 만들어지면, 또는, 유사하게, '빨간색'과 '파란색'이라는 단어가 증명의 문구에서 자유롭게 교환될 수 있다는 대안적인 가정이 적용되면 정확하게 같은 추론이 적용될 수 있기 때문에 작동합니다. 결과적으로, "일반성의 손실 없이"의 사용은 이 경우에 유효합니다.

See also

• Up to
• Mathematical jargon

External links

• WLOG at PlanetMath.org.
• "Without Loss of Generality" by John Harrison - discussion of formalizing "WLOG" arguments in an automated theorem prover.