Triviality (mathematics)

수학(mathematics)에서, 형용사 자명한(trivial)은 종종 문맥에서 쉽게 얻어질 수 있는 주장이나 사례, 또는 단순한 구조 (예를 들어, 그룹(group), 토폴로지적 공간(topological space))를 소유한 대상을 참조하기 위해 사용됩니다.^[1]^[2] 명사 자명성(triviality)은 보통 일부 증명 또는 정의의 간단한 기술적 측면을 참조합니다. 수학적 언어에서 용어의 기원은 중세의 삼학(trivium) 커리큘럼에서 비롯되며, 이것은 더 어려운 사과(quadrivium) 커리큘럼과 구별됩니다.^[1]^[3] 자명한의 반대말은 비-자명한(nontrivial)으로, 공통적으로 예제 또는 해가 간단하지 않거나, 명제 또는 정리가 입증하기 쉽지 않음을 나타내기 위해 사용됩니다.^[2]

Trivial and nontrivial solutions

수학에서, 용어 "자명한"은 종종 매우 간단한 구조를 갖는 대상 (예를 들어, 그룹, 토폴로지적 공간)을 참조하기 위해 사용됩니다. 이것들은 다른 것 중에서 다음을 포함합니다:

빈 집합(Empty set): 없는 또는 널 구성원을 포함하는 집합(set)
자명한 그룹(Trivial group): 오직 항등 원소(identity element)를 포함하는 수학적 그룹(group)
자명한 링(Trivial ring): 한원소 집합(singleton set) 위에 정의된 링(ring)

"자명한"은 역시 매우 간단한 구조를 가지는 방정식(equation)에 대한 해를 설명하기 위해 사용될 수 있지만, 완전성의 목적을 위해 생략될 수 없습니다. 이들 해는 종종 자명한 해로 불립니다. 예를 들어, 다음 미분 방정식(differential equation)을 생각해 보십시오: $y'=y$

여기서 $y=y(x)$ 는 그것의 도함수(derivative)가 $y'$ 인 함수(function)입니다. 자명한 해는 영 함수(zero function)이고 $y(x)=0,$ 반면에 비자명한 해는 다음 지수 함수(exponential function)입니다: $y(x)=e^{x}.$

경계 조건 $f(0)=f(L)=0$ 을 갖는 미분 방정식 $f''(x)=-\lambda f(x)$ 은 수학과 물리학에서 중요한데, 왜냐하면 그것은 양자 역학에서 상자 안의 입자(particle in a box), 또는 끈의 멈춘 파동(standing wave)을 설명하기 위해 사용될 수 있기 때문입니다. 그것은 항상 해 $f(x)=0$ 를 포함하며, 이것은 명백한 것으로 고려되고 따라서 "자명한" 해라고 불립니다. 일부 경우에서, "비자명한" 해라고 불리는 다른 해 (정현파(sinusoid))가 있을 수 있습니다.^[4]

유사하게, 수학자는 종종 방정식 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ 에 대해 비자명한 정수 해가 없다고 주장하는 것으로 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)를 설명하며, 여기서 n은 2보다 큽니다. 분명하게, 방정식에 대한 몇 가지 해가 있습니다. 예를 들어, $a=b=c=0$ 은 임의의 n에 대해 해이지만, 그러한 해는 분명하고 약간의 노력으로 획득-가능하고, 따라서 "자명한" 것입니다.

In mathematical reasoning

자명한은 역시 완전성의 목적에 대해 결코 무시될 수 없는 증명의 임의의 쉬운 경우(case)를 참조할 수 있습니다. 예를 들어, 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의한 증명은 두 부분을 가집니다: 하나는 특정 초기 값 (예를 들어 n = 0 또는 n = 1)에 대해 정리가 참임을 보여주는 "기본 경우"와 n의 특정 값에 대해 참이면, 그것이 역시 값 n + 1에 대해서 참임을 보여주는 귀납적 단계로 나뉩니다. 기본 경우는 종종 자명하고, 비록 기본 경구가 어렵고 귀납적 단계가 자명한 경우가 있을지라도, 그렇게 식별됩니다. 유사하게, 우리는 일부 속성은 특정 집합의 모든 구성원에 의해 소유된다고 입증하기를 원할 수 있습니다. 증명의 주요 부분은 비-빈 집합의 경우를 고려하고, 구성원을 자세히 조사할 것입니다; 집합이 빈 것인 경우에서, 그 속성은 모든 구성원에 의해 자명하게 소유되는데, 왜냐하면 아무것도 없기 때문입니다 (자세한 내용에 대해 공허한 진리(vacuous truth)를 참조하십시오).

수학 공동체에서 흔히 하는 농담은 "자명한"이 "증명된"과 동의어라고 말하는 것입니다–즉, 임의의 정리는 일단 그것이 참으로 알려지면 "자명한" 것으로 고려될 수 있습니다.^[1]

또 다른 농담은 정리를 논의하는 두 명의 수학자에 관한 것입니다: 첫 번째 수학자는 정리가 "자명하다"고 말합니다. 다른 한 사람의 설명 요청에 대한 응답으로, 그는 그때에 20분간 설명을 진행합니다. 설명의 끝에서, 두 번째 수학자는 그 정리가 자명하다는 데 동의합니다. 이들 농담은 자명성에 대한 판단의 주관성을 지적합니다. 그 농담은 종종 첫 번째 수학자가 정리가 자명하지만 스스로 증명할 수 없다고 말할 때 적용됩니다. 종종, 농담으로, 그 정리는 그때에 "직관적으로 명백한"이라고 참조됩니다. 미적분학(calculus)에 경험이 있는 누군가는, 예를 들어, 다음 명제가 자명하다고 여길 것입니다: $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$

어쨌든, 적분 미적분학의 지식이 없는 누군가에게, 이것이 전혀 명확하지 않습니다.

자명성은 역시 문맥에 따라 다릅니다. 함수형 해석학(functional analysis)에서 증명은 아마도, 하나의 숫자가 주어지면, 더 큰 숫자의 존재를 자명하게 가정할 것입니다. 어쨌든, 기본 숫자 이론(elementary number theory)에서 자연수에 대한 기본 결과를 증명할 때, 그 증명은 임의의 자연수가 다음수를 가진다는 말에 매우 잘 좌우될 수 있습니다–그 자체가 증명되거나 공리(axiom)로 취해져야 하는 명제 (자세한 내용에 대해, 페아노의 공리(Peano axioms)를 참조하십시오).

Trivial proofs

일부 텍스트에서, 자명한 증명은 결론(consequent) Q가 항상 참인 실질적 함축(material implication) P→Q를 포함하는 명제를 참조합니다.^[5] 여기서, 그 증명은 전제(antecedent) P의 진리값에 관계없이 함축이 참이므로, 실질적 함축의 정의에 의해 즉시 뒤따릅니다.^[5]

관련된 개념은 실질적 함축 P→Q에서 전제 P가 항상 거짓인, 공허한 진리(vacuous truth)입니다.^[5] 여기서, 함축은 결론 Q의 진리값에 관계없이 항상 참입니다–다시 물질적 함축의 정의에 의해 따릅니다.^[5]

Examples

숫자 이론(number theory)에서, 정수 N의 인수(factors)를 찾는 것이 종종 중요합니다. 임의의 숫자 N은 ±1 및 ±N의 넷의 명백한 인수를 가집니다. 이것들은 "자명한 인수"이라 불립니다. 임의의 다른 인수는, 만약 그것이 존재하면, "비자명한" 것이라고 불립니다.^[6]
동차 행렬(matrix) 방정식 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 은, 여기서 $A$ 는 고정된 행렬, $\mathbf {x}$ 는 미지수 벡터이고, $\mathbf {0}$ 는 영 벡터이며, 명확한 해 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 를 가집니다. 이것은 "자명한 해"라고 불립니다. 만약 그것이 다른 해 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ 를 가지면, 그것들은 "비자명한" 것이라고 불립니다.^[7]
그룹 이론(group theory)에서, 그것에 단지 하나의 원소를 갖는 매우 간단한 그룹이 있습니다; 이것은 종종 "자명한 그룹"이라고 불립니다. 더 복잡한 모든 다른 그룹은 "비자명한" 것이라고 불립니다.
그래프 이론(graph theory)에서, 자명한 그래프는 오직 1 꼭짓점을 갖고 가장자리가 없는 그래프입니다.
데이터베이스 이론(database theory)은 $X\to Y$ 로 쓰인 함수형 퇴화(functional dependency)라고 불리는 개념을 가집니다. 퇴화 $X\to Y$ 가 만약 Y가 X의 부분집합(subset)이면 참이므로, 이 퇴화의 유형은 "자명한" 것이라고 불립니다. 덜 분명한 모든 다른 퇴화는 "비자명한" 것이라고 불립니다.
리만의 제타 함수(Riemann's zeta function)는 음의 짝수 −2, −4, …에서 영을 가짐을 보일 수 있습니다. 비록 그 증명이 비교적 쉬울지라도, 이 결과는 여전히 통상적으로 자명한 것으로 여겨지지 않습니다; 어쨌든, 이 경우에서 다른 영들이 일반적으로 알려져 있지 않고 중요한 응용을 가지고 열린 질문 (예를 들어 리만 가설(Riemann hypothesis))과 관련되어 있기 때문입니다. 그에 따라서, 음의 짝수는 그 함수의 자명한 영들이라고 불리고, 반면에 임의의 다른 영들은 비-자명한 것으로 고려됩니다.

References

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Trivial". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-14.
^ ^a ^b "Mathwords: Trivial". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.
^ Ayto, John (1990). Dictionary of word origins. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.
^ Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications. p. 309. ISBN 9780486652511.
^ ^a ^b ^c ^d Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical proofs : a transition to advanced mathematics (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.
^ Yan, Song Y. (2002). Number Theory for Computing (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.
^ Jeffrey, Alan (2004). Mathematics for Engineers and Scientists (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

External links

Trivial entry at MathWorld

[:1-1] Weisstein, Eric W. "Trivial". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-14.

[:2-2] "Mathwords: Trivial". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.

[3] Ayto, John (1990). Dictionary of word origins. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.

[4] Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications. p. 309. ISBN 9780486652511.

[Chartrand-5] Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical proofs : a transition to advanced mathematics (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.

[6] Yan, Song Y. (2002). Number Theory for Computing (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.

[7] Jeffrey, Alan (2004). Mathematics for Engineers and Scientists (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

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