Zero-product property

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대수학(algebra)에서 영-곱 속성(zero-product property)은 두 비-영 원소(nonzero elements)의 곱은 비-영이라고 말합니다. 다시 말해, 그것은 다음 주장입니다:

만약 $ab=0$이면, $a=0$ 또는 $b=0$입니다.

영-곱 속성은 영 곱의 규칙, 널 인수 법칙, 영의 곱셈 속성 또는 비-자명한 영 인수(zero divisor)의 비-존재로 역시 알려져 있습니다. 기초 수학(elementary mathematics)에서 연구된 숫자 시스템(number system)의 모두 — 정수(integer) $\mathbb {Z}$, 유리수(rational number) $\mathbb {Q}$, 실수(real number) $\mathbb {R}$, 및 복소수(complex number) $\mathbb {C}$ – 는 영-곱 속성을 만족시킵니다. 일반적으로, 영-곱 속성을 만족시키는 링(ring)은 도메인(domain)으로 불립니다.

Algebraic context

$A$가 대수적 구조라고 가정하십시오. 우리는 물을 수 있습니다, $A$는 영-곱 속성을 가집니까? 이 질문이 의미를 갖기 위해, $A$는 반드시 덧셈의 구조 및 곱셈의 둘 다를 가져야 합니다. 보통 우리는 $A$가, 비록 그것이 다른 것, 예를 들어, 보통의 덧셈 및 곱셈을 갖는, 오직 (교환-가능한) 반-링(semiring)인, 비-음의 정수 $\{0,1,2,\ldots \}$의 집합이 될 수 있을지라도, ring링이라고 가정합니다.

만약 $A$가 영-곱 속성을 만족시키면, 및 만약 $B$가 $A$의 부분집합이면, $B$는 영-곱 속성을 역시 만족시킨다는 것을 주목하십시오: 만약 $a$와 $b$가 $ab=0$을 만족하는 $B$의 원소이면, $a=0$ 또는 $b=0$ 중 하나인데 왜냐하면 $a$와 $b$는 $A$의 원소로 역시 여겨지기 때문입니다.

Examples

• 영-곱 속성이 유지되는 링은 도메인(domain)으로 불립니다. 곱셈의 항등(multiplicative identity) 원소를 가진 교환-가능(commutative) 도메인은 정수 도메인으로 불립니다. 임의의 필드(field)는 정수 도메인입니다; 실제로, 필드의 임의의 부분-링은 (그것이 1을 포함하는 한) 하나의 정수 도메인입니다. 비슷하게, 스큐 필드(skew field)의 임의의 부분-링은 도메인입니다. 따라서, 영-곱 속성은 스큐 필드의 임의의 부분-링에 대해 유지합니다.
• 만약 $p$는 소수(prime number)이면, 정수 모듈로 $p$(integers modulo $p$)의 링은 영-곱 속성을 가집니다 (사실, 그것은 하나의 필드입니다).
• 가우스 정수(Gaussian integers)는 정수 도메인(integral domain)인데 왜냐하면 그들은 복소수의 부분-링입니다.
• 쿼터니언(quaternions:사원수)의 엄밀히 스큐 필드(strictly skew field)에서, 영-곱 속성은 유지합니다. 이 링은 정수 도메인이 아닌데, 왜냐하면 곱셈은 교환-가능이 아닙니다.
• 비-음의 정수 $\{0,1,2,\ldots \}$의 집합은 하나의 링은 아니지만 (대신에 반-링(semiring)), 그것은 영-곱 속성을 만족시킵니다.

Non-examples

• $\mathbb {Z} _{n}$는 정수 모듈로 $n$(integers modulo $n$)의 링을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 $\mathbb {Z} _{6}$는 영 곱 속성을 만족시키지 않습니다: 2와 3은 비-영 원소이지만, 여전히 $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$입니다.
• 일반적으로, 만약 $n$은 합성수이면, $\mathbb {Z} _{n}$는 영-곱 속성을 만족시키지 않습니다. 즉, 만약 $n=qm$ 여기서 $0<q,m<n$이면, $m$과 $q$는 비-영 모듈로 $n$이지만, 여전히 $qm\equiv 0{\pmod {n}}$입니다.
• 정수(integer) 엔터디를 갖는 2×2 행렬(matrices)의 링 $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$은 영-곱 속성을 만족시키지 않습니다: 만약

$M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$ and $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}$,

이면,

$MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0$이지만,

여전히 $M$과 $N$ 모두는 영이 아닙니다.

• 단위 구간(unit interval)으로부터 실수까지, 모든 함수(function) $f:[0,1]\to \mathbb {R}$의 링은 비-자명한 영 인수를 가집니다: 동일하게 영과 같지 않은 함수의 쌍이 있지만, 여전히 그의 곱은 영 함수입니다. 사실, 임의의 n ≥ 2에 대해, 구성하기 어렵지 않지만, $f_{i}\,f_{j}$가 $i\neq j$일 때마다 동일하게 영을 만족하는 동일하게 영이 되는 것은 없습니다.
• 그 같은 것은 심지어 만약 우리가 오직 연속 함수, 또는 오직 심지어 무한하게 매끄러운 함수이면, 참입니다.

Application to finding roots of polynomials

$P$ 및 $Q$가 실수 계수를 가진 일변수 다항식, 및 $x$가 $P(x)Q(x)=0$를 만족하는 실수로 가정합니다. (실지로, 우리는 임의의 정수로부터 오는 계수와 $x$를 허용할 수 있을 것입니다.) 영-곱 속성에 의해, 그것은 $P(x)=0$ 또는 $Q(x)=0$ 중 하나임을 따릅니다. 달리 말해서, $PQ$의 근은 정확하게 $Q$의 근과 함께 $P$의 근입니다.

따라서, 우리는 다항식의 근을 찾기 위해 인수분해(factorization)를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 다항식 $x^{3}-2x^{2}-5x+6$는 $(x-3)(x-1)(x+2)$으로 인수화됩니다; 그러므로, 그의 근은 정확하게 3, 1, 및 -2입니다.

일반적으로, $R$은 정수 도메인 및 $f$는 $R$에서 계수를 갖는 차수 $d\geq 1$의 일계수(monic) 일변수 다항식으로 가정합니다. 역시 $f$가 $d$ 구별되는 근 $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$을 가지는 것으로 가정합니다. 그것은 $f$가 $f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})$으로 인수화되는 것을 따릅니다 (그러나 우리는 여기서 입증하기 않습니다). 영-곱 속성에 의해, 그것은 $r_{1},\ldots ,r_{d}$가 $f$의 오직 근임을 따릅니다: $f$의 임의의 근은 어떤 $i$에 대해 $(x-r_{i})$의 근이어야 합니다. 특히, $f$는 많아야 $d$ 구별하는 근을 가집니다.

만약 어쨌든 $R$은 정수 도메인이 아니면, 결론은 유지될 필요는 없습니다. 예를 들어, 삼차 다항식 $x^{3}+3x^{2}+2x$은 (비록 그것이 $\mathbb {Z}$에서 오직 세 근을 가질지라도) $\mathbb {Z} _{6}$에서 여섯 근을 가집니다.

See also

• Fundamental theorem of algebra
• Integral domain and domain
• Prime ideal
• Zero divisor

References

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra (3d ed.), Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.

External links

• PlanetMath: Zero rule of product