Zero matrix

Original article: w:Zero matrix

수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 영 행렬(zero matrix) 또는 널 행렬(null matrix)은 모든 엔트리가 영(zero)인 행렬(matrix)입니다. 그것은 역시 $m\times n$ 행렬의 덧셈 그룹(additive group)의 덧셈 항등원(additive identity)으로 역할을 하고, 기호 $O$ 또는 $0$과 문맥에 맞게 행렬의 차원에 해당하는 아래첨자로 표시됩니다. 영 행렬의 몇 가지 예제는 다음과 같습니다:

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\$

Properties

링(ring) K에서 엔트리를 갖는 $m\times n$ 행렬의 집합은 링 $K_{m,n}$을 형성합니다. $K_{m,n}\,$에서 영 행렬 $0_{K_{m,n}}$은 모든 엔터리가 $0_{K}\,$와 같은 행렬이며, 여기서 $0_{K}$는 K에서 덧셈 항등원(additive identity)입니다.

$0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

영 행렬은 $K_{m,n}\,$에서 덧셈 항등원입니다. 즉, 모든 $A\in K_{m,n}\,$에 대해, 그것은 다음 방정식을 만족시킵니다:

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.$

임의의 주어진 차원 $m\times n$ (주어진 링에서 엔트리를 가짐)의 정확하게 하나의 영 행렬이 있으므로, 문맥이 명확할 때, 종종 그 영 행렬로 참조합니다. 일반적으로, 링의 영 원소(zero element)는 고유하고, 전형적으로 부모 링을 나타내는 데 아래첨자 없이 0에 의해 표시됩니다. 따라서 위의 예제는 임의의 링에 걸쳐 영 행렬을 나타냅니다.

영 행렬은 역시 모든 벡터(vectors)를 영 벡터(zero vector)로 보내는 선형 변환(linear transformation)을 나타냅니다. 그것은 거듭상등(idempotent)이며. 그것에 자체를 곱할 때, 결과가 자체임을 의미합니다.

영 행렬은 그 랭크(rank)가 0인 유일한 행렬입니다.

Occurrences

모탈 행렬 문제(mortal matrix problem)는 정수 엔트리를 갖는 n × n 행렬의 유한 집합이 주어졌을 때, 그것들이 어떤 순서로, 반복과 함께 가능하게 곱해져서 영 행렬을 생성할 수 있는지 여부를 결정하는 문제입니다. 이것은 6개 이상의 3×3 행렬의 집합, 또는 2개의 15×15 행렬의 집합에 대해 비-결정가능인 것으로 알려져 있습니다.

보통의 최소 제곱(ordinary least squares) 회귀에서, 만약 데이터에 완벽하게 적합한 것이 있으면, 소멸자 행렬(annihilator matrix)은 영 행렬입니다.

See also

• Identity matrix, the multiplicative identity for matrices
• Matrix of ones, a matrix where all elements are one
• Nilpotent matrix
• Single-entry matrix, a matrix where all but one element is zero