공간벡터의 성분

직교 좌표 시스템의 특징에 따라, 정의 자체가 변하지는 않습니다. 단지 이-차원 평면에서는 두 개의 성분이 요구되고, 삼-차원 공간에서는 세 개의 성분이 요구될 뿐입니다.

위치벡터

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선분의 내분점과 외분점을 이용한 위치벡터

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공간벡터의 성분

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이-차원 평면에서, 추가적으로 $z$-축의 스칼라 성분이 더합니다.

좌표공간에서 점$A(a_{1},a_{2},a_{3})$의 위치벡터를 ${\vec {a}}$라고 하면

${\begin{aligned}{\vec {\mathrm {OA} }}&={\vec {a}}\\&=a_{1}{\vec {e_{1}}}+a_{2}{\vec {e_{2}}}+a_{3}{\vec {e_{3}}}\\&=(a_{1},a_{2},a_{3})\\\end{aligned}}$

여기서, ${\vec {e_{3}}}=(0,0,1)$로써, $z$-축 방향의 크기가 1인 단위벡터입니다.

그리고, 그의 크기는

${\begin{aligned}\left|{\vec {\mathrm {OA} }}\right|&=|{\vec {a}}|\\&={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\\\end{aligned}}$

또한, 두 공간벡터 ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$, ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$가 서로 같으려면, 각각의 구성성분이 서로 같아야 합니다.

${\vec {a}}={\vec {b}}\Longleftrightarrow a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},a_{3}=b_{3}$

공간벡터의 성분에 의한 연산

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공간벡터와 평면벡터의 연산의 과정은 같으므로, 성분이 하나 추가되어 식이 쓰입니다.

예를 들어, 두 공간벡터 ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$, ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$에 대해,

두 벡터의 덧셈의 결과는 다음과 같습니다.

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$

두 벡터의 뺄셈의 결과는 다음과 같습니다.

${\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3})$

또한, 실수 $k$에 대해, 벡터의 스칼라 실수배의 결과는 다음과 같습니다.

$k{\vec {a}}=(ka_{1},ka_{2},ka_{3})$

한편, 시작점이 원점이 아닌 경우에서, 두 점 $\mathrm {A} (a_{1},a_{2},a_{3})$, $\mathrm {B} (b_{1},b_{2},b_{3})$에 대해, 벡터 ${\vec {\mathrm {AB} }}$에 대한 성분 및 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

${\vec {\mathrm {AB} }}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2})$

$\left|{\vec {\mathrm {AB} }}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}$