위치벡터

Main article: Position (geometry)

벡터의 뜻에서, 벡터는 크기와 방향을 가진, 예를 들어, 동쪽으로 80km/h로 날아가는 비행기와 같은 것을 나타내지만, 측정하는 사람의 위치에 따라, 벡터는 조금 다르게 보일 수 있습니다. 비록 같은 비행기를 바라보더라도, 서울에서 바라본 비행기와 대전에서 바라본 비행기는 그 방향과 크기를 다르게 보이므로, 나타내는 방식도 달라져야 할 것입니다.

자유 벡터는 크기와 방향이 같으면 모두 같은 벡터로 여기지만, 고정된 시작점과 끝점을 갖는 벡터는 유일하게 하나만 정의되며, 이것을 경계 벡터(bound vector) 또는 위치 벡터(located vector)라고 부릅니다.

고정된 원점 $\mathrm {O}$를 시작점으로 하고 고정된 점 $\mathrm {A}$를 끝점으로 하는 벡터는 ${\vec {\mathrm {OA} }}$로 표시할 수 있습니다.

만약 고정된 끝점이 점 $\mathrm {B}$로 바뀌면, ${\vec {\mathrm {OB} }}$로 나타낼 수 있습니다.

이와 같이 시작점 $\mathrm {O}$를 고정하면, 평면 위의 모든 점은 하나의 벡터와 일대일대응 관계를 가집니다. 이때, 고정된 점 $\mathrm {O}$를 시작점으로 하는 벡터 ${\vec {\mathrm {OA} }}$를 점 $\mathrm {A}$의 위치벡터라고 부를 수 있습니다.

두 점 $\mathrm {A,B}$에 대해, 그들의 위치벡터를 각각, ${\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}}$, ${\vec {\mathrm {OB} }}={\vec {b}}$로 나타내면, 점 $\mathrm {A}$를 시작점으로 하고, 점 $\mathrm {B}$를 끝점으로 하는 벡터는 ${\vec {\mathrm {AB} }}$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\vec {\mathrm {AB} }}={\vec {b}}-{\vec {a}}$

이런 것을 공식으로 외울 필요는 없습니다. 임의의 벡터는 시작점으로부터 끝점으로 갈 때, 중간에 몇 개의 점을 거쳐서 지나가더라도, 벡터의 덧셈에 의해, 항상 같은 벡터가 됩니다.

따라서, 원점에 대한 위치벡터가 정의되어 있을 때,

${\begin{aligned}{\vec {\mathrm {AB} }}&={\vec {\mathrm {AO} }}+{\vec {\mathrm {OB} }}\\&=-{\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {OB} }}\\&={\vec {b}}-{\vec {a}}\end{aligned}}$

선분의 내분점과 외분점의 위치벡터

직교 좌표시스템에서, 내분점과 외분점을 구하는 식은 일차원의 수직선에서 구한 식 하나로 삼차원 공간까지 확장됩니다. 이 식은 벡터에서도, 수학적 대상이 바뀌기는 하지만, 동일하게 사용됩니다.

두 점 $\mathrm {A,B}$의 좌표를 각각 $a,b$라고 놓고, 선분 $\mathrm {AB}$를 $m:n$으로 내분하는 점 $\mathrm {P} (p)$라고 하면,

$p={\frac {mb+na}{m+n}}\cdots (1)$

여기서, $m,n$은 양의 정수입니다.

한편, 점 $\mathrm {A,B,P}$의 위치벡터를, 각각, ${\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}}$, ${\vec {\mathrm {OB} }}={\vec {b}}$, ${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {p}}$라고 놓으면,

${\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {p}}-{\vec {a}}$, ${\vec {\mathrm {AB} }}={\vec {b}}-{\vec {a}}$

또한, ${\vec {\mathrm {AP} }}={\frac {m}{m+n}}{\vec {\mathrm {AB} }}$이므로,

${\vec {p}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m+n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})$

정리하면

${\vec {p}}={\frac {m{\vec {b}}+n{\vec {a}}}{m+n}}\cdots (2)$

식 (1), (2)는 수학적 대상이 좌표에서 벡터로 바뀐 것 외에는 여전히 같은 식입니다.

게다가, 비록 이차원 평면으로 확장되더라도, 내분점을 이루는 식 자체는 여전히 일차원에서와 같은 다음의 식을 이용합니다.

${\vec {\mathrm {AP} }}={\frac {m}{m+n}}{\vec {\mathrm {AB} }}$

따라서, 결과도 식 (2)와 같습니다.

이때, 점 $\mathrm {P}$가 선분 $\mathrm {AB}$의 중점이면 $m=n$이므로

${\vec {p}}={\frac {{\vec {b}}+{\vec {a}}}{2}}$

같은 방법으로 선분 $\mathrm {AB}$를 $m:n$으로 외분하는 점 $\mathrm {Q}$의 위치벡터 ${\vec {q}}$는

${\vec {q}}={\frac {m{\vec {b}}-n{\vec {a}}}{m-n}}\cdots (3)$

여기서, $m=n$이면, 기하학적으로 좌표를 구할 수 없습니다.

내분점 또는 외분점 또는 그 외의 점의 위치

식 (1)은 선분 $\mathrm {AB}$ 위에 점 $\mathrm {P}$가 위치함을 의미합니다. 여기서 $m>0,n>0$에 대해서 논의합니다.

이 식의 양쪽 변에 $m+n$을 곱해서 살펴보면,

$(m+n){\vec {p}}=m{\vec {b}}+n{\vec {a}}$

예를 들어, $\alpha {\vec {x}}=3{\vec {b}}+2{\vec {a}}$를 생각해 보십시오.

벡터의 방향은 배수가 없으므로, 덧셈의 결과가 영벡터가 아니면, 즉시 그의 방향을 알 수 있습니다. 즉, 원점으로부터 선분 $\mathrm {AB}$를 $3:2$으로 내분하는 점으로 방향이 정해집니다.

이때, 크기는

• $\alpha =5$이면, 내분점 그 자체입니다.
• $0<\alpha <5$이면, 내분점에 이르지 못합니다. 즉, 삼각형 $\mathrm {OAB}$의 내부에 끝점이 위치합니다.
• $\alpha >5$이면, 내분점을 지나서 위치합니다. 즉, 삼각형 $\mathrm {OAB}$의 외부에 끝점이 위치합니다.

만약, $\alpha <0$가 되면, 원점에서 내분점으로 향하는 방향과 반대로 벡터의 끝점이 이르게 됩니다.

한편, 외분점에서도 마찬가지로 생각할 수 있지만, 부호 관계에 조금 조심해야 하는데, 왜냐하면, 원래 분모가 음수가 될 수 있기 때문입니다.

식 (3)의 양쪽 변에 $(m-n)$을 곱해서 살펴보면,

$(m-n){\vec {q}}=m{\vec {b}}-n{\vec {a}}$

예를 들어, $\beta {\vec {x}}=3{\vec {b}}-2{\vec {a}}$를 생각해 보십시오. 이때, m, n의 부호는 달라야 하고, 양수가 앞에 놓여야 합니다.

여기서, $(m-n)$과 $\beta$의 부호가 같으면, ${\vec {x}}$의 끝점은 선분 $\mathrm {AB}$를 $3:2$으로 외분하는 점의 방향으로 정해집니다. 만약 부호가 서로 반대이면, 그 반대의 방향으로 끝점이 놓입니다.

그리고, 그의 크기는

• $|m-n|=|\beta |$이면, 외분점까지 이르는 거리와 같습니다.
• $|m-n|<|\beta |$이면, 외분점까지 이르는 거리보다 작습니다.
• $|m-n|>|\beta |$이면, 외분점까지 이르는 거리보다 큽니다.

마지막으로, $\gamma {\vec {x}}=-3{\vec {b}}-2{\vec {a}}$는 양쪽 변에 –1을 곱해서, 내분점으로 생각할 수 있습니다.

삼각형의 무게중심의 위치벡터

이차원 평면에서, 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 식은 이미 배웠습니다.

세 점 $\mathrm {A,B,C}$의 위치벡터를, 각각, ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$로 놓고, 변 $\mathrm {BC}$의 중점을 $\mathrm {M}$의 위치벡터를 ${\vec {m}}$라고 할 때, $\triangle {\mathrm {ABC} }$의 무게중심 $\mathrm {G}$의 위치벡터 ${\vec {g}}$는

${\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}$

증명: #선분의 내분점과 외분점의 위치벡터에 의해, 점 $\mathrm {M}$의 위치벡터 ${\vec {m}}$는

${\vec {m}}={\frac {{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}\cdots (1)$

또한, $\triangle {\mathrm {ABC} }$의 무게중심 $\mathrm {G}$는 꼭짓점 $\mathrm {A}$로부터의 중선 $\mathrm {AM}$을 2:1로 내분하는 점이므로, #선분의 내분점과 외분점의 위치벡터에 의해,

${\vec {g}}={\frac {2\cdot {\vec {m}}+1\cdot {\vec {a}}}{2+1}}={\frac {2{\vec {m}}+{\vec {a}}}{3}}\cdots (2)$

식 (1)을 식 (2)에 대입하면,

${\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}$

증명 끝.

그림이 마치 삼차원처럼 보이지만, 평면을 표현한 것이고, 삼차원에서도 축이 하나더 증가되지만, 증명이 같습니다. 그리고, 어차피 벡터 식은 좌표 축의 방향에 따른 스칼라 식으로 풀어서 접근할 것이기 때문에, 이차원은 두 좌표를 구해야 하고, 삼차원은 세 좌표를 구해야 합니다. 이 결과가 삼각형의 무게중심에서 구한 식입니다.

무게중심의 의미로부터, 무게중심에서 각 꼭짓점에 이르는 벡터의 합은 ${\vec {0}}$입니다. 즉, ${\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {GC} }}={\vec {0}}$.