교대식과 대칭식

고등학교 교과과정에서는 다루지 않지만, 복잡한 인수분해를 위해 알아두면 좋은 내용을 소개합니다. 적어도 교대식에 대한 내용은 알아두시는 것이 좋습니다.

교대식

$x,y,z$ 에 관한 식 $f\left(x,y,z\right)$ 에서 $x,y,z$ 의 임의의 두 문자를 교환해도 원식의 부호만 바뀌는 경우라면, 이 $f\left(x,y,z\right)$ 를 교대식이라고 합니다.

교대식은 $\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)$ 를 항상 인수로 갖습니다.

$f\left(x,y,z\right)=x^{2}\left(y-z\right)+y^{2}\left(z-x\right)+z^{2}\left(x-y\right)$ 는 교대식입니다.

그러므로 $f=k\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)$ 로 인수분해가 됩니다.

$x=1,y=-1,z=0$ 을 대입하면 $k=-1$ 임을 알 수 있습니다.

따라서,

f=x^{2}\left(y-z\right)+y^{2}\left(z-x\right)+z^{2}\left(x-y\right)=-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)

위의 예제2 (3)도 교대식입니다.

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)$ 로 놓습니다.

$a=1,b=-1,c=0$ 을 대입하면, $k=-1$ 입니다.

따라서, 다음과 같이 인수분해됩니다:

ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)

$x,y,z$ 에 관한 식 $f\left(x,y,z\right)$ 에서 $x,y,z$ 의 어느 두 문자를 교환해도 식이 똑같을 때, 식 $f\left(x,y,z\right)$ 을 대칭식이라고 합니다.

이 대칭식은 $x+y+z,\,xy+yz+zx,\,xyz$ 3개의 기본 대칭식의 합과 곱으로 항상 표현이 가능합니다.

이 전에 소개한 인수분해 공식에도 대칭식이 몇 개 있습니다.

$f=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^{2}$ 는 이차식으로 이루어진 대칭식입니다.

기본대칭식에서 2차식이 구성가능한 모든 조합으로 식을 만듭니다.

$f=a(x+y+z)^{2}+b(xy+yz+zx)$

이제 $a,b$ 를 구하는 항등식 문제로 바뀝니다.

$x=2,y=-1,z=-1$ 을 대입하면 $b=0$ 임을 알 수 있습니다.

마지막으로 $x=y=z=1$ 를 대입하면 $a=1$ 임을 알 수 있습니다.

그러므로, $f=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^{2}$ 입니다.

$f=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ 는 3차식으로 이루어진 대칭식입니다.

기본대칭식에서 3차식이 구성가능한 모든 조합으로 식을 만듭니다.

$f=a\left(x+y+z\right)^{3}+b\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)+cxyz$

이제 $a,b,c$ 를 구하는 항등식 문제로 바뀝니다.

$x=2,y=-1,z=-1$ 을 대입하면 $c=0$ 임을 알 수 있습니다.

마찬가지로 $x=0,y=0,z=1$ 를 대입하면 $a=1$ 입니다.

마지막으로 $x=y=z=1$ 를 대입하면 $b=-3$ 임을 알 수 있습니다.

{\begin{aligned}f&=\left(x+y+z\right)^{3}-3\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\\&=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^{2}-3\left(xy+yz+zx\right)\right)\\&=\left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx\right)\\\end{aligned}}

교대식과 대칭식 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

여기서 3번 성질은 교대식의 인수분해에 쓰입니다.

즉, 원식이 교대식인데 차수가 3보다 많을 경우, 마지막 인수를 기본대칭식으로 표현을 할 수 있다는 점입니다.

$f\left(a,b,c\right)=ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+bc\left(b^{2}-c^{2}\right)+ca\left(c^{2}-a^{2}\right)$ 은 교대식입니다.

즉 $f$ 는 $\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$ 를 인수로 가집니다.

여기서 $f$ 는 4차식이므로, 1차식의 대칭식을 따로 인수로 가져야 합니다.

1차 기본대칭식은 $a+b+c$ 밖에 없으므로, 아래의 식과 같이 놓을 수 있습니다.

$f\left(a,b,c\right)=k\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)$

$a=1,b=2,c=3$ 를 대입하면 $k=-1$ 을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}f\left(a,b,c\right)&=ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+bc\left(b^{2}-c^{2}\right)+ca\left(c^{2}-a^{2}\right)\\&=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\\\end{aligned}}