극한값의 계산

See also: Limit (mathematics) and Limit of a sequence

일반적으로 수열의 극한에 대해 다음과 같은 성질이 성립합니다.

수렴하는 두 수열 {a_n}, {b_n}에 대하여 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta$일 때, 다음이 성립합니다:

• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}=c\alpha$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha \pm \beta$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})=\alpha \beta$
• $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0,\beta \neq 0$일 때, $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}={\frac {\alpha }{\beta }}$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}=\alpha ^{p}$

이 식들은 두 수열이 수렴할 때, 그 수렴의 결과를 알 수 있으며, 수렴한다는 가정이 없을 때에는 수렴하지 않는 수열을 포함하기 때문에, 위의 성질이 성립할지 여부는 알 수 없습니다. 예를 들어, $\textstyle a_{n}=n+{\frac {1}{n}},b_{n}=(-n)+{\frac {1}{n}}$이면, $\textstyle a_{n},b_{n}$은 각각 발산하지만, $\textstyle a_{n}+b_{n}={\frac {2}{n}}$이므로 영으로 수렴합니다.

무한대의 몫에 대한 극한

수열의 극한에서 자명한 경우가 있습니다. 즉,

• 실수 k ≠ 0일 때, ∞/k이면 그의 절댓값이 무한대이므로 발산합니다.
• 실수 k일 때, k/∞이면, 영으로 수렴합니다.

그러나, ∞/∞인 경우는 수렴할까요? 발산할까요? 간혹, 이 값이 1이라고 생각하시는 분들도 있으며, 그런 경우도 물론 포함합니다. 그러나, 무한대는 값이 점점 커지고 있다는 것을 나타낼 뿐이므로, 예를 들어, n → ∞, 2n → ∞, n² → ∞, 2ⁿ → ∞, 등은 단지 ∞로 표현할 수 있기 때문입니다.

따라서 ∞/∞의 극한은 분모와 분자의 형태에 따라 수렴 여부를 결정할 수 있습니다. 만약 분모, 분자가 다항식인 다음 예제

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}-3n+4}{3n^{2}+4n+5}}$

은 분모와 분자 중에 최고 차수에 대해 그의 최고차의 계수가 1인 단항식으로 나눔으로써 쉽게 극한을 결정할 수 있습니다:

$\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {2-{\frac {3}{n}}+{\frac {4}{n^{2}}}}{3+{\frac {4}{n}}+{\frac {5}{n^{2}}}}}=\displaystyle {\frac {2}{3}}$

여기서, 왜 분모 분자의 최고 차수로 나눌까요? 그것은 우리가 알고 있는 모양을 만들기 위함입니다. 즉, 위의 자명한 사실의 모양이 되어야 극한을 결정할 수 있기 때문입니다.

또 다른 형태의 해석은 무한대의 성질을 이용하는 것입니다. 극한에서는, n → ∞이기 때문에, 분자와 분모 각각에 대해 최고차 항만이 의미가 있습니다. 왜냐하면,

$2n^{2}-3n+4\rightarrow 2n^{2}-3n\rightarrow n(2n-3)\rightarrow n(2n)$

와 같이 생각할 수 있기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 생각해도 좋겠습니다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}-3n+4}{3n^{2}+4n+5}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}}{3n^{2}}}={\frac {2}{3}}$

무한대 사이의 차이에 대한 극한

무한대 사이 $\infty -\infty$의 차이도 위와 마찬가지로 항들의 형태를 보고 결정할 수 있습니다. 자명한 경우가 있습니다. 예를 들어, 다항식에서 차수가 다른 경우는 이미 위에서 논의한 것처럼 최고 차수만이 남습니다. 그러나 차수가 같을 경우에는 자명하지 않습니다. 예를 들어,

$\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)$

의 형태는 제곱근 안의 1을 무시할 수 있을까요? 아니면,

$\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-n}}\right)$

의 형태에서 제곱근 안의 일차는 무시할수 있을까요?

판단하기가 쉽지 않습니다!!

어쨌든, 주어진 식 자체에서 극한을 판단하기 어려울 때에는, 산술 조작을 통해서, 이미 알고 있는 모양으로 바꾸어서 극한값을 구할 수 있습니다.

$\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)\left({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}\right)}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}=0$

아래의 극한은 다음처럼 변형할 수 있습니다.

$\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-n}}\right)$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {\left({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-n}}\right)\left({\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-n}}\right)}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-n}}}}$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-n}}}}=1$

극한의 대소 관계

일반적으로 수렴하는 수열의 극한에 대해, 다음과 같은 성질이 있습니다.

• 만약 어떤 $N$보다 더 큰 모든 $n$에 대해 $a_{n}\leq b_{n}$이면, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$입니다.
• (샌드위치 정리) 만약 모든 $n>N$에 대해 $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$이고, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$이면,   $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$입니다.

첫 번째 대소 관계는 다음과 같은 수열을 보면 쉽게 이해가 되는데, 앞 쪽의 부등식에서 등호가 없는 명제도 참입니다.

$a_{n}={\frac {n+2}{n+1}},b_{n}={\frac {n+3}{n+1}}$

비록 수열 b_n이 수열 a_n보다 항상 크더라도, 그의 극한은 서로 같습니다.

두 번째 대소 관계는, 비록 일반항이 알려지지 않은 수열이 있을지라도, 그의 항의 변화가 어떤 수열 사이에 존재하고, 양쪽 수열의 극한이 서로 같으면, 모르는 수열의 극한도 같음을 나타냅니다. 예를 들어, 어떤 수열 a_n이 다음 관계를 만족하면,

${\frac {n-2}{2n}}<a_{n}<{\frac {n+2}{2n}}$

수열 a_n의 극한은 1/2입니다.