다항식의 곱셈 나눗셈

다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용해서 괄호를 없앤 후에 동류항끼리 계산을 해서 정리를 합니다.

다항식의 곱셈에서는, 숫자와 문자는 분리해서 계산을 하는데, 같은 문자에 대한 곱셈은 지수법칙을 적용해서 결과를 산출합니다.

지수법칙은 같은 밑수를 가진 단항식의 곱셈(나눗셈)에 대한 내용이고, 같은 문자에 대한 덧셈과 뺄셈은, 동류항에서 다루었던 분배법칙을 적용하는데, 다음과 같이 공통 인수로 묶는 과정입니다.

5\cdot 2^{10}+3\cdot 2^{5}=2^{5}\left(5\cdot 2^{5}+3\right)

정수의 나눗셈에서, 나누어지는 숫자에서 나누는 숫자의 배수를 빼고 남은 숫자가 나누는 숫자보다 작은 나머지를 구하고, 반면에 다항식의 나눗셈에서는 정수의 나눗셈과 거의 같은 개념을 이용하지만, 몫을 제외한 나머지는 나누는 식의 차수보다 반드시 작아야 합니다.

어쨌든, 다항식의 나눗셈은 직접 수행하는 과정을 알고 있어야 하지만, 높은 차수에서는 공간을 많이 차지하는 것은 물론이고, 실수가 많이 발생하는 과정입니다.

따라서, 정수에서와 마찬가지로, 나눗셈을 직접 수행하지 않고, 몫과 나머지를 구할 수 있는 다른 방법을 배우게 됩니다.

지수법칙

밑수 $a>0,b>0$ 이고, 지수 $m,n$ 이 유리수일 때, 아래와 같은 성질이 있습니다.

${a^{0}}=1$
${a^{m}}\times {a^{n}}={a^{m+n}}$
${a^{m}}\div {a^{n}}={a^{m-n}}$
${(a^{m})^{n}}={a^{mn}}={(a^{n})^{m}}$
${(ab)^{m}}={a^{m}}{b^{m}}$
${(a\div b)^{m}}={a^{m}\div b^{m}}$
$a^{-m}={1\div a^{m}}$

여기서 주목할 것은 밑수를 양수만 다룬다는 점입니다. 밑수가 음수가 되면 실수의 범위를 벗어나는 경우가 생기기 때문에 여기서는 다루지 않습니다.

밑수가 같으면서 곱셈을 하게 되면, 지수끼리의 합으로 표현됩니다.

예를 들어, $2^{3}\times 2^{4}=2^{3+4}$ 와 같은 것은 별다른 저항없이 쉽게 받아들여집니다. 원래 지수라는 것이 같은 숫자가 몇개가 곱해져 있는 것을 간단히 표현하기 위한 것이기 때문에 곱해진 숫자만 늘어난다(즉, 지수는 더해진다)고 생각하시면 쉬울 것입니다.

밑수가 같으면서 나눗셈을 하게 되면, 세 가지 경우로 생각을 할 수 있습니다.

먼저 $2^{4}\div 2^{3}=2^{1}=2^{4-3}$ 인 경우는 분자의 지수가 크기 때문에 분자에 곱해진 숫자가 더 많습니다. 그래서 약분이 되더라도 분자에 숫자가 남게 되어, 계산 결과의 지수는 양수가 됩니다.
반면에 $2^{3}\div 2^{4}={\frac {1}{2}}=2^{3-4}=2^{-1}$ 인 경우는 분모의 지수가 크기 때문에 분모에 숫자가 남게 됩니다. 결국 계산 결과에서 지수가 음의 값을 갖게 됩니다. 이것으로부터 지수에 음의 부호( $-$ )의 있으면 밑수의 역수를 취하는 연산과 같아짐을 알 수 있습니다. 즉 $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$ 으로 쓸 수 있습니다. 마찬가지로 문자인 경우에도 $\left({\frac {a}{b}}\right)^{-3}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{3}$ 와 같이 쓸 수 있습니다.
마지막으로 $2^{3}\div 2^{3}=1=2^{3-3}=2^{0}$ 인 경우는 분모와 분자가 같기 때문에 약분이 되어 1이라는 결과가 나옵니다. 이를 지수로 표현하면, 지수가 0의 결과를 낳습니다. 즉, 밑수에 상관없이 지수가 0이면 결과는 항상 $a^{0}=1$ 입니다.

그러나 밑수가 0인 경우에 생각해 볼 것이 있습니다. 밑수가 0이고 지수가 양수이면 $0^{2}=0\times 0=0$ 의 자명한 결과를 낳습니다. 0은 몇번을 곱해도 0의 결과가 나옵니다. 그러나 $0^{0}$ 은 정의할 수 없는 경우입니다. 왜냐하면, 지수가 0제곱이 나오는 경우는 분모 분자가 같은 개수만큼 있는 경우(위의 2번째 경우)인데 0은 분모에 절대 올 수 없기 때문입니다.

여러 개의 문자가 곱해진 지수는 해당식이 지수만큼 곱해지기 때문에 각각의 문자에 지수가 분배되는 결과를 낳습니다. 이것은 나눗셈일 때에도 동일하게 생각할 수 있습니다.

(ab)^{3}=(ab)\times (ab)\times (ab)=a^{3}b^{3}

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈은 덧셈과 마찬가지로 교환, 결합, 분배법칙을 이용합니다. 분배법칙을 이용할 때, 미지수끼리의 곱이 발생하면 지수법칙을 이용해서 계산을 합니다.

예를 들어 다음 두 식을 곱하면,

{\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}

다음과 같이 분배법칙이 적용됩니다:

{\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}

그런-다음, 위 식은 동류항끼리 덧셈과 뺄셈의 과정이 진행되어야 합니다.

다항식의 나눗셈

정수의 나눗셈

정수의 나눗셈은 나누어지는 수( $a$ :물건)가 나누는 수( $b$ :사람)보다 크거나 같을 때 이루어집니다. 그리고 나누는 수( $b$ )보다 나머지( $r$ )가 작아지면 멈추게 됩니다. 몫을 $q$ 라고 할 때, 이에 대한 정의는 다음과 같습니다.

a=bq+r

(단,

0\leq r<b

)

예를 들어, $17=5\cdot 3+2$ 와 같이 17을 5로 나누었더니 몫이 3이고 나머지가 2이 되는 경우입니다.

반면에 $17=5\cdot 4-3$ 은 좌우변의 값은 같지만, 나눗셈이 된 것은 아닙니다. 이것은 다음과 같은 과정을 거쳐야 나눗셈이 된 것입니다.

{\begin{aligned}17&=5\cdot 4-3\\&=5\cdot (3+1)-3\\&=5\cdot 3+5\cdot 1-3\\&=5\cdot 3+2\quad ({\mbox{where}}\;0\leq 2<5)\\\end{aligned}}

이 경우처럼, 나머지에 해당하는 부분이 음수로 나타나면, 그 자체는 나머지가 될 수 없고, 나누기에 부족하다는 의미입니다. 따라서 나머지로 표현하기 위해서, 몫에 해당하는 것으로 보이는 부분을 대수적으로 조작해서 나머지 부분이 나누는 숫자보다 작은 양수가 되도록 조정해야 합니다.

정수의 나눗셈과 표현 방법은 같지만, 다항식의 나눗셈은 차수로 나머지를 다루는 것이 다릅니다. 정수의 나눗셈과 비교해서 살펴보시기 바랍니다.

다항식의 나눗셈

다항식 $A$ 의 차수가 $B$ 의 차수보다 같거나 클 경우에, $A$ 를 다항식 $B(B\neq 0)$ 로 나눌 때 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 라 하면

A=BQ+R

(단,

R

의 차수

<

B

의 차수)

가 성립합니다.

특히, $R=0$ , 즉 $A=BQ$ 일 때 $A$ 는 $B$ 로 나누어 떨어진다고 합니다. 또한 $B$ 와 $Q$ 가 일차식 이상이면 $A$ 의 인수라고 부릅니다.

$B$ 와 $Q$ 가 숫자가 나오면, 다항식에서는 인수라고 하지 않습니다.

예를 들어 $2x^{2}-5x+2$ 를 $x+2$ 로 나누는 과정을 알아보겠습니다.

먼저 숫자를 나눌 때와 마찬가지로 나누어지는 수와 나누는 수를 위치시킵니다.
나눗셈은 차수를 낮추어서 나누는 식보다 차수가 작은 나머지를 만드는 것입니다. 그러므로 차수를 낮추기 위해 최고차항을 없애야 하므로, 나누는 식의 최고차항( $x$ )에 얼마( $2x$ )를 곱해서 나누어지는 식의 최고차항( $2x^{2}$ )을 만들어지는지를 생각합니다.
그 식 $2x$ 를 막대 위의 몫에 해당하는 부분에 적고 나누는 식과 곱해서 나누어지는 식의 차수가 같은 위치에 적어줍니다. (이때, 나누어지는 식에 계수가 0이어서 대체로 적지 않는 차수도 자리를 비워둬야 합니다.)
이제 나누어지는 식과 새롭게 적힌 식을 뺍니다.
이 과정을 막대 아래의 식이 나누는 식의 차수보다 작아질 때까지 반복합니다.

여기서 새롭게 만들어진 식이 나누는 식보다 차수가 작게 되면 다항식의 나눗셈을 멈춥니다. 그리고 위에 적힌 다항식 $2x-9$ 를 몫이라고 하며, 아래쪽에 남은 식(또는 숫자) $20$ 를 나머지라고 합니다. 이를 식으로 적으면 아래와 같습니다 (정수의 나눗셈과 같습니다).